苏科版九年级数学下册压轴题攻略：难点探究之相似三角形中动点问题压轴题六种模型（原卷版）

专题10难点探究专题:相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略

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目录

【典型例题】............................................................................1

【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】............................1

【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】.........................3

【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】.......................................4

【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】.........................................5

【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】.........................................7

【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】................................................9

【典型例题】

【类型一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】

例题：如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,NA=30。，BC=9,若点尸是边A3上的一个动点，以每秒3个

单位的速度按照从AfA运动，同时点。从BfC以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点

时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为f,若△2PQ与44BC相似，贝心的值

为.

【变式训练】

1.（2023春・山东烟台•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知。4=6cm,O3=8cm.点P从

点B开始沿B4边向终点A以lcm/s的速度移动；点。从点A开始沿AO边向终点。以lcm/s的速度移动.有

一点到达终点，另一点也停止运动.若尸、。同时出发，运动时间为Ks）.

⑴用含t的代数式分别表示线段AQ和AP的长;

⑵当，为何值时，入4尸。与AAOB相似？

2.（2023秋•广东佛山•九年级校考阶段练习）在Rt^ABC中，NC=90。，AC=20cm,BC=15cm,现有

动点尸从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点。从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点尸的

速度是4cm/s,点。的速度是2cm/s,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运

动时间为，秒.

⑴求f为多少秒时，ACPQ的面积为为24cm2

（2）当/为多少时，以点C,P,。为顶点的三角形与U1BC相似.

3.如图，矩形A3CD中，AB=12,AD=8,点E为BC的中点，动点/从点A出发沿射线A3方向以每秒

2个单位的速度运动，连接DRDE,EF.过点E作£）厂的平行线交射线于点H,设点尸的运动时间为

/（不考虑。、E、尸在一条直线上的情况）.

⑴填空：当/=时，AF=CE,此时9=

⑵当△3EF与相似时，求，的值.

【类型二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】

例题：（2023•河南洛阳•统考一模）矩形ABCD中，AB=10,AD=4,点E是CO的动点，若NAEB=90。,

则DE的长为.

【变式训练】

1.（2023春•黑龙江哈尔滨•九年级校考阶段练习）在AABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,点。在边

AC上，若△BCD是以8为腰的等腰三角形，则的长为.

2.（2023春•浙江绍兴•九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OBOC分别在x

轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8,6），点P在矩形ABOC的内部,点E在80边上,且满足△犬区取"因9,

当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为

yk

o

3.（2023•安徽蚌埠•校考一模）如图，在RtaABC中，ZC=90°,ZA=30°,A5=20cm,D,E分别为

边AB,BC上的动点，且仞=2班，作DF/AC,垂足为歹，连接砂.当△口£厂是直角三角形时，BE

的长为.

4.（2023•江苏徐州•统考三模）如图，在RGA5C中，NACB=90。，AB=10,AC=8,E、b分别为A5、BC

上的点，沿直线所将折叠，使点8恰好落在AC上的。处，当VADE恰好为直角三角形时，班的长

为—,

5.（2023•江苏盐城•校考一模）如图，在描AABC中，NACB=90。，AC=12,BC=5,点E是AB边上一

动点，过点E作交AC边于点。，将—A沿直线OE翻折，点A落在线段A3上的歹处，连接FC,

当ABCF为等腰三角形时，AE的长为.

【类型三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】

例题：（2023,江苏扬州•统考二模）如图，在直角“5C中，NACB=90。，BC=1,AC=2,点尸是边A3上

的动点，过点尸作P"〃3C交AC于点"则尸H+PC的最小值为.

【变式训练】

1.（2023春•湖北孝感♦八年级统考期中）如图，Rt^ABC中，NC=90。，AC=4,BC=6,。是A3的中

点，尸是BC边上的一动点，则24+PD的最小值为.

2.（2023秋•江苏泰州•九年级统考期末）如图，矩形8所中，CD=8cm,b=6cm,点G在边fE上从产

向点E运动，速度为3cm/s,同时点H在边DE上从E向点。运动，速度为4cm/s.连接CG、FH,设CG、

交于点8,取EF的中点A,则的最小值为cm.

3.（2023•湖北襄阳•统考模拟预测）如图，矩形A8CD中，AB=3,BC=4,E是BC中点，CD上有一动点

M,连接,将双BEM沿着BM翻折得到ABFM,连接DF,CF,则DF+gcF的最小值为.

