陕西省汉中市高考数学二模试卷(理科)-

第=page22页，共=sectionpages22页第=page11页，共=sectionpages11页高考数学二模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）已知集合A={x|x2-5x+4＜0，x∈Z}，B={m，2}，若A⊆B，则m=（）A.1 B.2 C.3 D.5设复数z=1-i（i是虚数单位），则的虚部为（）A. B.- C. D.-已知向量、的夹角为60°，||=2，||=1，则||=（）A. B. C.2 D.已知，sinα=，则tan（）=（）A. B. C.- D.-函数的大致图象是（）A. B.

C. D.双曲线（a＞0，b＞0）的离心率恰为它一条渐近线斜率的2倍，则离心率为（）A. B. C. D.函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的单调增区间为（）

A.[-+2kπ，+2kπ]（k∈Z）

B.[-+kπ，+kπ]（k∈Z）

C.[-+2kπ，+2kπ]（k∈Z）

D.[-+kπ，+kπ]（k∈Z）

《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就．“更相减损术”便出自其中，原文记载如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．”其核心思想编译成如示框图，若输入的a，b分别为45，63，则输出的a为（）

A.2 B.3 C.5 D.9如图，在直三棱柱中，,点D为BC的中点，则异面直线与所成的角为（

）

A. B. C. D.汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有（）A.12种 B.22种 C.28种 D.30种已知抛物线y2=8x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点、交准线于点C．若|BC|=|BF|，则|AB|等于（）A.12 B.14 C.16 D.28已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：

①当x＞0时，f（x）=e-x（x-1）②函数f（x）有3个零点

③f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）

④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|＜2

其中正确命题的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）不等式组所表示的平面区域的面积等于________．已知n=xdx，则（x+）n的展开式中的常数项是______．在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若sinA=2sinB，c=，且cosC=，则三角形ABC的面积为______．三棱锥S-ABC中，侧棱SA与底面ABC垂直，SA=1，AB=2，BC=3且AB⊥BC，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）已知函数f（x）=x2-2x+2，数列{an}为等差数列，其中a2=f（3），a3为f（x）的最小值．

（1）求{an}的通项公式．

（2）已知{bn}是正项等比数列，b1=a3，b3=a1，求{bn}的通项公式，并求{an+bn}的前n项和Sn．

社区服务是高中学生社会实践活动的一个重要内容，汉中某中学随机抽取了100名男生、100名女生，了解他们一年参加社区服务的时间，按[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]（单位：小时）进行统计，得出男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图．

（1）完善男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图．

抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表社区服务时间（h）人数频率[0，10）0.05[10，20）20[20，30）0.35[30，40）30[40，50]合计1001学生社区服务时间合格与性别的列联表不合格的人数合格的人数男女（2）按高中综合素质评价的要求，高中学生每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格，根据上面的统计图表，完成抽取的这200名学生参加社区服务时间合格与性别的列联表，并判断是否有90%以上的把握认为参加社区服务时间达到合格程度与性别有关，并说明理由．

（3）用以上这200名学生参加社区服务的时间估计全市9万名高中学生参加社区服务时间的情况，并以频率作为概率．

（i）求全市高中学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数．

（ⅱ）对我市高中生参加社区服务的情况进行评价．

参考公式P（K2≥k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0020.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（K2=，其n=a+b+c+d）

圆O的方程为：x2+y2=9，P为圆上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为D，点Q在PD上，且=

（1）求点Q的轨迹C的方程

（2）过点F（-，0）的直线与曲线C交于A、B两点，点M的坐标为（3，0），△MAB的面积为S，求S的最大值，及直线AB的方程

如图所示，四棱锥P-ABCD中，E、F分别为PD、PC中点，PA⊥平面ABCD．

（1）若四边形ABCD为菱形，证明：平面PBD⊥平面PAC．

（2）若四边形ABCD为矩形，AB=，AP=1，四棱锥P-ABCD的体积为，求三棱锥C-AFD的体积．

已知函数f（x）=ex-ln（x+1）-a的图象在x=0处与x轴相切．

（1）求f（x）的解析式，并讨论其单调性．

（2）若x＞t≥0，证明：ex-t+ln（t+1）＞ln（x+1）+1．

已知直线l1的参数方程为（t为参数，a＜0），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C极坐标方程为ρ=4cosθ．

（1）若直线l1圆截得的弦长为2，求a值．

（2）直线l2参数方程为（t参数），若l1⊥l2垂足为P，求P的极坐标．

（1）求不等式|x+2|+|x-1|≥5的解集；

（2）已知两个正数a、b满足a+b=2，证明：．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A={x|1＜x＜4，x∈Z}={2，3}；

