2024年四川省南充市高考数学诊断试卷（理科）（一）（附答案详解）

2024年四川省南充市高考数学诊断试卷(理科)(一)

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

].设全集U=R,集合M={x|x>-1},N={x\-2<x<3],则{x|xW-2}=()

A.Q(MAN)B.Q(MUN)C.Mn(QN)D.NU(QM)

2.己知非零狂数2满足2・(2+2。=02,则z的共挽复数是()

A.2+2iB.2-2tC.-2+2iD.-2-2t

3.下列函数中，为奇函数且在(0,1)上为减函数的是()

12X+1

A.f(x)=4x+-B.f[x}=x4-sinxC./(x)=D.f(x)=A/1—%2

2X-1

4,设等差数列｛an｝的公差为d,若b=2即，则“dV0”是“小+i<b„(nGN*)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

rx-2y<0

5.若实数x,y满足2x+y+4N0,则z=3x+2y的最大值为()

(y<1

A.8B.6C.yD.-y

6.已知一个圆锥的表面积为4e其侧面展开图是一个圆心角为多的扇形，则该圆锥的体积为()

A.72/rB.入FC.荐D.毕

7.若函数"》)=111%+。/一2在区间(",1)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是()

A.(-00,-2)B.(-8,4-oo)c(-2,+8)D.(-：，+8)

O

8.已知平面向量蕾片满足五=(1,-0)，|另|=3|五+2月|=2，则向量方与向量方的夹角为()

A.*B.3C，7D.4

oq33

9.有5名同学参加跑步、跳远、跳高三个项目，每人限报1项，每个项目至少1人报名，报名方法共有

()

A.240种B.150和C.90种D.25种

10.若双曲线会3=1的一条渐近线与圆/+2x+y2=3相交于A、8两点，且|硒=警，则m=()

A.2B.4C.5D.8

11.为了得到函数〉=/2%-，丞0$2%的图象，只需把函数y=sin(2x+3)的图象上的所有点])

A.向左平移当个单位长度，然后把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍

B.向右平移*个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍

C.向左平移余个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍

D.向右平移1个单位长度，然后再把图象上每点的纵坐标缩短到原来的1倍

42

12.设b=|sin^,c=则a,b,c的大小关系正确的是()

6v1546060

A.c<a<bB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设等比数列｛Q"的前〃项和为治，且$4=4,S8=12,则S]6=.

22

14.已知点/足椭圆C:"十%=1[2<b<3)的右焦点，点，在椭圆上，4(1,1)且|PP|十伊川的最小值为

3,则椭圆C的离心率是.

15.已知四棱锥S-A8CD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都

在球。的球面上，则球。的表面积等于.

-242一

侧视图

始16世

16.已知直角三角形。E尸的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB,BC,CA上，且乙DEF=90°,

乙EDF=30°,则宫的最小值为______.

^AABC

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题12分)

在A48C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2+c2=SbccosA.

(1)若8=C,a=2,求△48C的面积;

⑵求鬻+tan/l的值.

tanC

18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P-/BCD中，底面A8CO为梯形，AD//BC,Z.ABC=60°,AB=AD=2,BC=PA=

4,APBC是等边三角形.

(1)证明：平面PBC，平面ABCD；

(2)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值.

19.(本小题12分)

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在八处每投进一球得3分，在〃处每投进

一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率为0.25,

在8处的命中率为0.8,该同学选择先在A处投一球，以后都在3处投，用X表示该同学投篮训练结束后

所得的总分.

(1)求该同学投篮3次的概率：

(2)求随机变量X的数学期望E(X).

20.(本小题12分)

已知函数/(%)=ex(2x—1),g(x)=x-1.

(1)设函数八(无)=爆，求函数以外的单调区间；

(2)设函数伊(%)=2xe"-e"-QX+Q,若函数枢(%)有两个不同的零点，求实数〃的取值范围.

21.(本小题12分)

已知椭圆C:务，=l(Q>b>0),圆M：/+丫2=1与％轴的交点恰为。的焦点，且C上的点到焦点距

离的最大值为

(1)求C的标准方程；

(2)不过原点的动直线/与C交于A,8两点，平面上一点。满足万？=而，连接B。交。于点E(点E在线

段B。上且不与端点重合)，若沁=之试判断直线/与圆M的位置关系，并说明理由.

