专题02 相似多边形及相似三角形5大题型-备战2024-2025学年九年级数学上学期期末好题分类汇编（河南专用）

PAGE1PAGE2专题02相似多边形及相似三角形5大题型题型一相似多边形1．（23-24九年级上·河南安阳·期末）下列说法错误的是（

）A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等C．相似多边形的边数相同 D．所有的矩形都相似【答案】D【分析】本题考查了相似多边形的定义及性质，熟记相关结论是解题关键【详解】解：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，所以相似多边形的边数相同、对应边成比例、对应角相等，故A、B、C不符合题意；所有的矩形不一定对应边成比例，故所有的矩形不一定都相似，故D符合题意，故选：D2．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据相似多边形的定义逐项进行判断即可．【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；故选：A．3．（22-23九年级上·河南郑州·期末）有下列四种说法：①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似其中说法正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】D【分析】根据对应角相等，对应边成比例的多边形相似判断即可．【详解】①两个菱形对应边成比例，对应角不一定相等，所以两个菱形不一定相似；②两个矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似；③两个平行四边形对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，所以两个平行四边形不一定相似；④两个正方形对应角相等，对应边成比例，所以两个正方形一定相似；只有④正确，故选D4．（23-24九年级上·河南焦作·期末）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH【答案】D【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，∴矩形DCGH为黄金矩形故选：D．5．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是．【答案】：1．【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案.【详解】设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴x：y＝y：，解得x：y＝：1．故答案为：：1题型二相似多边形的性质6．（23-24九年级上·河南安阳·期末）下列说法错误的是（

）A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等C．相似多边形的边数相同 D．所有的矩形都相似【答案】D【分析】本题考查了相似多边形的定义及性质，熟记相关结论是解题关键【详解】解：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，所以相似多边形的边数相同、对应边成比例、对应角相等，故A、B、C不符合题意；所有的矩形不一定对应边成比例，故所有的矩形不一定都相似，故D符合题意，故选：D7．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质“相似多边形对应边的比叫做相似比”，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题．【详解】∵四边形是矩形，∵按逆时针方向作矩形的相似矩形，∴矩形的边长和矩形的相似比为，∴矩形的对角线和矩形的对角线的比，∵矩形的对角线为，∴矩形的对角线，依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为，∴矩形的对角线，∴矩形的对角线，按此规律第个矩形的对角线故选：A．8．（22-23九年级上·河南太康·期末）两个相似多边形的面积比是，若较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用面积比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周长比等于相似比进行计算即可．【详解】∵两相似多边形的面积比是，∴两相似多边形的相似比为：，∴两相似多边形的周长比为：，∵较小多边形的周长为，∴较大多边形的周长为：．故选：C．9．（22-23九年级上·河南许昌·期末）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．【详解】解：，由折叠可得：，，∵矩形，∴，∴，设的长为x，则，∵矩形，∴，∵矩形与原矩形相似，∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去）∴，故选：C．10．（22-23九年级上·河南济源·期末）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【答案】B【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比进行求解即可．【详解】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：4，∴这两个相似多边形的相似之比为1：2，∴这两个相似多边形的周长之比为1：2，故选B．11．（21-22九年级上·河南郑州·期末）小明用放大镜将菱形ABCD放大3倍，下面说法中，错误的是（

）A．放大后，边长是原来的3倍 B．放大后，的大小是不变C．放大后，周长是原来的3倍 D．放大后，面积是原来的3倍【答案】D【分析】用放大镜放大菱形，得到一个与原菱形形相似的菱形；根据相似图形的性质：相似图形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后菱形的面积是原来的9倍，边长和周长是原来的3倍，而内角的度数不会改变．【详解】解：∵放大前后的菱形相似，∴放大后菱形的内角度数不变，面积为原来的9倍，周长和边长均为原来的3倍，A.放大后，边长是原来的3倍，正确，故选项A不合题意；

