同济高数上第五章定积分全答案

第五章定积分

第一节定积分的概念与性质

1.(中)利用定积分定义计算由抛物线y=f+i,两直线X二a、X=b(b>a)及X轴所

围成的图形的面积.

解析：

由于函数/("=f+l在区间⑶w上连续，因此可积，为计算方便，不妨

i(h-a],、

把[a⑼分成n等份，则分点为守=〃+'〃，(i=04,2,./),每个小区间长度为

h—a

M=--------，取媒为小区间的右端点七，则

n

i二l

=\a+------+1----

/=i|_knJJ/?

=之刃/+])+2/空i+空

ni=l〃f=ln一

=(一幻.+1)+贴”)20+s-)3(〃芈"I)

')n6n'

当〃―8时，上式极限为

b3-a3

(/?一〃)(/+1)+〃3-〃)2+—(/?-£Z)3=+h-a,

3

即为所求图形的面积.

2.(中下)利用定积分定义计算下列积分：

解析：

由于被积函数在积分区间上连续,因此把积分区间分成n等份,并取。为小

区间的右端点，得到

,\「人」.•i(b—a)b—ci

(1)x<h=hmVa+----------------

Jais片Ln]n

..,,(h-a)2+

=hma(b-a)+-------------------

n~2

(b-a)2b2-a2

(\Y+,

.e;-1

(2)[eAdr=limV-Uw=lim---r-

Jon〃T81

“I'ne"-n11

\/

limeM-1

〃T8

=-----x=e-l.

limnew-1

〃一

3.(中下)利用定积分的几何意义证明下列等式：

(1)f'2xdx=1;(2)[Vl-x2ck=—;

JoJo4

A££

22

(3)jsinxdt=0;(4)JTcosi-dx=2jcosjxlr.

~2

解析：

⑴根据定积分的几何意义定积分]:做?工表示由直线y=2x、x=l及x轴围

成的图形的面积，该图形是三角形底边长为L高为2,因此面积为1,即J；2xdv=l.

⑵根据定积分的几何意义,定积分「仄与心:表示的是由曲线y=jn"以及x轴y轴围

成的在第1象限内的图形面积，即单位圆的四分之一的图形,因此有£、仁/比=(.

⑶由于函数y=sinx在区间[Oji]上非负，在区间[-TTQ]上非正，根据定积分的几何意义，定积

分Jsinxdx表示曲线y=sinX(XE[0,TT])与x轴所围成的图形R的面积减去曲线y=sin

x(xE[-i[Q])与x轴所围成的图形2的面积，显然图形R与2的面积是相等的,因此有

a

Isinxdx=0.

TC71

(4)由于函数y=cosx在区间-耳，5上非负.根据定积分的几何意义，定积分是

j\cosxdx表示曲线y=cosx(x£0,^)与*轴和y轴所围成的图形。的面积加上曲线y

~2

=cosx(xE-y,0)与x轴和y轴所围成的图形2的面积，而图形。的面积和图形2的

cosxdx=2\2cosxdr.

Jo

4.(中上)利用定积分的几何意义求下列积分：

(1)£xdx(r>0);⑵卜;

⑶j>|dx;⑷1'9r2dx.

解析：

(1)根据定积分的几何意义，［1也表示的是由直线尸X,X=t以及X轴所围成的直角三

22

角形面积该直角三角形的两条直角边的长均为t,因此面积为一，故有「大山:二1•

2」。2

⑵根据定积分的几何意义，+表示的是由直线y=|+3,x=-2,x=4以及x轴所

-24

围成的梯形的面积，该梯形的两底长分别为耳+3=2和万+3=5,梯形的高为4-(-2)=6,

因此面积为21.故有匚(3+3卜=21.

⑶根据定积分的几何意义/阳山:表示的是由折线y二冈和直线x=・l,x=2以及x轴所

围成的图形的面积.该图形由两个等腰直角三角形组成，一个由直线y=-x,x=-1和x轴所围

成,其直角边长为L面积为一;另一个由直线y=x,x=2和x轴所围成,其直角边长为2,面积为

2.因此=

2

⑷根据定积分的几何意义「J9T2dx表示的是由上半圆周=y/9-X以及X轴所围成

J-3

的半圆的面积，因此有J：内二/h=g乃.

