2023-2024学年高一数学下学期期末考试模拟卷6

2023-2024学年高一数学下学期期末考试模拟06

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.复数3i+2「的虚部为（）

A.1B.3iC.3D.i

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的乘方化简，即可判断.

【详解】因为3i+2i3=—2i+3i=i，所以3i+2j3的虚部为1.

故选：A

2.某纺织厂4月份生产了三种类型的纱线，分别为大卷纱线、中卷纱线和小卷纱线，其中大卷纱线有2000

卷，中卷纱线有8000卷，小卷纱线有20000卷.为检查该纺织厂4月份生产的这三种类型纱线的质量，按

比例用分层随机抽样的方法从中抽检240卷，则被抽检的小卷纱线有（)

A.120卷B.150卷C.160卷D.200卷

【答案】C

【解析】

【分析】利用分层抽样的意义列式计算即得.

20000

【详解】依题意，被抽检的小卷纱线有240x=160（卷）.

2000+8000+20000

故选：C

3.有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶，在A处测得灯塔尸在该船的东北方向，该船行驶2

小时后到达B处，测得灯塔尸在该船的东偏北75方向上，则的=（）

A.50后海里B.25a海里C.50海里D.50痣海里

【答案】A

【解析】

【分析】由题意画图，再利用正弦定理求解.

【详解】由题可知/PAB=45=180-75=105，/APB=180-45-105=30,

ABBP

A3=50海里，在A3P中，由正弦定理可得

sin^APB-sin^PAB

则Bp="Bsm/PAB=5>sm45=5。®海里.

sinNAPBsin30

A.小唐这7天每天运动时长的平均数是72

B.小唐这7天每天运动时长的极差是42

C.小唐这7天每天运动时长的中位数是75

D.小唐这7天每天运动时长的第80百分位数是92

【答案】D

【解析】

【分析】根据平均数，极差，中位数和百分位数的定义进行计算.

58+92+100+70+80+45+60505”…

【详解】-----------------------------------------=——*72,A错误;

77

B选项，小唐这7天每天运动时长的极差是100-45=55,B错误;

C选项，将小唐这7天每天运动时长从小到大排列为45,58,60,70,80,92,100,

则小唐这7天每天运动时长的中位数是70,C错误；

D选项，因为7x80%=5.6,所以第80百分位数是第6个数，即92,D正确.

故选：D

5.若某圆台的上底面半径为1,下底面半径为4,该圆台的体积不小于63兀，则该圆台的高的取值范围是

()

A[18,+co）B.[9,+oo）C.(18,+oo)D.(9,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆台的体积公式代入求解即可.

【详解】设该圆台的高为力，则该圆台的体积V=•（兀+16兀+J兀xl6兀）=7/OT.

因为该圆台的体积不小于63兀，所以7/mN63兀，解得力29.

故选：B

6.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星ASCDE

中，A3=6,。是该正五角星的中心，则OAAB=（）

-12C.12D.18

【答案】A

【解析】

【分析】设。。交A3于点则尸是A3中点且ODLAB,根据数量积的定义计算可得.

【详解】如图，0。交AB于点/，则口是AB中点且ODLAB,

2

由题意可得=—49・AB=—49ABcosNOAB=-|AF||AB|=-1|AB|=-18.

故选：A.

EB

7.

如图，在直三棱柱ABC-4与G中，所有棱长都相等，D,E，R分别是棱A3,BC,与G的中点，则

异面直线。尸与GE所成角的余弦值是（）

1379

A.—B.——C.—D.

10101010

【答案】D

【解析】

【分析】利用平移法作出异面直线。/与C]E所成的角，解三角形即可求得答案.

【详解】连接班1，因为在直三棱柱A3C-4用G中，E，R分别是棱3C,2c的中点,

故〃BE,C〔F=BE,即四边形BEC】E为平行四边形,

所以BF〃QE,则NDRB即异面直线小与QE所成角或其补角;

直三棱柱ABC-4与£中，所有棱长都相等，设其棱长为2,

连接EF,DE,则EF=2,EF〃BB「而8与，平面ABC,故即上平面ABC,

OEu平面A3C，故EFLDE，

。是棱AB的中点，故DE=；AC=1,则DF=在加+DE?=6，

而BF=7EF2+BE?=#>,又DB=1，

”》,“nDF"+BF2-DB25+5-1_9

故在DBb中，cosZDFB=----------------------

2DF-BF2-V5-V5-10

由于异面直线所成角的范围为大于0，小于等于90，

9

故异面直线OR与所成角的余弦值是一,

故选：D

JT

8.如图，在平面四边形A5CD中，/。/4与=—2人5。为钝角三角形，AB=BC=AD=1,则四边形

2

ABC。的面积的最大值为（）

1A/2+1r^/^+3\/3+1

1D.-------------------------LJ.---------------

242

【答案】B

【解析】

7T

【分析】（方法一）设NA5C=a,利用余弦定理求出AC,由ND4B=一,求出四边形A5CO的面积为

2

一二]+L求出最大值；

2I4）2

（方法二）四边形A3CD的面积S=5AA物+5会”，求出最大值.