又A⊆B；

∴m=3．

故选：C．

可求出集合A={2，3}，根据A⊆B即可得出m=3．

考查描述法、列举法的定义，子集的定义，以及一元二次不等式的解法．

2.【答案】C

【解析】解：∵z=1-i，

∴==．

∴的虚部为．

故选：C．

把z=1-i代入，再由复数代数形式的乘除运算得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3.【答案】A

【解析】解：向量、的夹角为60°，||=2，||=1，

则||===．

故选：A．

直接利用向量的模以及向量的数量积转化求解即可．

本题考查平面向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基本知识的考查．

4.【答案】D

【解析】解：已知，sinα=，∴cosα=-=-，∴tanα==-，

则tan（）==-，

故选：D．

利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（）的值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了函数奇偶性、单调性的判断，属于基础题．

判断f（x）的奇偶性，再判断当x＞1时的函数值的符号即可．

​【解答】

解：f（-x）===-f（x），

∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故A，C错误；

又当x＞1时，ln|x|=lnx＞0，∴f（x）＞0，故D错误，

故选：B．

6.【答案】A

【解析】解：双曲线（a＞0，b＞0）的离心率恰为它一条渐近线斜率的2倍，

可得，可得c=2b，则c2=4b2=4（c2-a2），∴3c2=4a2，

e=＞1，

可得e=．

故选：A．

利用已知条件列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

7.【答案】D

【解析】解：根据函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得•=-，∴ω=2，∴函数的周期为=π，

∵图中函数图象的最高点为（，0），

故函数的增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z，

故选：D．

先根据条件求出函数的周期，结合图象的最高点为（，1），求出它的增区间．

本题主要考查余弦函数的周期性，求出函数的周期，是解题的关键，属于基础题．

8.【答案】D

【解析】解：由程序框图可知：a=45＜63=b，

可得：b=63-45=18，

满足a＞b，可得a=45-18=27，

满足a＞b，可得a=27-18=9，

满足b＞a，可得b=18-9=9，

此时，a=b=9，退出循环，输出a的值为9．

故选：D．

利用程序框图与“更相减损术”，直到a=b时即可输出a．

本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．

9.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了异面直线及其所成的角，属中档题．

取B1C1的中点E，连A1E，DE，CE，则A1E∥AD，所以异面直线AD与A1C所成角是∠EA1C或其补角，在三角形A1EC中由余弦定理可得结果．

【解答】

解：取B1C1的中点E，连A1E，DE，CE，

∴A1E∥AD，所以异面直线AD与A1C所成角是∠EA1C或其补角，

∵，

∴,

,

,

在中，由余弦定理可得

,

因为，

所以，

即异面直线与所成的角为，

故选B．

10.【答案】C

【解析】解：以应该接待处为主进行计算，甲乙不在同一接待处有A=2，

剩余4人分成两组，人数为1和3，2和2，3和1，

共有C+C+C=4+6+4=14，

共有14×2=28，

故选：C．

以其中一个接待处为主进行计算，讨论甲乙的分配以及4人分两组进行计算即可．

本题主要考查排列组合的应用，利用分组法进行讨论求解是解决本题的关键．

11.【答案】C

【解析】解：过A，B分别作准线的垂线，垂足为M，N，

∵|BC|=|BF|，且|BF|=|BN|，

所以=，∴直线AB的倾斜角为45°，斜率为1，

所以直线AB的方程为y=x-2，

⇒x2-12x+4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=12，

根据抛物线的定义知：|AB|=x1+x2+p=12+4=16．

故选：C．

过A，B分别作准线的垂线，垂足为M，N，∵|BC|=|BF|，且|BF|=|BN|，所以=，∴直线AB的倾斜角为45°，斜率为1，所以直线AB的方程为y=x-2，再联立直线与抛物线，根据韦达定理以及抛物线的定义可得．