5.（中下）设a<b,问a、b取什么值时，积分「卜一/班取得最大值？

解析：

根据定积分几何意义,J：（x-x2）dx表示的是由y=x-/,x=a,x=b,以及x轴所围成的图

形在x轴上方部分的面积减去x轴下方部分面积.因此如果下方部分面积为0,上方部分面积

为最大时卜一/肘的值最大即当a=o,t（=1时，积分J：（x-d2取得最大值.

6.已知In2=1厂Lx,试用抛物线法公式（1-6）求出In2的近似值（取口=10,计算时取4位小

数）.

解析：

计算上并列表

i012345678910

匕0.000()0.100()0.20000.30000.4(X)00.50000.60000.70000.8(X)00.90001.0000

y.1.00000.90910.83330.76920.71430.66670.62500.58820.55560.52630.5000

按抛物线法公式(1-6),求得

$=9[(%+%)+2(%+)+，6+%)+4(%+%+%+%+%)]

«0.6931.

7.(中下)设J：3/(x)dx=18,[j(x)dx=4j：g(x)dr=3^

(1)f'/Wdx;(2)^f(x)dx;

(3)£'g(x)dx;(4)J：#4/(x)+3g(x)]改

解析：

l

(1)£/(x)dx=1j|3/(x)dx=6.

⑵J：f(x)dx=£/(x)dx-£/(x)dx=-2.

(3)j：ga)dx=_J：g(x)dr=_3.

(4)£|[4/(X)+3g(x)]dx=《£/(x)dx+1J：g(x)dx=5.

9.（中）证明定积分性质:

(1)=(&为常数)；⑵fldx=Cdx=b-a.

JaJaJ”Ja

解析：

根据定积分的定义，在区间［a,b］中插入n-1个点a=%<%</<…〈七=b,记

以=七一%，任取4€［Vi，xi］，则

(1)J：Z/(x)dx=J吧之女/(。)用=修吧£/(。).=%J：/(x)cU.

i=\i=\

b»

(2)CJldx=lim^Ax,.=\m(b-d)=b-a.

10.(中上)估计下列各积分的值：

5

⑴「(x2I1版；(2)Jf(H-sin2%)cU;

4

p02_

(3)!xarctanxdx;(4)er~xdx.

」方力

解析：

(1)在区间［1,4］上，2<x2+1417,因此有

6='2±^,(/+］AJ：17dx=51.

⑵在区间,万,2乃±,l=l+0^1+sin2x1+1=2,因此有

_44_

=jy(i^i1/T(l+sin2x)dA-『2dx=2i.

⑶在区间6上，函数/(x)=M"7mx是单调增加的，因此/［专)期(幻/(V3),

⑷设/(X)=Ae［0,2］,则/,(x)=2x-l,/(x)在［0,2］上的最大值、

最小值必为〃0)1(fJ(2)中的最大值和最小值，即最大值和最小值分别为"2)=2

和=_；，因此有

2e,=『4"可;j；e2dx=2e2,

而J：e2~xdx=-jjev2-xdx,故—2e?麴J：ex2-tdx-.

11.(中)2设/(x)在［0,1］上连续证明［：/(幻口.(£/“)口/

解析：

记。=£/2(x)dx，则由定积分性质5得

⑶一a］dxN0,

即

£［/2U)-a—=£f2Mdx-2aJ：f(x)dx+a2

22

=Jo7Wdx-［{/(x)dx］>O,

由此结论成立.

12.(中)设f(x)及g(x)在［〃向上连续，证明

(1)若在［4勿上,f(x)20,且f(x),0,则>0;

⑵若在［〃,用上1仅)20,且//(不世=0,则在［々,力上力仅)三0;

⑶若在［〃,句上,f(x)Wg(x),且，f{x}dx=£g(x)代则在勿上，f(x)三g(x).

解析：

⑴根据条件必定存在不«4司,使得/(小)>0.由函数/(外在不连续可知，存在awav

PWb,使得当XE[a,例时/(x)>与」因此有

£f(x)dx=J：f(x)dx+rf(x)dx+J；/(x)dr,

由定积分性质得到：

［"(x)cUK),「f(x)dx/，(；。)&=^1^0(工。)>。,J；/(x)dA?O,

故得到结论f/(xg>0.