5△。4B5

22.(本小题10分)

直角坐标系xOy中，直线/的参数方程是(t是参数).以。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系

卜吨「

中,曲线C的极坐标方程是p2cos2。4-5yJ-3pcos0—psin。4-3=0.

(1)求直线/的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)求直线/被曲线。截得的线段长.

答案和解析

I.【答案】B

【蟀析】解：M={x\x>-1],N={x\-2<x<3},U=R,

••CuM={x\x<-1},CuN=(x\x<-2或x>3],

[x\x<-2}=(QM)n(QN)=Q(MUN).

故选：B.

进行交集、并集和补集的运算即可.

本题考查了交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：设复数z=a+bi(a.bWR),由z•(2+2i)=忆/，得

(a+bi)(2+2i)=az+bz,化简得(2a-2b)+(2a+2b)i=az+bz,

所以第丈f+仁解得器;(舍去)，或忆、

所以z=2-2i,则W=2+2i.

故选：A.

设复数Z=Q+加•(0*€/?),代入2・(2+2。=忆|2中化简，再利用复数相等的条件列方程组可求出a,

b,从而可求出复数z,进而可求出z的共趣复数.

本题主要考杳复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：对于选项A,为双勾函数，奇函数，但在(0,少上单调递减，在弓,+8)上单调递增，故A错

误：

对于选项8,定义域是R,/(-X)=-x+sin(-x)=-x-sinx=-/(x),是奇函数，f'{x}=14-cosx>

0,所以在代上单调递增，故6错误；

对于选项C,因为尹一100,工工0,所以定义域是口比工0},/(-x)=|^=yzp=-/«»是奇函

数，人乃=交|=1+/在(0,+8)上单调递减，故C正确；

对于选项。，因为I-3、。，X2工1,定义域是11J],/(-x)=/T^=/(X),是偶函数，故。错

误.

故选：C.

根据奇函数的定义，结合判断函数单调性的方法，即可判断选项.

本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的通项公式和性质是解决本题的关键.

利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可.

【解答】

解：充分性：若dV0,则册+i-即=dV0,即册+1<册，

.・.2限"2即,即所以充分性成立;

必要性：若%+1<bn，即2限，V2即，

•••0n+1<an,则cin+1-an=d<0,必要性成立.

a

因此，“d<0”是bn+1<bn(nGN*)”的充要条件.

故选：C.

5.【答案】A

【解析】解：由约束条件作出可行域如图,

y

\2x^y-4=0

联立用二;y=O'解得做2，1)，

由z=3x+2y,得y=+由图可知，当直线y二—'无+过A时，

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3x2+2x1=8.

故选：A.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目

标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考杳数形结合思想，是基础题.

6.【答案】D

【解析】解：设该圆锥的底面半径为「，母线为/,

2

则M+nr=4TT,亨I=2nrf

解得！=3,r=1,

则同1锥的高为V3?—M=2\[~2♦

因此该圆锥的体积V=1TTX12X2/2=零a

故选：D.

根据圆锥的表面积为47r和侧面展开图是圆心角为冷的扇形，可求出底面半径和母线长，进而求得圆锥的

高，根据圆锥体积公式即可求得答案.

本题考查圆锥的结构特征、圆锥的侧面展开图、扇形性质、圆隹的体积等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

7.【答案】B

【解.析】解：/',（x）=i+2ax,

若/（幻在区间&,1）内存在单调递漕区间，

则（（%）＞0在％E（；,l）有解，

故。＞（-去）min,

而。（工）=一白在（11）递增，

g。）＞g&）=-8，

故a＞-8,

故选：B.

求出函数的导数，问题转化为a＞（-*）min，而。（工）=-击在弓，1）递增，求出。（外的最小值，从而求出

。的范围即可.

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数成立问题，是基础题.

8.【答案】D

【蟀析】解：五1=2,㈤=1,旧+2石|=2，

*,2

（a+2d）2=a2+4b+42•方=4+4+4五b=4，

5•h=-1,

Acos<a,b>=—且〈日石>e[0,用，

同|叫L

_-2n

.,•<a,b>=

o

故选：D.

根据向量4的坐标可求出|初的值，然后对|8+2+=2两边平方进行数量积的运算即可求出五7的值，然

后根据向量夹角的余弦公式求出8s<a,b>的值，然后即可得出向量五与向量方的夹角.

