2025年湘教新版高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高二数学上册阶段测试试卷997考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、椭圆的半焦距等于（）A.B.C.D.2、【题文】如果执行框图，输入则输出的数等于（）

A.B.C.D.3、【题文】复数是虚数单位的实部是A.B.C.D.4、【题文】在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是A.1B.－1C.D.－5、已知回归直线的斜率为-1，样本点中心为（1，2），则回归直线方程为（）A.=x+3B.=-x+3C.=-x-3D.=-2x+4评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)6、在的展开式中，二项式系数最大的项是第____项．7、（13分）求以原点为圆心，且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程.8、【题文】化简____9、【题文】在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝则的取值范围为____．10、设i

是虚数单位，则(1+i)3(1鈭�i)2=

______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)11、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

12、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）13、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共28分)18、如图；设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）

19、【题文】(本题满分12分)

已知数列为等比数列，且首项为公比为前项和为

（Ⅰ）试用表示前项和

（Ⅱ）证明(Ⅰ)中所写出的等比数列的前项和公式。20、在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变成曲线x′2+y′2=1．21、已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：ρ=点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．

（1）求点P轨迹的直角坐标方程；

（2）求点P到直线l距离的最大值．评卷人得分五、计算题(共1题，共7分)22、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．评卷人得分六、综合题(共1题，共5分)23、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】则所以半焦距等于选D。【解析】【答案】D2、D【分析】【解析】

试题分析：第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环，第五次循环，此时不满足条件，输出选D.

考点：算法与框图.【解析】【答案】D3、A【分析】【解析】故选A【解析】【答案】A4、D【分析】【解析】以A为坐标原点；AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系。

A（0；0），B（4，0），C（0，2），M（2，1），则。

故选D．【解析】【答案】D5、B【分析】解：回归直线斜率的值为-1；样本点的中心为（1，2）；

则回归直线方程为y-2=-（x-1）；即y=-x+3；

故选：B．

题目中有回归直线斜率的值为-1；样本点的中心为（1，2），借助点斜式方程可求得回归直线方程．

本题主要考查了线性回归方程的求法．本题中的回归直线方程，实际上是斜截式方程，利用直线的点斜式求得的．【解析】【答案】B二、填空题(共5题，共10分)6、略

【分析】

因为的展开式中；共有17项；

所以二项式系数最大的项是中间项；即第9项．

故答案为：9．

【解析】【答案】判断二项展开式的项数；即可判断二项式系数最大的项．

7、略

【分析】试题分析：因为圆心到直线3x+4y+15=0的距离又弦长为8，所以圆的半径为所以圆方程为考点：本题考查求圆的方程点评：解决本题的关键是求出圆的半径【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意可以C为原点建立平面直角坐标系，则直线AB方程为：可设点由即化简得：由又结合二次函数的图象可得：．

考点：1.向量的数量积;2.二次函数的最值．【解析】【答案】10、略

【分析】解：(1+i)3(1鈭�i)2=(1+i)2(1+i)(1鈭�i)2=2i(1+i)鈭�2i=鈭�1鈭�i

．

故答案为：鈭�1鈭�i

．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．【解析】鈭�1鈭�i

三、作图题(共8题，共16分)11、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

12、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．13、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共28分)18、略

【分析】

正视图中；中间有横线，侧视图有一条虚线；

俯视图没有虚线；如图：

【解析】【答案】按照三视图的画图法则；直接画出几何体的三视图．

19、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）4分。

（Ⅱ）证明：当时，所以

当时，（1）

所以（2）

得：所以

综上所述，12分。

考点：本小题主要考查等比数列的前项和公式及其公式的推导过程；考查学生的逻辑推理能力和论证能力.

点评：推导等比数列的前项和公式的方法是“错位相减法”，这种方法在数列求和中经常用到，但是由于往往运算量比较大，很多学生出错，所以要多加练习，熟能生巧.【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析20、解：设伸缩变换为代入x′2+y′2=1

得到（λx）2+（μy）2=1，即36λ2x2+36μ2y2=36①

将①式与4x2+9y2=36比较，得λ=μ=

故所求的伸缩变换为【分析】【分析】设伸缩变换为代入x′2+y′2=1，与4x2+9y2=36比较，即可得出结论．21、略

【分析】

（1）设点P（x，y），则由此能求出点P的轨迹的直角坐标方程．

（2）由已知得．从而直线l的直角坐标方程为求出圆心到直线的距离，得点P所在的圆与直线l相离，由此能求出点P到直线l距离的最大值．

本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查点到直线距离的最大值的求法，灵活利用极坐标方程与普通方程的互化公式是解决问题的关键．【解析】解：（1）设点P（x；y），∵P（2cosα，2sinα+2）；

∴且参数α∈[0，2π]；

所以点P的轨迹的直角坐标方程为x2+（y-2）2=4．（3分）

（2）∵ρ=∴=5；

∴即．

∴直线l的直角坐标方程为．（6分）

由（1）知点P的轨迹方程为x2+（y-2）2=4；是圆心为（0，2），半径为2的圆．

圆心到直线的距离d==4；

点P所在的圆与直线l相离；（9分）

∴点P到直线l距离的最大值4+2=6．（10分）五、计算题(共1题，共7分)22、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．六、综合题(共1题，共5分)23、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1