⑵用反证法.如果f(x),O,则由⑴得到，“碎勿>0,与假设条件矛盾，因此结论成立.

(3)因为h［x)=g(x)-.0,且

J：h(x)dx=J：g(x)dx-J：f(x)dx=0,

由⑵可得在［a,切上

力*)三0,

从而结论成立.

13.(中下)根据定积分的性质及第12题的结论，说明下列各对积分哪一个的值较大:

(1)(Ydr还是113dx?

(2)J：x2dx还是［/心？

(3)］*：111杜还是］：。11%)2?

(4)心还是jjn(l+x)dr?

⑸心也还是£(1+)比？

解析：

(1)在区间01］上/Nd因此，/心比J*3dx大

⑵在区间［1,2］上/<X3,因此£?ch-比£x2dx大.

⑶在区间［1,2］上由于0W祇WL得仇¥N(伉¥)2,因此，pln^dr比j；(Inx)2大.

⑷由教材第三章第一节例1可知，当x>0时,ln(l+x)<x,因此(xdx比J；ln(l+x)dx

大.

⑸由于当x>0时ln（l+x）<x,故此时有l+xve\因此比£（l+/）dr大.

第二节微积分基本公式

rxJT

L（易）试求函数>=[sinfdf当x=0及x=二时的导数.

JO4

解析：

虫=sinx,因此虫=0,—=—2.

drdrx=0dx.三2

4

2.（易）求由参数表达式x=fsin〃d〃,y=[coswd〃所确定的函数对x的导数2.

JOJOdx

解析：

dydy,drcost

—=—/——=----=cotr

dxdrdrsint

3（易）求由1>+£。皿=°所决定的隐函数对X的导数詈

解析;

方程两端分别对X求导彳导ey电■+cosX=0,故攵=-e--vcosx.

axax

4.（易）当X为何值时，函数/。）=£化1山有极值?

解析:

容易知道/（X）可导，而/'（x）=为夕/=0只有惟一解><=0.当x<0时

/1（x）<0,3x>0时/'（X）>0,故x=0为函数/（x）的惟一的极值点（极小值点）.

5.（中下）计算下列各导数:

⑴就帅一⑵觊卷;

⑶—ftoscos(^r2)dr.

dj^Jsinx\'

解析:

2

(1)—\/l+ldl=2LJ1十人".

dxJo

=-sinxcos(7：cos2x)-cosxcos(4sin2x).

COS

⑶■£IZ(/)d，=却1rCOS(/)df-J:8S(/)d/

=(sinx-cosx)cos(^sin2x).

6.（中下）证明在［-L+8）上是单调增加函数，并求（/_iy（o）.

解析：

显然/（力在［口+8）上可导，且当X>-1时，f"（x）=Jl+1>0,因此

/（力在［-L+8）是单调增加函数.

注意到了⑴=0,故（尸）（0）=2=与

JV/乙

7.设/（"具有三阶连续导数,y=/（x）的图形如图5-1所示.问下列积分中的哪一个积分值

为负?

图5-1

(A)£/(x)(h-(B)£/wck

(C)J/'(x)dx(D)£/'(x)dx

解析：

根据y=〃x）的图形可知，在区间［-1,3］上/（x）>0,且/（-1）=/（3）=0,

/(-1)>0,/(-1)<0,八3)<0/(3)>0.因此

f/U)dx>0,£/(x)dLr=〃3)-/(-1)=0,

[=/(3)-/(-I)<0,£/'(x)dx=/"(3)-/(-D>0.故选(C).

8.（中）计算下列积分：

二(3/7+1"⑵『,1

⑴门7

⑶J：&l+G)dx;(4)

耳

dr

⑸(2-;⑹广舟

271-X

3X4+3X2+1

⑺1号dx;

x"+1

2

⑼——;(10)ptan<9d<9;

J-i1+%Jo

(11)

『Isinxg;

J+1,X,1,

(⑵f

f(x)dx,其中f(x)=・12

x>1.