【类型四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】

例题：（2023春•河南安阳,九年级统考期末）如图，正方形ABCD一边A8在直线/上，尸是直线/上点A左

侧的一点，AB=2上4=4,E为边AD上一动点,过点P,E的直线与正方形ABCD的边交于点F,连接BE,BF,

若设DE=x,△5EF的面积为S,则能反映S与尤之间函数关系的图象是（）

/AB

ASAS

08_4x08_4x08_4x08_4x

3333

【变式训练】

1.（2023•河南焦作•统考二模）如图，在Rt^ABC中,ZACB=90o,AC=3,5C=4,点尸为边AB上一动点,

过点尸作直线交折线ACB于点Q.设AP=x,CQ=y,则y关于x的函数图象大致是（）

2.（2023•安徽合肥•校联考二模）如图，在正方形ABCD中，AB=1,动点尸从A点出发沿Af8fC方向

在AB和BC上匀速移动，连接。尸交BC或8C的延长线于。，记点尸移动的距离为x,CQ为y,则y关于

x的函数图像大致是（）

下方的/上的一动点（点。不与点C重合），连接ADBD,过点A作/石〃30,过点8作于点E,

若AB=6,设AD=尤，AE=y,则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（）.

【类型五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】

例题：（2023春•山东济宁•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形。4BC的两

边分别在x轴和y轴上，点8的坐标为（12,8）,现有两动点P,。，点尸以每秒3个单位的速度从点。出发

向终点A运动，同时点。以每秒2个单位的速度从点A出发向终点8运动，连接PC,PQ,CQ.设运动

时间为f秒

⑴点尸的坐标为,点。的坐标为（用含f的代数式表示）；

⑵请判断四边形APC。的面积是否会随时间/的变化而变化，并说明理由;

（3）若A,P,。为顶点的三角形与△OCP相似时，请求出/的值.

【变式训练】

1.（2023春•江苏苏州,八年级统考期末）（1）如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边上的一个动点，

以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG,连接。G,BE,则OG与BE的数量关系是.

（2）如图2,四边形ABCD是矩形，AB=2,3c=4,点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右

侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接。G,BE.判断线段。G与BE,有怎样的数量关系和位置关系，

并说明理由;

（3）如图3,在（2）的条件下，点E是从点A运动。点，则点G的运动路径长度为

（4）如图3,在（2）的条件下，连接BG,则23G+BE的最小值为

2.（2023春•江西鹰潭・九年级校考阶段练习）综合与探究

问题提出:

数学课上，老师提出了一个问题：在AABC中，ZCAB=90°,ADSBC于点。，E为A2上的一动点，EC

与AQ相交于点G,点尸在上，EF_LCE于点E,试探究跖与EG的数量关系，并加以证明.

图1图2图3

特例故知：

（1）勤奋小组从特殊情况入手：如图1,ZB=45°,E为AB的中点，则所与EG的数量关系为.

变式探究

（2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2,将（1）中“4=45。"改为"NB=3O。"，其他条件不变,

试探究所与EG的数量关系，并加以证明.

拓展提高

（3）经过前两个小组的探究，智慧小组将该问题的条件更一般化：如图3,ZB=a,AE=kBE,试探究所

与EG的数量关系，并加以证明.

【类型六相似三角形中的动点探究应用问题】

例题：(2023•辽宁锦州•统考一模)探究完成以下问题:

【初步认识】

⑴如图1,在四边形ABCO中，ZBAD=ZBCD=90°,连接AC,BD,过点A作AEJ_AC交CB的延长线

于点E.求证：NE=ZACD；

【特例研究】

(2)如图2,若四边形ABC。中，AB=AD,(1)中的其它条件不变，取3D,BC的中点F,连接

①求证：BE=2MF；

②N为EC的中点，连接MN,猜想与4E的位置关系，并证明你的猜想；

【拓展应用】

(3)如图3,在矩形ABCD中，对角线AC,8。相交于点。，E是射线8C上一动点，过点。作交

射线8于点尸，当==工，CE=1,4?=3时，请直接写出CF的长.

BC5

F

占舟1

EBCEB.V/CBCEG

图1图2图3

【变式训练】

1.(2023•湖北武汉•校考模拟预测)一次数学综合实践活动课上.小慧发现并证明了关于三角形角平分线的

pA/18

一个结论.如图1,尸。是△P4C的角平分线，可以证明拓=]ic

P

ABC:t/，ABCD

1、，•

E

图1图2图3

【