2024-2025学年福建省泉州市高一上学期1月期末教学质量监测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省泉州市高一上学期1月期末教学质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|0<x≤3}，则A∩B=(

)A.{−1,0,1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{1,2,3} D.{1,2}2.已知集合M={x|2x≥8}，N={x|x−2>0}，则“x∈M”是“x∈N”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列函数中，既是奇函数又在[0,π2]上单调递增的是A.y=|x| B.y=sinx C.y=cos4.已知x>0，y>0，2x+y=1，则xy的最大值是(

)A.225 B.112 C.195.函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则必有(

)

A.a>1，1<b<2 B.0<a<1，1<b<2

C.a>1，−2<b<−1 D.0<a<1，−2<b<−16.《九章算术》在卷一《方田》题[三五]中提到弧田面积的计算问题.弧田是由圆弧和弦所围成的弓形部分(如图阴影部分所示).有一弧田的弧长为10，且所在的扇形圆心角为2，则该弧田的面积约为(    )(参考数据：sin1≈0.8)

A.10 B.12.5 C.13 D.267.已知α∈(2π3,π)，sin(α−πA.−43 B.−34 C.8.若函数f(x)=log2(x+2),−2<x<2,x2−2mx,x≥2的值域为RA.[12,2) B.(−∞,2) C.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题是真命题的是(

)A.若a>b，则a+c>b+c B.若a<b<0，则ac<bc

C.若a>b>0，则a2>b2 D.10.已知函数f(x)=12sin(2x−A.f(x)的最小正周期为π

B.f(x)在区间(0,π2)上单调递增

C.f(x)在区间(0,π2)上的取值范围为(−311.已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)+f(x)=f(2)，若y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，且对任意a，b∈[−4,0]，当a≠b时，都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a)，则(

)A.f(−2)=0

B.f(8)<f(12)

C.直线x=2是函数f(f(x))的一条对称轴

D.若g(x)=|x−4|f(x)−1在区间[−20,28]上有8个零点，则所有零点的和为32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.使得f(x)=1x+x有意义的x13.写出同时满足下列条件的一个函数的解析式f(x)=

． ①f(x)为幂函数; ②f(x)为偶函数; ③f(x)在区间(0,+∞)上单调递减．14.在平面直角坐标系xOy中，已知角α为第一象限角，其终边和单位圆⊙O的交点P与点Q(cos(α+4π5),sin(α+4π四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)(1)计算：lg(2)计算：27(3)已知2a=9，3b=1616.(本小题15分)已知集合A={x|x≥a}，集合B={x|(x−1)(x−2a)≤0}．(1)若a=1，求B和∁(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．17.(本小题15分)已知函数f(x)=a−2(1)求实数a，判断并根据定义证明f(x)的单调性;(2)求不等式f(x218.(本小题17分)已知函数f(x)=−cosxf(x)

(1)当α=π时，(ⅰ)按关键点列表，并画出函数f(x)的简图;(ⅱ)写出f(x)的单调区间;(2)是否存在实数α，使得f(x)(x≠α)的图象是中心对称图形?若存在，写出α的值并对图象的对称性加以证明;若不存在，说明理由．19.(本小题17分)函数f(x)和g(x)的定义域分别为Df，Dg，如果对于Df中的任意一个数t，按照g(x)=f(t)的对应关系，在Dg中都有且仅有k个确定的数x与之对应，则称g(x)为f(x)的“k∼函数”.例如：f(x)=x，Df=[2,4]，g(x)=x2，(1)设f(x)=x，g(x)=x3， ①g(x)是f(x)的“1∼函数”;

 ②f(x)是g(x)的“1∼函数”;(2)设f(x)=x+1x，Df=[12,2]，g(x)=3sin2x，Dg(3)设f(x)=x+1x，Df=[12,2]，g(x)=x2−6x+1x2参考答案1.C