解析：

⑴「(3/7+1粒x3--x2+x

2

⑶J：五(1+4)&丫=J：(4+X班=+~~

(4)

dr

⑸=[arcsinxpj=—.

4Vl-x2f3

-|\/3a

产dx1x冗

(6)arctan—

a2+x2

a03a

ridr.x71

⑺

arcsin—o=6

J。7^72

rQ3X4+3X2+1

(8)Lx2+1dr

|0,几

JC+arctanx=1+—

4

(9)仁鼻=口川+刈已

(10)J；tan2(9d<9=JJ(sec20-\^0=[tan夕一夕双=1一?

(IDJ。|sinx|dx=Jsinxdx+j(-sinx)dx

=[-cosX]Q+[cos=4.

2

(12)J：/(x)心=£(x+l)dx+J；冗&

Xx8

一+x十

2T3

9.（中）设ZwN+，试证下列各题：

(1)cosbrdx=0;⑵sinAirdr=0;

J-开J-尤

121

(3)cos~kxdx=7t;(4)|sin2%Edx=7r.

J-/TJ-4

解析：

⑴JcosAxdx=—sinAx=0.

J-开k

sin^rdx=--coskx=0.

⑵J「一若

2

(3)fcosZirck=-f(1+cos2Ax)ck=—fd.x=/r,其中由(1)得到fcosAxdx=0.

Jrr2Jr2)一开J

（4）『siY左心r=（l-cos2履）dx=g『dx=7r,其中由（1）得至ijJ

cosAxdx=0.

10.（中）设k,/£N+，且&工/,证明：

(1)cosAxsinArt£v=0;⑵[cosAxcoshrdr=0;

J-开Jr

1■

(3)sin履sin/xdr=0.

J-不

解析：

11

⑴「cosAxsin£r<Zr=—[sin(氏+/)x-sin(左一/)x]dx

J-万2J-一厅月

=sin(A+/)xdx-；J*sin(女_/)Adx

0.

其中由上一题「sin(A+/)xdx=0,Vsin(k-l)xdx=0.

J-nJ-JT

11

⑵JcosAxcos氏dx=一[8s(Z+l)x+cos(k-/)x]dx

J-K2，T二

=-cos(Z+/)xdx+」J”cos(^-l)xdx

242*

=0.

其中由上一题「cos伏+/)xdx=0,「cos伏一/)xdx=0.

J-工

r厅1t"

(3)sin履sin/xdx=—[cos(R+/)x-cos(2-/)x]dx

JF2J-a

=-gj：cos(%+/)xdx+gjncos(k-/)Adx

=0.

其中由上一题Jcos(Z+/)xdx=0,一cos(k-l)xdx=0.

JF

11.(中下)求下列极限：

2

fcos/2d/

(1)lim如-------;(2)lim好z)

XTOxx->01X%

解析:

fcosr2dr

..COSX2.

(1)limJo=lim--------=1.

XTOXx->0]

12.(中上)设・

xefOJ),

XG[1,2J.

求①(x)=J：/")山在［0,2］上的表达式，并讨论中中(x)在(0,2)内的连续性.

解析：

32[

22v

当XE[0,1)时，<P(x)=£rdrJ；SXG[1,2]0t①(幻=£/d/+j/d/=y-11gp

.V

XG[0,1),

~3

①⑺=«

X1-7

-^■一:，xe[l,2J

26

x31fX2111

由于lim①(x)=lim—=-,limO(x)=lim-----=一.且①⑴=一,故函数①")在x=

Il—33e7(26)33

1处连续而在其他点处显然连续，因此函数①“)在区间。2)内连续.

13.(中)设

〜、—sinx,0物k7t

f(x)=<2

0,x<0orx>7T

求(D(x)=£r/(r)dr在(YO,-KO)内的表达式.

解析：

当Xv()时，①(幻=r=0.

JO

当0<x<乃时，①(x)=，/(z)dr=£—sinrd/=--.

当X>)时，①(x)=ry(/)d/=r

JOJO

rn1

=(—sinzdr=1.

Jo2

即

0,x<0

①(x)=

1,X>71

14.iS/(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导且f\x)<0,

1f.X

F(x)=——J/(r)dr

x-aJa

证明在(a,b)内有U(x)W0.

