整式中的规律三大类型-原卷版

专题08整式中的规律三大类型

目录

解题知识必备...................................................................................

压轴题型讲练...................................................................................3

类型一、单项式规律类...........................................................................3

类型二、数字类.................................................................................3

类型三、图形类.................................................................................4

压轴能力测评...................................................................................7

“解题知识必备♦♦

1.均匀变化规律

均匀变化的规律技巧：

一组数据abcd……

前后两个数的差值一致都为k时，这组数据的第n个数是：kn+a-k

2.不均匀变化规律

技巧：

方法一：一组数据abcd……

①标出前后数据之差，往前顺推一个数m

②所求数据第一个数与顺推的数作差：a-m

③求出①中所标数据的第n项（根据均匀变化的数字规律来求）

（首数十尾数）n

④根据高斯数计算规律求出①中所标数据的和日奴J奴

⑤所求数据第n项即为：口奴J奴—+a-m，化简即可。

3.循环数字变化

技巧:

第一步：找出完整的一组循环数并排序；

第二步：拿要求的序数除以一组循环数的个数得出余数;

第三步：把余数作为序号找到对应循环数字即为所求。

4.相关公式

（I）裂项相消

（2

x压轴题型讲练2

类型一、单项式规律类

例.探索规律：观察下面的一列单项式：X,一3尤2,5/，_7./,9x5,根据其中的规律得出的第10个

单项式为（）

A.—19即B.19x10C.一20产D.20?°

【变式训练1】.观察下列按一定规律排列的〃个数：X,3%2,5x3，7x4,......,按照上述规律，第9个单

项式是（）

A.B.17x9C.17X10D.19元9

2356

【变式训练2】.按一定规律排列的单项式：a,2a,3Q4,4a,5a9,第”个单项式是（）

A.nanB.+C.na"+1D.（ZJ+1）«"+1

【变式训练3】.按一定规律排列的单项式：-x,3x4,-5x9,7x16,则第7个单项式是（）

A.13/9B.—13尤94c.15/D.一15一

类型二、数字类

1111

例.观察下列各式:

222x35一§'万一§4

⑴猜想它的规律，用含〃的代数式表示出来

⑵用你得到的规律，计算：»1+…并求出当"14时代数式的值;

【变式训练1】.阅读材料，按要求完成下列问题.

计算：1+2+2?+23+2"+2‘+26的值.

23456

解：^：S=l+2+2+2+2+2+2

将等式两边同时乘以2,得：

2S=2+22+23+24+25+26+27

将以上两式相减，得：

2S-S=27-1

即S=27-1

所以1+2+2?+23+24+25+2$=27-1

请仿照此方法完成下列问题：

⑴1+2+2,+23+24++21°=.(直接写出结果)

⑵计算：2+22+23+2，+210(写出解答过程).

(3)计算：1+5+5?+53+54+.+52021(写出解答过程).

【变式训练2】.观察下面的变形规律：工=1-1,工

1x222x3233x434

解答下面的问题：

(1)-^-=,---------------=

4x5-------2020x2021--------

1

⑵若”为正整数，猜想二万=.

fL\fLI_LI

⑶求值----1--------1--------FH-----------------

1x22x33x42020x2021

【变式训练3】.观察下列算式，

第一个式子击

第二个式子一=口一X；；

x^x+2)\xx+2J2

人1(11)1

第三个式子7———x-

%(xT+3)\xx+3)3;

人1(11)1

第四个式子不^=——yrK

x(x+4)\xx+4J4

根据你发现的规律解决下列问题：

⑴写出第〃个算式：(〃为正整数)

1

(2)------------------二〃，机为正整数且相

'7(x+m)(x+---------

111

⑶若弧一2|+(4-1)=0,试求(a+i)(b+i)+(a+2)优+2)++(0+2024)(6+2024)的值，

类型三、图形类

例.由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、

图3,完成如下解答.