B.放大后，的大小是不变，正确，故选项B不合题意；C.放大后，周长是原来的3倍，正确，故选项C不合题意；

D.放大后，面积是原来的9倍，不正确，故选项D合题意；故选：D．12．（22-23九年级上·河南洛阳·期末）如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为，宽为，然后根据相似多边形的定义，列出比例式即可求出结论．【详解】解：由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为，宽为，∵小长方形与原长方形相似，故选B．13．（23-24九年级上·河南郑州·期末）A4纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为．【答案】【分析】本题主要考查相似多边形的性质，如图，设大长方形的长为，宽为，则小长方形的长为，宽为，根据矩形矩形列出比例式，求出的值即可．【详解】解：设大长方形的长为，宽为，如图，则，，，∵矩形矩形，∴，∴，∴，故答案为：．14．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，则A'B'＝．【答案】2【分析】利用相似多边形的性质解决问题即可．【详解】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，∴，∵AB＝2，∴A′B′＝2，故答案为：2．15．（20-21九年级上·河南安阳·期末）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形区域（阴影部分）的概率是，则大、小两个正方形的边长之比是．【答案】【分析】根据针扎到小正方形（阴影部分）的概率是，求出小正方形与大正方形的面积之比，再根据相似多边形面积之比等于相似比的平方即可求出答案．【详解】解：∵针扎到小正方形（阴影部分）的概率是，∴，∴大、小两个正方形的边长之比是．故答案为：．16．（19-20九年级上·河南洛阳·期末）学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度．【答案】上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm．【分析】由内外两个矩形相似可得，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的列方程可求出x的值，进而可得答案．【详解】∵AB＝130，AD＝400，∴，∵内外两个矩形相似，∴，∴设A′B′＝13x，则A′D′＝40x，∵矩形作品面积是总面积的，∴，解得：x＝±12，∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去，∴x＝12，∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（40x﹣400）÷2＝40．答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm．题型三证明两三角形相似17．（20-21九年级上·河南郑州·期末）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．故选：B18．（21-22九年级上·河南商丘·期末）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A．都相似 B．都不相似C．只有①相似 D．只有②相似【答案】A【分析】根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可．【详解】在图①中：第一个三角形三个角分别为：75°，35°，180°－75°－35°＝70°；第二个三角形的两个角分别为：75°，70°；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似；在图②中：∵，，∴，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△DOB,故都相似．故选：A19．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（）A．甲与丙相似，乙与丁相似B．甲与丙相似，乙与丁不相似C．甲与丙不相似，乙与丁相似D．甲与丙不相似，乙与丁不相似【答案】A【分析】利用已知条件得到即，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质得到，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD．【详解】解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，即，而∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∵，∴，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD．故选：A．20．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由垂线的定义得出∠ADC＝∠BDA＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，得出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA；【详解】解：∵AD⊥CB，∴∠ADC＝∠BDA＝90°，∴∠BAC＝∠ADC＝90°又∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，∴△ADC∽△BAC∽△BDA，故选：B．21．（18-19九年级上·河南焦作·期末）如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故本选项不符合题意；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故本选项不符合题意；C、两三角形的对应边不成比例，故本选项符合题意；D、两三角形对应边成比例（6﹣5）：（3﹣1）＝1：2＝3：6，且夹角∠B相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．22．（20-21九年级上·河南洛阳·期末）如图，，，在、、、、、中写出一对相似三角形．【答案】【分析】设AP，求得AB=，由相似三角形的判定定理可求解．【详解】解：设AP，∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，∴AP=PB=BC=CD，∴AB=，∴，，∴，又∵∠ABC=∠DBA，∴△ABC∽△DBA，故答案为：△ABC∽△DBA．23．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，在等边三角形中，点D、E、F分别在边、、上，且．找出图中所有相似的三角形（不要求证明）．【答案】，【分析】本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，利用全等三角形的判定定理，找出是解题的关键．利用等边三角形的性质，可得出，，结合，可得出，利用全等三角形的判定定理，可证出，同理可得出，进而可得出，利用全等三角形的性质，可得出，进而可得出是等边三角形，结合等边三角形的性质，可得出．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，又∵，∴．在和中，，∴，∴．同理：，∴，，∴是等边三角形，∴，，∴．24．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，请判断与是否相似？如果不相似，请说明理由；如果相似，请证明．【答案】相似，证明见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，进而证明进而即可得证．【详解】解：相似证明：四边形是矩形，，，由折叠的性质可得：，，，，25．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，点D为边上一点，请用尺规作图法，使．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】本题考查作图﹣相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．若，则，根据作一个角等于已知角的方法，作，交于点E即可．【详解】解：如图，点E即为所求．．26．（23-24九年级上·河南·期末）如图，已知钝角中．(1)请用无刻度直尺和圆规在上定一点P，使得．（保留痕迹，不写作法）(2)请用数学语言简述作图的合理性．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键．(1)作线段的垂直平分线，交于点P，连接，点P即为所求作．(2)利用两个角对应相等的两个三角形相似，说明即可．【详解】（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点P，连接，则点P即为所求作．（2）根据作图，得，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故作法是合理的．题型四选择或补充条件使两三角形相似27．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，P为上一点，在下列四个条件中不能判定和相似的条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟记判定定理是解题的关键．根据三角形相似的判定方法逐一进行判断．【详解】解：当时,，，当时，,当时，即,当时，即而,所以不能判定，故选：D．28．