本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量夹角的

范闱，考查了计算能力，属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：将5名同学分成三个组，每组人数分别为3,1,1或2,2,1,

再将三组志愿者分配给三个项目，

所以不同的分配方案共有：(底150（种）.

故选：B.

按照先分组再排列的思路求解.

本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题.

10.【答案】B

【解析】解：圆/+2%+y2=3,

即(X+1)2+y2=4,圆心为(—1,0),半径支=2,

因为专一任=1为双曲线，

16m

所以m>0,

则渐近线方程为y=±^x,

即4x±yfmy=0>

因为-嘤.

所以圆心到直线的距离d=J/-(缪尸=等,

所以m=4.

故选：B.

首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意可得m>0,得到渐近线方程，由弦长求

出圆心到直线的距离即可得解.

本题考查了圆的方程及双曲线的性质，重点考查r点到直线的距离，属中档题.

11.【答案】A

【解析】解：不妨设把函数y=sin(2x+合的图象上的所有点平移0个单位，

则y=sin[2(x+3)+,]=sin(2x+2*+看),

vy=sin2x—V_3cos2x=2sin(2x—g),

2x+2(/?+^=2x-4-2kn,keZ,解得卬=一日+k?r,kEZ,

vO■

当A=0时，图象向右平移*个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，即可得到所求

图象，

当A=1时，图象向左平移当个单位长度，然后把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍，即可得到所

4

求图象.

故选：A.

根据已知条件，结合三角函数的图象平移变换法则，即可求解.

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题.

12.【答案】C

【解析】解：a=b='sin±,c=In黑

6v1546060

令/(%)=1n(x4-1)-^sinx,0<A<|,则/''(x)=-1cosx,

131

,•*0<x<—,**•—<-7——<1,

341+x

又沁sxV不

f(x)>0,则函数/•(%)在(0,3二单调递增，即f(%)>/(0)=0,

•3

••・当0<x<；时，ln(x+1)>gsinx恒成立，

令"磊(。⑤则唱>汨脸即。>从

令9(乃=与一皿%+1),0<x<^则娟⑺=焉一Sr=装篇，

又x-6\/~x+1=(AAX)2-6-/x+1=(V~x—3/一8,

•••X—6y/~x+1在G(0,J磊)上单调递减，x—6yfx+1>^-^==+1>0,

•••g'(x)>0,则函数g(x)在(0,4)上单调递增，即g(x)>g(0)=0,

••・当。V%V/时，丝,ln(x+1)恒成立，

令'=看£(°，小则康=3总>1端即0>的

综上所述，b<c<a,

故选：C.

由题意可构造函数/(x)=lna+l)-Jsinx,OV%v1,利用导数探讨单调性判断Ac大小，构造函数

1O

^«=^-ln(x+l),0<x<^.利用导数探讨单调性判断c,〃大小作答，即可得出答案.

本题考杳利用导数研究函数的单调性和运用函数的单调性比较大小，考杳函数思想和转化思恁，考查构造

法，考杳逻辑推理能力和运算能力，属T•中档题.

13.【答案】60

【解析】解：等比数列｛册｝的前”项和为上,且54=4,S8=12,

/夸=4

，

-Uwf)=12

\i-q

解得言=-4,q4=2,

则516=卬(76)=12(i+q8)=I2x5=60.

1-q

故答案为：60.

利用等比数列的前〃项和公式能求出结果.

本题考查等比数列的前〃项和公式等基础知识，考杳运算求解能力，是基础题.

14.【答案】纪|匚

【解析】解：由g+jvl(2<：b<3)可知，点A在椭圆内,

设E是椭圆左焦点,则有|PE|+|PF|=2a,

故|PF|+\PA\=2a-\PE\+\PA\>2a-\AE\=6-\AE\,

仅当E,A,P共线且4在E,P之间时取等号，

故6—|4国=3,即|力图=3,

又E(-c,0)且c>0,则|4E|=J(-C-1)2+1=3,故。=2口一1,

此时川=a2-c2=9—(2-7-2—I)2=4>f2e(4,9),

故一=罕

a3

故答案为：军|zl.

若E是椭圆左焦点，数形结合及椭圆定义可得|PF|+|P川工2Q-|4E|,结合已知和两点距离公式求椭圆

参数，进而可得离心率.