本题考查了抛物线的性质，属中档题．

12.【答案】A

【解析】解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则-x＜0，

∴f（-x）=e-x（-x+1）=-f（x），∴f（x）=e-x（x-1），①正确；

对于②，∵f（-1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，

∴f（x）有3个零点，②正确；

对于③，x＜0时，f（x）=ex（x+1），易得-1＜x＜0时，f（x）＞0；

x＞0时，f（x）=e-x（x-1），易得x＞1时，f（x）＞0；

∴f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞），③正确；

对于④，x＜0时，f′（x）=ex（x+2），

x＜-2时，f′（x）＜0，-2＜x＜0时，f′（x）＞0；

∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（-2，0）上单调递增；

∴x=-2时，f（x）取最小值-e-2，且x＜-2时，f（x）＜0；

∴f（x）＜f（0）=1；

即-e-2＜f（x）＜1；

x＞0时，f′（x）=e-x（2-x）；

∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；

x=2时，f（x）取最大值e-2，且x＞2时，f（x）＞0；

∴f（x）＞f（0）=-1；

∴-1＜f（x）≤e-2；

∴f（x）的值域为（-1，e-2]∪[-e-2，1）；

∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|＜2；④正确．

故选：A．

根据f（x）为奇函数，设x＞0，得-x＜0，可求出f（x）=e-x（x-1）判定①正确；

由f（x）解析式求出-1，1，0都是f（x）的零点，判定②正确；

由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；

分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，

根据单调性求f（x）的值域，可得∀x1，x2∈R，有|f（x1）-f（x2）|＜2，判定④正确．

本题考查了奇函数的定义与应用问题，也考查了函数的零点以及不等式的解集、根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，是综合性题目．

13.【答案】

【解析】解：不等式组表示的平面区域如下图所示：

A（，），B（1，0），C（2，0）

由图可得：该区域的面积S=×1×=，

故答案为：．

画出不等式组表示的平面区域，代入三角形面积公式，可得答案．

本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，三角形面积公式，画出可行域是解答的关键．

14.【答案】15

【解析】解：n=xdx===6，

则的展开式中的通项公式：Tr+1=x6-r=，

令6-=0，解得r=4．

∴常数项===15．

故答案为：15．

n=xdx=，解得n=6，再利用的展开式中的通项公式即可得出．

本题考查了微积分基本定理、二项式定理的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：∵sinA=2sinB，

∴由正弦定理可得：a=2b，

∵c=，且cosC=，

∴sinC===，

∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得：2=a2+b2-2ab•=（2b）2+b2-2•（2b）•b•，

​解得：b=1，

∴a=2b=2，

∴=absinC==．

故答案为：．

由已知利用正弦定理可得：a=2b，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，由余弦定理可求b的值，进而可求a=2b=2，根据三角形的面积公式即可计算得解．

本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

16.【答案】14π

【解析】【分析】

以SA，AB，BC为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥S-ABC的外接球，求出三棱锥S-ABC的外接球的半径，由此能求出三棱锥S-ABC的外接球的表面积．

本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

【解答】

解：∵三棱锥S-ABC中，侧棱SA与底面ABC垂直，SA=1，AB=2，BC=3且AB⊥BC，∴SA、AB、BC两两垂直

∴以SA，AB，BC为棱构造一个长方体，

则这个长方体的外接球就是三棱锥S-ABC的外接球，

∴三棱锥S-ABC的外接球的半径：

R==，

∴三棱锥S-ABC的外接球的表面积：

S=4πR2=4=14π．

故答案为14π．

17.【答案】解：（1）因为f（x）=x2-2x+2，

所以a2=f（3）=5，

因为f（x）的最小值为1，

所以a3=1，

因为{an}为等差数列，

所以公差d=a3-a2=-4，

所以{an}的通项公式an=5-4（n-2）=13-4n．

（2）b3=a1=9，

b1=a3=1，

且公比q＞0，

所以公比q=3．

数列的通项公式，

所以=．

【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

（1）利用已知条件求出数列的通项公式．

（2）利用分组法求出数列的和．

18.【答案】解：（1）由每小组的频率等于每小组的频数除以样本容量，这个公式可以计算出每一时间段所需填写的内容．

[0，10）段：人数=0.05×100=5；[10，20）段：频率=20+100=0.2；[20，30）段：人数=0.35×100=35；[30，40）段：频率=30+100=0.3；

[40，50）段：人数=100-5-20-35-30=10，频率=1-0.05-0.2-0.35-0.3=0.1．

补全抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表，如下表：社区服务时间（h）人数频率[0.10）50.05[10，20）200.2[20，30）350.35[30，40）300.3[40，50）100.1合计1001根据在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，所以有

1-0.01×10-0.025×10-0.02×10-0.01×10=0.35

补完频率分布直方图如下图：

（2）通过抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表可知男生合格人数为75人，不合格人数为25人；通过抽取的100名女生参加社区服务时间频率直方图中可知合格人数为65人，不合格人数为35人，列联表如下表．

学生社区服务时间合格人数与性别的列联表不合格的人数合格的人数男2575女3565，

k2=≈2.38＜2.706

∴没有90%以上把握认为社区服务时间达到合格与性格有关．

（3）（i）抽取的样本中社区服务时间不少于30个小时的人数为70人，频率为=，所以全市高中生社区服务时间不少于30个小时的概率为，所以全市高中生社区服务时间不少于30个小时的人数为9×=3.15万人．