2.A

3.B

4.D

5.A

6.C

7.D

8.C

9.AC

10.ACD

11.ACD

12.{x|x>0}或(0,+∞)

13.x−2(答案不唯一14.−15.(1)解：原式=lg(2×5)−lne12=1−12=12；

(2)解：原式=3+1−22log23=4−216.解：(1)当a=1时，B={x|(x−1)(x−2a)≤0}={x|(x−1)(x−2)≤0}，

由(x−1)(x−2)≤0，解得1≤x≤2，

所以B={x|1≤x≤2}，

∁RB={x|x<1或x>2};

(2)由A∪B=A得B⊆A，

(i)当2a>1时，B={x|1≤x≤2a}，

因为B⊆A，所以a⩽12a>1，解得12<a≤1；

(ii)当2a=1时，B={x|x=1}，

因为B⊆A，所以a⩽12a=1，解得a=12，

(iii)当2a<1时，B={x|2a≤x≤1}，

因为B⊆A，所以a≤2a,2a<1.，解得0≤a<12，17.解：解法一：(1)函数f(x)=a−23x+1(a∈R)的定义域为R，因为f(x)为奇函数，

所以f(−x)=−f(x)，

所以a−23−x+1=−(a−23x+1)，

所以2a=23−x+1+23x+1=2⋅3x1+3x+23x+1=2，

解得a=1；

以下用定义证明f(x)是增函数：

任取x1，x2∈R，且x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=(1−23x1+1)−(1−23x2+1)=23x2+1−23x1+1=2(3x1−3x2)(3x1+1)(3x2+1)，

又因为y=318.解：

(1)(ⅰ)当α=π时，列表如下：

，

描点如图：

；

(ⅱ)由上图可知：单调递增区间为：(0,π)，(3π2,5π2)；单调递减区间为：(π,3π2)；

(2)存在实数α=54π，使得f(x)(x≠α)的图象是中心对称图形；对称中心为(54π,12)，

证明：(ⅰ)对于任意x∈[0,54π)，52π−x∈(54π,52π]，

19.解：(1) ①是正确的，因为对∀t∈Df=[1,2]，f(t)=t∈[1,2]，

按照g(x)=f(t)的对应关系，即g(x)=x3=t，所以，x=3t∈[1,2]，

所以，对∀t∈Df，按照g(x)=f(t)的对应关系，

在Dg中都有且仅有1个确定的数x与之对应所以，g(x)是f(x)的“1∼函数”，所以， ①正确;

 ②是错误的，因为当t=2时，g(t)=g(2)=8，

因为f(x)=x，按照f(x)=g(t)的对应关系，

此时不存在x∈[1,2]，使得f(x)=8，所以，f(x)不是g(x)的“1∼函数”，所以， ②错误．

(2)f(x)=x+1x，∀x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，

f(x2)−f(x1)=x2+1x2−x1−1x1=(x2−x1)(x1x2−1)x1x2，

因为x2−x1>0，x1x2>0，

当x1，x2∈(0,1)，x1x2−1<0，有f(x2)−f(x1)<0，

所以，f(x)在(0,1)上单调递减;

当x1，x2∈(1,+∞)，x1x2−1>0，有f(x2)−f(x1)>0，

所以，f(x)在(1,+∞)上单调增减．

因为x∈[12,2]，所以，f(x)在[12,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，

所以t∈[12,2]，有f(t)∈[12,2]．

因为g(x)=3sin2x，所以T=π，

问题等价于对于Df中的任意一个数t，关于x的方程g(x)−f(t)=0在[0,2π]内都恰有几个解的问题，

令s=f(t)，则s∈[2,52]，

问题等价于判断对于∀s∈[2,52]，方程3sin2x−s=0在[0,2π]内都恰有几个解，

记ℎ(x)=3sin2x−s，因为s∈[2,52]，

当x∈[0,π4]，ℎ(0)ℎ(π4)=−s(3−s)<