本题考查椭圆的定义及性质，属中档题.

15.【答案】297r

【蟀析】解：根据四棱锥的三视图，把四棱锥S-ABC。补成长方体，如图所示：

点P是所在棱的中点，

•••长方体的外接球就是四棱锥S-XBCC的外接球，

由三视图的数据可知：AB=4,BC=PC=3,

•••长方体的高h=V32-22=

.••匹棱锥S-48C0的外接球的半役R=lxI42+(2合/+(6)2=更,

二球0的表面积为：4nR2=29n,

故答案为：29〃.

把四棱锥放入长方体中来还原，则长方体的外接球就是四棱锥S-48。。的外接球，由三视图的数据可求出

长方体的长、宽、高，再求出四棱锥的外接球的半径R等于长方体体对角线的一半，从而求出

球0的表面积.

本题主要考查了三视图还原实物图，以及四棱锥的外接球，是中档题.

16.【答案】得

【解析】解：设NBOE=吒<"m，EF=x,

则在aBDE中，zDF5=7r-(a+1),DE=6X，

靠8D

3

sin(a+E)

：・BD=•yj~3x,

在A4。尸中OF=2无，/-A=Z.AFD=a-7,

56

同理可得4)=变覃•2%,

sin?

因此可得AB=AD+BD=2sin(a+^)x+1，5sin(a-=(3sina+^cosa)x»

JJOJ

S&DEF_却_______2_____

SM8C^ABABsin^(3sina+^ycosa)2

因为3sina+?cosa=4^1sin(a+s)W仝f，其中tang=g，0<(p<^,

由于^-+(p<a+(p<^-+(p,

666rr6

所以当a+@=］时，sin(a+”)=l,

所以(3sina+^cosa)max=^/21»

则沁的最小值为心

5&/18C14

故答案为:,

设EF=Xf由正弦定理求解8。，A。，再结合三角形面积公式及三角函数辅助角

公式求三角函数最值得出结果.

本题考查三角函数与解三角形的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为8=C,所以b=c,由题意可得2b2=3/coSi4,即cos/=:，sinR=?，

・53

又次=h2+c2-2bccosA,即4=2b2—2b2x

解得b=V-6»

所以S”8c=IbcsinA=1x\J~6xV_6x拳=y/~5.

(2)由炉+c2=3bccos4,得力2+c?=3bc•1+"-Q2,得82+。2=3々2,

2bc

所以3a2=SbccosA,所以coszl=7-t

tan/ltan/lsin71,cos8.cosC、sinAcosBsinC+sinBcosC_sin/lsin(8+C)_sin/lsin/1_a2

所以，+^T)=

tanEtanCcos/1in8sinC7cos/1sinFsinCcos/1sinSsinCcos/1sinSsinChccosA

次-1

【解析】⑴由B=。得8=c,代入Z?2+c?=3bccos力，得cos4=再根据余弦定理求出匕=c=，瓦再

根据三角形面积公式可得结果.

(2)根据余弦定理得cos/1=勺，再切化弦，利用两角和的正弦公式、正弦定理变形可得结果.

be

本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.

18.【答案】(1)证明：取线段8c的中点。，连接PO、0C,

因为APBC是等边三角形，且BC=4,。为8c的中点,

所以P。1BC,且P0=P8sin600=4x亨=2/3，

因为AB=2,OB=^BC=2,/.ABC=60°,

则A/OB为等边三角形，所以力。=2,

又因为尸4=4,所以。。2+4。2=。力2,则「。104

因为。力CiBC=。，04、BCu平面ABC。，

所以P。1平面ABCD,又P。u平面PBC,

故平面P8C1平面ABCQ；

(2)解：连接。。，取线段4。的中点E,连接OE

因为力O//BC,则乙。4D=Z.A0B=60°,

乂因为。4=40=2,故A/l。。为等边三角形，

因为£为人。的中点，所以。E14D,

又因为P01平面ABC。，以点O为坐标原点，

赤、林、丽的方向分别为％、外z轴的正方向，

建立如卜图所示的空间直角坐标系，

则4(/1,一1,0),8(0,-2,0),C(0,2,0),D(<3,1,0),P(0,0,2/1)，

设平面PAB的法向量为沅=(%i，%,Zi),

R4=(73,1,0).乔=(0,2,2门)，由万1/，沅1乔,

ij得俨,更=6xi+%=0,

取为=则沅=(1,-0,1)，

I沆•FP=2yl+2yf3z1=0

设平面PC。的法向量为五=（%2，,2，Z2），

CD=(73,-1,0)，CP=(0,-2,2A/3)，由刃_L而，元J,而，

可得口方生［第o取力=二可,=O

(n・CP=-2y2+273z2=0

rrnu沅员1-3+11

因为cos〈m,n〉=而丽=后送=一丁

所以平面EA8与平面PCO所成的锐二面角的余弦值为g.