【详解】（方法一）设NABC=tz,贝i]ae1|>7r；AC=A/l+l—2xlxlxcosa=j2-2costz,在

,八，-n-a7ia

ABC中，ZBAC=------=--------

222

TTn

因为NDAB=—,所以/D4C=—.

22

四边形ABCD的面积为一xlxlxsini+—xl.j2-2coso-sin一

222

=Lina+LV^^・\^E=J_sina+J_(i_cos0=交sinJ_2]+L

22V222V724j2

当即时,

四边形A3CD的面积取得最大值，最大值为叵口.

2

（方法二）四边形ABCZ）的面积S=SAEO+Sflra=-+-xlxV2xsinZCfiD<-+-=^±1.

ABOBCD22222

故选：B

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若复数力=3+4i,贝I（）

A.z=—4-3iB.|z+i|=2V5

z724.

C.z+3i为实数D.——=-----1-----1

z2525

【答案】BC

【解析】

【分析】首先求解复数z,再根据复数的运算，以及共轨复数和复数模的公式，即可判断选项.

3+4i

【详解】由力=3+4i,得2=-------=4—3i,A错误.

i

|z+i|=|4-2i|=^16+4=2^/5,B正确.

因为z+3i=4,所以z+3i为实数，C正确.

z4-3i（4-3i）（4-3i）16-24i+9i2724.

z4+3i（4+3i）（4-3i）16-9i22525’

故选：BC

10.在正三棱锥P—ABC中，AB=6,则下列结论正确的是（）

A.若PA=而，则二面角P-AB-。是4

6

B.若二面角P-AB-。是g，则正三棱锥P—ABC的体积是96

C.苔R4=6,则正三棱锥P—ABC内切球的半径是逅.

6

D.若QA=6,则正三梭锥P-A5c外接球的表面积为54兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正三棱锥的几何关系，构造二面角的平面角，即可判断A,根据二面角的平面角，计算三棱锥

的高，再根据三棱锥的体积公式，即可判断B,根据等体积公式的变换，求解三棱锥的内切球的半径，即可

判断C,根据球心的位置，构造球半径的关系式，再根据球的表面积公式，即可判断D.

【详解】如图，取A5的中点/，连接则/PMC是二面角P-AB-。的平面角.

作平面ABC,垂足为点”在CM上，且CH=2HM=2®

对于A,由巳4=厉，得PM=2,贝==从而=工，故A正确.

PM26

7TJT'pJ—Ti—

对于B,二面角P-AB-。是一，即/PMC=—,得tan/PMC=——=，3,

33HM

则PH=3,从而三棱锥P—A5C的体积V=』S/z=Lx」3x62x3=9j^，故B正确.

334

由QA=6,得PH=2卡.对于C,设三棱锥P—ABC内切球的半径为「，则/TBC=gSp..c.，所

々I,3x-x—x62x276r

以「=AABC=_34--------------=吏，故c错误.

S…3,62x42

4

设三棱锥P—ABC外接球的半径为A,球心为。，且在PH上，连接CO,

则R?=CH2+OH2=(PH-OH)。,即&=12+OH2=(2n-OH)2,

解得。”=逅，所以R=还,所以4兀尺2=54兀，故D正确.

22

故选：ABD

11.欧拉线定理指出三角形的外心、垂心、重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心

之间的距离的一半.设O,〃,G分别是的外心、垂心和重心，则()

A.OA+OB+OC=0B.2OH+3HG=0

C.ABAH=ACAHD.AH=3AG+2OA

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用向量的线性运算，结合三角形外心、垂心、重心的意义及欧拉定理，逐项计算判断即得.

【详解】对于A,连接AG并延长，交3c于点。，则。是的中点，O8+OC=2O。，

于是OA+OB+OC=Q4+2O。，当AB/AC时，不共线，即OA+28RO，A错误；

对于B,由欧拉线定理得GH=2OG，有OH=3OG,HG=-2OG,则2OH+3HG=0，B正确；

对于C,H是，ABC的垂心，即则

于是AH.(AC-AB)=O,即=C正确；

对于D,由欧拉线定理知G〃=2OG，则A//—AG=2(AG+04),即AH=3AG+2Q4，D正确.