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，则下列条件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的条件有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．【详解】解：①，则，故①符合题意；②，则，故②符合题意；③，且夹角，则，故③符合题意；④由可得，此时不确定，故④不符合题意，故选：C．29．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，不能判定和相似的条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行判定即可．【详解】解：A.由知，且，所以可判断和相似，故选项A不符合题意；B.∵，且，所以可判断和相似，故选项B不符合题意；C.∵，且，所以可判断和相似，故选项C不符合题意；D.由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意；故选：D．30．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定条件是解题关键．（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似．结合选项进行判断即可．【详解】解：A.因为，，所以，故该选项正确，不符合题意；B.因为，，所以，故该选项正确，不符合题意；C.由条件，不能证明，故该选项不正确，符合题意；D.因为，，所以，故该选项正确，不符合题意．故选：C．31．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，不能判定和相似的条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．此题考查了相似三角形的判定：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似．【详解】解：A、不能判定，符合题意；B、能判定，利用两边成比例夹角相等，不符合题意；C、能判定，两角对应相等的两个三角形相似，不符合题意；D、能判定，两角对应相等的两个三角形相似，不符合题意．故选：A．32．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，添加一个条件后，能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记“两个角对应相等，两三角形相似”是解题关键．【详解】解：，，．故选：C．33．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定相似于的条件有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．由图可知与中为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．【详解】解：有三个．①可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；②，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中不是已知的比例线段的夹角，不正确④，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；故选：C．34．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为上一点，下列四个条件中：①；②；③﹔④能满足与相似的条件是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案．【详解】解：①∵，∴，又∵，∴；②∵，∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似；③∵，，∴；④，，∴．综上所述，能满足与相似的条件是①③④．故选：C．35．（21-22九年级上·河南南阳·期末）如图，点P是的边AC上一点，如果添加一个条件后可以得到，那么以下添加的条件中不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【详解】解：A.当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；B.当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；C.当AB2＝AP•AC，即时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；D.无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．故选：D．36．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明．【答案】（答案不唯一），见解析【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解．【详解】解：（答案不唯一）证明：在和中，∴．（有两角对应相等的两个三角形相似）题型五相似三角形的证明37．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】C【详解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽CBD，△ABC∽CBD，所以有三对相似三角形．故选C．38．（23-24九年级上·河南焦作·期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB【答案】D【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE与△DCB不相似；正确的判断是A、B、C，错误的判断是D；故选D．39．（23-24九年级上·河南太康·期末）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接BD，若想使△ABD∽ACB，可添加的条件是.【答案】∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC【分析】根据两角相等的三角形是相似三角形即可解题.【详解】解：根据相似三角形的判定可知当∠ABD=∠C时,∠A=∠A,△ABD∽ACB，当∠ADB=∠ABC时,∠A=∠A,△ABD∽ACB，故答案为∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC40．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，点D从A出发以每秒个单位的速度向点B运动，同时点E从点B出发以每秒4个单位的速度向点C运动，在DE的右侧作∠DEF＝∠B，交直线AC于点F，设运动的时间为t秒，则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，t的值为．【答案】【分析】当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD＝AF，由题意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，推出四边形BEFD是平行四边形，由△ABC∽△BED，可得，延长构建方程即可解决问题；【详解】如图1，过A作AG⊥BC于G，∵AB＝AC＝，∴BG＝CG＝2，由勾股定理得：AG＝＝1，由图形可知：∠BAC是钝角，∴当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD＝AF，由题意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴∴DEF＝∠BDE＝∠B，∴△ABC∽△BED，∴，∴，∴t＝，故答案为．41．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=AB，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为θ．（1）问题发现①当θ=0°时，=；②当θ=180°时，=．（2）拓展探究试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）问题解决①在旋转过程中，BE的最大值为；②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为．【答案】（1）①；（2）无变化，证明见解析；（3）①2+2+1或﹣1.【分析】（1）①先判断出DE∥CB，进而得出比例式，代值即可得出结论；②先得出DE∥BC，即可得出，，再用比例的性质即可得出结论；（2）先∠CAD=∠BAE，进而判断出△ADC∽△AEB即可得出结论；（3）分点D在BE的延长线上和点D在BE上，先利用勾股定理求出BD，再借助（2）结论即可得出CD．【详解】解：（1）①当θ=0°时，在Rt△ABC中，AC=BC=2，∴∠A=∠B=45°，AB=2，∵AD=DE=AB=，∴∠AED=∠A=45°，∴∠ADE=90°，∴DE∥CB，∴，∴，∴，故答案为，②当θ=180°时，如图1，∵DE∥BC，∴，∴，即：，∴，故答案为；（2）当0°≤θ＜360°时，的大小没有变化，理由：∵∠CAB=∠DAE，∴∠CAD=∠BAE，∵，∴△ADC∽△AEB，∴；（3）①当点E在BA的延长线时，BE最大，在Rt△ADE中，AE=AD=2，∴BE最大=AB+AE=2+2；②如图2，当点E在BD上时，∵∠ADE=90°，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=2，AD=，根据勾股定理得，BD==，∴BE=BD+DE=+