图I图2

⑴填写下表:

图序正六边形个数正方形个数正三角形个数

图1166

图22

图33

(2)①图"中，正方形地砖数量为块、正三角形地砖的数量为块;

②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量.

【变式训练1】.火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏.这种游戏形式万

千，可简可繁.七年级的同学们学了"用字母表示数"和"列代数式”的内容后，数学课外活动小组的同学们利

用课外活动时间举行用火柴棒拼图的实践活动.他们按照下图所示的方法拼图，探究不同图形中共拼出的

三角形个数，正方形的个数及所用火柴棒的根数与所拼图之间的关系，请你参与进去进行数学探究活动.

⑴观察：观察下图中正方形的个数及所用火柴棒根数，并填写下表中的空格：

第1个第2个第3个第4个

第1个第2个第3个第4个

拼成三角形个数12--

拼成的正方形个数35--

所用火柴棒总根数1220--

⑵探究：按如图所示的方法拼成的第〃个图中，三角形和正方形的个数各有多少？所用的火柴棒总根数是

多少？(用含W的代数式表示，并与同学们进行交流)

【变式训练2工找规律：

⑴小马利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表:

输入12345

]_2345

输出

2I101726

请问：当八马输入数据8时，输出的数据是（）

⑵一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起.

①2张桌子拼在一起可坐_____人，3张桌子拼在一起可坐一人，〃张桌子拼在一起可坐______人.

②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8

张大桌子，共可坐多少人.

【变式训练3】.观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第〃个图中小黑点

的个数为V

（1）（2〉（3）（4）（5）

①填表：

n12345

y13-13-

②当〃=8时，y=_.

③你能发现n与y之间的关系吗？

♦♦压轴能力测评X

1.观察下面的整式，根据规律写出横线上的整式：a,-a1,a3,-/,…，第〃个整式是；

2.观察下列单项式：x,-3/,9x3,-27/,81?,-243f…考虑它们的系数和次数.请写出第8个:.

3.按一定规律排列的数依次为：-g,Q，-鼻，且，…，其中aw0,按此规律排列下去，第10个数是

4.观察下列等式：

113

第1个等式：1-

2222

124

第2个等式：1-

第3个等式：l-31=3jx5j

4-44

按上述规律，回答下列问题：

(1)请写出第四个等式：_；

(2)第w个等式为：_；

⑶计算:『《卜『卦

5.观察下列算式:

113+1_22

1+—=；

3F-1^3

।18+1__32

1+-=-

8~8~274

,115+142

]_|___=_____=____

15153x5

按照上面的规律完成下列各题：

(1)第四个算式：1+1=舒==

(2)第五个算式为二

6.观察下列等式：

第1个等式：15?=xx12b10(

第2个等式：25?=xx23b1(X

第3个等式：35?=xx3410(

根据上述规律解答下列问题：

(1)任意写出一个有相同规律的等式」

(2)①直接写出第〃个(»>1,且"是整数)等式」

②请证明你在①中所写的等式成立.

7.【观察思考】如图,是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案.

【规律发现】

(1)第⑤个图案中"•"的个数为,的个数为

(2)第"个图案中"•"的个数为,的个数为

【规律应用】

(3)该同学准备用100枚"•"棋子和100枚"。"棋子摆放第w个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大

值为;此时还剩下枚棋子.

8.【观察思考】

作一个正方形、设每边长为。，将每边四等分，作一凸-凹的两个边长嘴的小正方形，如此连续操作几次,

便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案.

图1图2图3

【规律发现】

请用含。的式子填空：

（1）正方形进行第1次分形后得到了图2,此图形的周长为；

（2）重复上述的操作，图1需要经过第一次分形后才能得到图3的图案.

请用含。和〃的式子填空：

（3）经过“次分形得到的图案周长为,面积为.

【规律应用】

（4）结合上述规律，若分形前正方形的边长为1,是否存在不大于10的正整数〃，使得按规