故选：BCD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12.已知复数马=i*2=1/3=7〃+3i,Z4=-2+i在复平面内对应的点分别为A5C。，若AB//CZ)，

则实数机=；若AB,CD，则实数机=.

【答案】®.-40

【解析】

【分析】先得到43=(1,-1),8=(-2-m,-2),根据平行和垂直得到方程，求出答案.

【详解】依题意得A(0,l),B(l,0),C(m,3),£>(-2,1),则AB=(1,-1),CD=(-2-m,-2).

若AB//CD，则一2-加=2，解得加=—4；

若ABLCD，则—2—根+2=0,解得m=0.

故答案为：-4，0

13.某校高一(1)班有男生20人，女生30人.已知某次数学测验中，男生成绩的平均数为100,方差为

11,女生成绩的平均数为95,方差为16,则这次测验中班级总体成绩的方差为.

【答案】20

【解析】

【分析】根据平均数、方差公式计算可得.

2030

【详解】依题意得这次测验中班级总体成绩的平均数为-------X100+----------x95=97,

20+3020+30

方差为20x「(100-97)2+111+30x「(95-97)2+161=20.

20+30「」20+30L」

故答案为：20

14.在棱长为4的正方体ABC。-中，瓦尸分别为线段55］,3。上的动点，点。为侧面

Be"的中心，则.0郎的周长的最小值为.

［答案］2,4+2及

【解析】

【分析】由对称性得到QEF周长的最小值即0£+即+网0的最小值，将两平面旋转到同一平面上，

得到OE+EF+FM>OM=2"+2及，得到答案・

【详解】如图①，设侧面45片4中心为根据正方体的结构特征可得=

则.OEF周长的最小值即OE+砂+府的最小值.

将侧面BCC&1绕着33］旋转至与平面与在同一平面上，

将平面A"绕着BDX旋转至与平面BQ］B在同一平面上，

过点。作0SL3C于点S,则05=35=2,其中"3=20，

如图②，则OE+EF+FM>OM=yjMS2+OS2=7（2+272）2+22=214+20，

故iOEF的周长的最小值为2”+2夜•

故答案为：2"+2友

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在直四棱柱ABC。—A4GR中，底面A3CD为菱形，43=30=44=4,M为。。中

（2）求点B到平面AMC1的距离.

【答案】（1）证明见解析

（2）73.

【解析】

【分析】（1）连接3D],设3R与AC1交于点。，连接则〃皿，故可证明皮）〃平面

（2）利用等积法可求点面距.

【小问1详解】

连接8R,因为AB〃C|2，AB=G2,故四边形ABGR为平行四边形，

设与AC1交于点。，则。为32的中点，连接OM.

因为〃为。A的中点，所以为，8。。]的中位线，则

因为OA/u平面AMQ,8。＜Z平面AMC,,所以BDH平面AMQ.

【小问2详解】

延长M0交B用于点N,连接AN,3M,取A3的中点P,连接。P,

则MO=ON,而AO=OG，故四边形ANGM为平行四边形，

=

故^B-AMCV%一AMN•

因为四边形ABCD为菱形，故AD=AB,故AZ)=AB=B0=4，

故△AB。为等边三角形，所以且DP=2G.

因为A4，平面ABC。，DPu平面ABCD

所以A41~LDP，而441cAB=A,A4],ABu平面ABB14,

所以。尸，平面ABB^,因为。拉〃平面ABB^,

则点M到平面ABB^的距离为DP=2y/3-

VM-ABN=；*2百xgx4x2=^^.

因为AAf=A7V=J16+4=2石,AfN=5D=4,所以5A=gx4x吊20-4=8.

1Q

设点2到平面AMQ的距离为h,则=VB…=可儿S'=~h.

由VM-ABN=VB-AMN,得一/z=---，解得h=A/3•

33

故点B到平面AM。1的距离为73.

16.在ABC中，角AS。的对边分别是a,b,c,已知cos2A+sinBsinC=cos3cosC,且BD=2DC

(1)求角A的大小；

(2)若AD=4,求_ABC面积的最大值.

【答案】（1）A

⑵6收

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等变换关系，化简条件等式，即可求解；

（2）根据向量关系式，转化为数量积公式，得到关于ac的等式4^+02+280=144,再根据基本不等式

转化为求Ac的最大值，再根据三角形的面积公式，即可求解.