【解析】（1）取线段8c的中点O,连接P。、OC,证明P0_L平面A8CD,利用面面垂直的判定定理可证得

结论成立；

（2）连接。。，取线段A。的中点£,连接。石，证明。E1AD,以点。为坐标原点，0E.0C.而的方向分

别为X、八z轴的正方向建立空间直角坐标系，利川空间向量法可求得平面弘4与平面PC。所成的锐二

面角的余弦值.

本题考杳面面垂直的判定，考查利用空间向量求二面角的余弦值，属中档题.

19.【答案】解：（1）设该同学在A处投中为事件A,在8处投中为事件8,则事件4,B相互独立,

由于前两次得分之和超过（3分）即停止投篮，否则投第三次，故，

①若第一次投中，第二次投中，停止投篮；

②若第一次投中，第二次未投中，此时第三次投不投中均可，P=ixi=^-；

4520

③若第一次未投中，此时第二次第三次投不投中均可，p=l

因此该同学投篮3次的概率P=去+R/

(2)当X=2时，Pi=0.75X0.8X(1-0.8)X2=0.24

2

当X=3时，P2=0.25(1-0.8)=0.01,

2

当X=4时，P3=0.75x0.8=0.48,

当X=5时，P&=0.25x0.8(1-0.8)+0.25x0.8=0.24

随机变量X的数学期望E(X)=0X0.03+2X0.24+3X0.01+4x0.48+5x0.24=3.63.

【解析】(1)记出事件，该同学在A处投中为事件A,在8处投中为事件B,利用而立事件的概率公式可得

结论;

(2)根据上面的做法，做出分布列中四个概率的值，写出分布列算出期望，

本小题主要考查概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴

近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识.体现数学的科学价值.

20.【答案】解：(1)M>)=黑=

Ml人)人1

,_印3-1)]'(.1)一口(2"1)_Zx(2x-3)

A(x-1)2-(x-1)2，

令//(X)=0,得x=0或％=P

所以在(一8,0)上〃(无)>0,九(%)单调递增，

在(0,1)上/i'(x)<0,九(。单调递减,

在(1杀上〃(无)<0,任乃单调递减,

在(|,+8)上//(%)>0,九(%)单调递增，

所以/I⑸在(-8,0),反+8)上单调递增，在(I,')上单调递减.

(2)当％=1时，尹(1)10,

所以方程W(x)=2xex-ex-axa=0的根为Q=二？的根,

因为函数@(x)有两个不同的零点，

所以y=a与y=/i(x)有两个交点：

又⑴知/i(0)=1,

所以0<QV1或Q>4e2»

所以a的取值范围为(o,i)u(4或+8).

【解析】（1）h（幻=点二竺等XH1，求导分析九'（%）的符号，单调性，即可得出答案.

（2）当％=1时，8（1）工0,则方程9（x）=2xex-ex-ax+a=0的根为Q=（之：的根,即y=。与y=

h（x）有两个交点，进而可得答案.

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

21.【答案】解：（1）由题意，圆M：/+丫2=1与4轴的交点为（±1,0）,可得。=1,

椭圆。上的点到焦点距离的最大值为a+c=b2.

又因为a2=b2+c2,可得Q=2,b=G

所以椭圆。的方程为（+4=1.

43

（2）如图所示，设4（%1，%），8（%2，、2），

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=kx+m(m工0),

y=kx+m

联立弓已—，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,

~4+~3=1

所以'8km_W-12

所以4+小Y一_4k2+3,无62-哀声

A=(dkm)2-4(4k2+3)(4m2-12)>0(*),

22

yty2=(kx1+m)(kx2+m)=kx}x2+km(%i+x2)+m=，

由无？=而可得点A为。。的中点，可得0(242月)