（ii）可从以下四个角度分析，也可以从其它角度分析，角度正确，分析合理即可．

A从抽样数据可以得到全市高中生还有一部分学生参与社区服务的时间太少，不能达到高中素质评价的要求．

B全市所有学生参与社区服务的时间都偏少．

C全市高中学生中，女生参与社区服务的时间比男生短．

D全市高中学生，参与社区服务时间的长短集中在20～40h之间．

【解析】（1）根据公式：每小组的频率等于每小组的频数除以样本容量，进行求解．根据在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，计算出女生在[20，30）段小长方形的面积，最后补完整频率分布直方图．

（2）按照每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格这一要求，在100名男生参加社区服务时间频率分布表中求出男生合格人数、不合格人数；在100名女生参加社区服务时间频率直方图中，求出女生合格人数，不合格人数，填写列联表．求出k2，得出结论．

（3）（i）根据100名男生参加社区服务时间频率分布表和100名女生参加社区服务时间频率直方图，可以求出这200名学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数，然后求出全市高中生社区服务时间不少于30个小时的概率，最后求出求全市高中学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数．

（ⅱ）可以从以下这四个方面做出分析：

A全市高中生是不是都达到高中素质评价的要求方面；

B全市所有学生参与社区服务的时间多少方面；

C全市高中学生中，女生参与社区服务的时间比男生长短方面；

D全市高中学生，参与社区服务时间的长短集中哪个时间段方面．

本题考查了频率分布表和频率直方图、k2．本题重点考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力．属中档题．

19.【答案】解：（1）设Q（x，y），则可设P（x，y0），D（x，0），

又=，∴（0，y）=（0，y0），

∴y0=y，

把P（x，y）代入圆方程x2+y2=9，得Q的轨迹C的方程为；

（2）由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，

设直线方程为y=k（x+），

联立，得．

△=20k4-（16+4k2）（5k2-4）=-64k2+64＞0，即-1＜k＜1．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，．

∴|AB|==

=．

M（3，0）到直线的距离d=．

∴=

∵（4+k2=t），

∴当，即t=，即，k=时，

△MAB的面积有最大值为，此时直线方程为y=．

【解析】（1）设Q（x，y），P（x，y0），D（x，0），利用向量等式可得y0=y，把P（x，y）代入圆方程x2+y2=9，得Q的轨迹C的方程为；

（2）由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线方程为y=k（x+），联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求弦长，再求出M到直线的距离，代入三角形面积公式，换元后利用二次函数求最值．

本题考查轨迹方程的求法，训练了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．

20.【答案】证明：（1）由题PA⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，

∴BD⊥PA．由题ABCD为菱形，得BD⊥AC，

又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．

又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．

解：（2）设AD=a，a＞0．由题，解得a=．

∵F为PC的中点，即点F到平面ABCD的距离为，

∴VC-AFD=VF-ACD==．

【解析】（1）要想证明面面垂直，就要证明线面垂直．四边形ABCD为菱形，因此对角线互相垂直即BD⊥AC，通过PA⊥平面ABCD，可以得出BD⊥PA，这样可以证明出BD⊥平面PAC．从而平面PBD⊥平面PAC．

（2）通过四棱锥P-ABCD的体积为，可以求出AD的长，利用等积法就可以求出三棱锥C-AFD的体积．

本题考查面面垂直的判定定理、等积法求体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21.【答案】（1）解：由f（0）=1-a，得切点为（0，1-a），

∴1-a=0，即a=1，

∴f（x）=ex-ln（x+1）-1．

求导得f′（x）=，

当-1＜x＜0时，ex＜1＞1，则f′（x）＜0，即f（x）为（-1，0）上的减函数，

当x＞0时，ex＞1，＜1，则f′（x）＞0，即f（x）为（0，+∞）上的增函数．

（2）证明：要证原不等式，即证ex-t+ln（t+1）-ln（x+1）-1＞0，

构造函数g（x）=ex-t+ln（t+1）-ln（x+1）-1，x＞0，即证g（x）＞0，

g′（x）=．

∵x＞t≥0，即x-t＞0，x+1＞1，则ex-t＞1，＜1．

∴g′（x）＞0，即g（x）为[0，+∞）上的增函数．

当x=t时，g（t）=0，

又x＞t≥0，

∴g（x）＞g（t）=0，即g（x）＞0，

故原不等式得证．

【解析】（1）先由题求出a值，再对f（x