【小问1详解】

因为cos2A+sinBsinC=cosBcosC，所以2cos2A-1-cos（B+C）=O.

因为A+3+C=7t,所以cos（5+C）=-cosA,

所以2cos2A—1+cosA=0，解得cosA=—或cosA=-1.

2

1

因为0<4<兀，所以cosA=—,则人=-.

23

【小问2详解】

..12

因为所以=+，即3AD=AB+2AC，则

-2.2_*一-2

9AD=AB+4ABAC+4AC-

jr

因为AO=4,/BAC=—,所以4加+C2+2A=144.

3

因为4尸+°224根，当且仅当c=2b时，等号成立，

所以6bcW144,即Z?cW24,

则A3C的面积S=gbcsinA=^6c<68，故.A3C面积的最大值为68.

17.近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了

解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统

计，所得的频率分布直方图如图所示.

♦频率抓跖

0.030

0.025

0.015

111III1>

°405060708090100平均日利润/仃元

(1)求相的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数(同一组中的数据用该组区间的中

点值作代表).

(2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78

百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前工的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得

3

哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由.

【答案】(1)m=0.02,中位数为74,平均数为72.5

(2)方案一受到奖励的商家更多，理由见解析

【解析】

【分析】(1)由频率分布直方图中各组频率之和等于1,列出方程求出利用中位数定义和平均数公式分

别计算即得；

(2)按照方案一要求，利用频率分布直方图先求出平均日利润超过78百元的商家所占的比率，再求对应的

商家数目；方案二只需取前,，即前200个商家家，比较即得结论.

3

【小问1详解】

由题意可知(0.005x2+0.015+m+0.025+0.03)xl0=l,解得加=0.02.

设中位数为“，则0.05+0.15+0.2+(〃—70)x0.025=0.5,解得〃=74,所以中位数为74,

平均数为(45+95)x0.05+55x0.15+65x0.2+75x0.25+85x0.3=72.5.

【小问2详解】

20—78、

[-^―X0.25+0.3+0.05x600=240,

方案二受到奖励的商家的个数为工x600=200,

3

因为240>200,所以方案一受到奖励的商家更多.

11

rrtn,,n

18.对任意两个非零向量加，“，定义：m0n=r

⑴若向量a=（5,3）,1=（-3,2）,求力伍+23）的值；

（2）若单位向量a,力满足力悭侬—力）=焉，求向量a与”的夹角的余弦值；

⑶若非零向量a,匕满足|小3回，向量&与b的夹角是锐角，且4（6③a）是整数，求的取值

范围.

Q

【答案】（1）一

25

⑵如

4

⑶加

【解析】

r/rr\

【分析】（1）先求出向量〃+2b的坐标，再根据题目所给定义求出（。+2人）的值.

（2）根据所给条件求出a-b的值，再利用向量夹角的余弦值公式计算即可.

r

b

（3）结合条件得出「的范围、向量d与石的夹角的余弦值的范围，再根据题目所给定义和题目条件，求出

a

a

万⑤〃的值，将“（8）6转化为MC°se,即可求出〃㊈人的取值范围.

b

【小问1详解】

因为a=（5,3）,丘=（-3,2）,所以5+2力=（5,3）+2（—3,2）=（—1,7）,

rr.a-（a+2Z?）_5x（-l）+3x7_16_8

-2户仿+2乔=（力+千-'

故「③伍+26）的值为

【小问2详解】

因为向量a、b是单位向量，所以同=1,忖=1,

由仅+力）区（25一力）=：,

,（着4（2kb）_2笳+1力」21+i_5

Hlr~9-T*Tf—-ri1"-

/2a-b\4（22-4a-b+b25-4a•b16

解得

4

由"力y=黯―21力+力2=m，可得L=JL=4=日,

rr[a-^a-bj超一1力1-1I-

4_N6

cos<a^a—b>——r—=，—r-

rrrr1点4

同a-b同a-blx——

2

故向量a与a-b夹角的余弦值为迈.

4

【小问3详解】

TT

设向量a与b的夹角为凡由题意可知0<。<5,则0<cos6<l,

rI,r

因为同>3^bcos6»<--

3

r1rr

因为Z?0a=a<一,0<4（&0a）<-.

33

因为4（力（8）4是整数，所以4（力③司=1,

rr1\b\1

所以少（8）a=—,U=_*_

4|a|4cos。

\ii3

而小,即0<--—<-，所以一<cos8<l,

4cos<934

〜a.ba）八

因为。疑=至--