解析：

F\x)=(x-a)f(x)-

、人~~C€JL.—

=/i.©-a)/。)-(x-e£(〃,©u［。向)

(x-a)

=f'(7)(［e记，x)<=S，力)

x-a

由条件可知结论成立.

cvcirit

15.(易)设F(x)=Jo丁1九求尸(°),

解析：

F，(O)=hm-二limZi

x->0xx->0x

sinx

x->01

16.(中上)设，(力在0+8)内连续，且lim,f(x)=l证明函数

y=e]b'/(f)df

满足微分方程?+>=/(幻,并求limy(x).

drx->+oo

解析：

?=Y-'1"(f)ck+e-x,e"(x)

axJo

=-y+f(x)

因此y(x)满足微分方程祟+y=/(X).

由条件lim/(x)=1,从而存在X。>0,当x>X。时，有

X->-W0

因此，

£ey(/)d/=f°e7(z)d/+J；eV(/)dr

.J：—)dr+舄一

Xox

=£e7(f)dz+|e0(x-X0),

故，当x->8时，£veV(/)dr^+oo,从而利用洛必达法则，有

,、「y(x)

lrimy(x)=hm---------=lim—e——=11.

x->+xe'X->-MOe、

第三节定积分的换元法和分部积分法

1.(中)计算下列定积分：

(1)Lsmx+—dx;(2)--------r;

号I3jJ-?(11+5X)3

(3)gsinQcos?网。;(4)£(l-sin3^)d^:

(5),cos'd”;(6)『,2-c2dx;

6

⑺嚣3-2vdy；⑻4丹戛；；

(9)1ax2yja2-x2dx(a>0);(10)「'-；

x2y/\+x2

r*xdx,、r4dx

/；(12)

(IDLJ5-4x斯i+4'

r>ck,、

(13);(14)

/4皿

rl—pe2(Lt

(15)fre2dr;(16)f/

JoJixVl+Inx

fp(x+2)dx；(18)J；xdx

(17)J-2%2+2x4-2

(x2-2X+2)2

(19)J：/sinxdx;(20)R4cos，例6;

~2

(arcsinx)2,,、代^sin2x.

12tdx;22f——；—dr;

(21)J4Vzi=？J"+2/+i

(23)j^cosxcos2xdx;(24)Vcosx-cos^dx;

~2~2

(25)V1+cos2xdx;(26)|j^|sin(x+l)|dx.

解析：

Hdxrid(ll+5x)_1_51

L(11+5x)3-L5(u+5x)3-[-10(11+5x)2L-市

2_1

(3)f2sin^cos3^d^=-f2cosVd(cosft>)=——cos,。

JoJo4,~4

(4)JJ(l-sin36)de=乃+「(1一cos?eg(cose)

u=cm0.f-'(oX.4

、、万+[^s-u-]du=7T--.

(5)cos2Md«=—j,(1+cos2u)du

627

715/3

w+-sin2w

22n~6~~S

6

(6)『JZ-xd、'Sm.'E2cos2udu=2-=y.

(7)Js；_^-2y2dy.v=2sin，/4x/2cos2wdw

£

=20J，l+cos2u)du.

=2收[〃+gsi

n2u=6(1+2).

£

£

⑻J：-du=J-(esc2u-ijdz/

J&x~J4Sinu

兀

=[-cotw-w];=1-

44,

fa、=---Tx=Qsin"£4X

(9)£x2\Ja~-x~dx=£2«4sin~ucos2udu=""(sin2w)2'd(2〃)

4斤

Z=W—f^siirrdr=—Psiirzdz

8J。4Jo

a4717C

=-----=—a

4416

-mr后丹=/内『

-2

(11)令〃="5—4x,即x----得

4

2「〃35T1

pxdx_riU-5A

L君—4元上-----dw=-----u=—.

8[248J36

(12)令11=«,即x=〃2得

广dx_^2udu=[2w-21n(l+w)]?=2+21n1.

L1+4Il+〃

(13)令〃=Jl-x,即x=l-〃2,得

r>dxro-2udu〜,八、、o,…人

13-]—=L-----=-2[u+ln(l—M)]।=1_21n2.

J4vl-x-1u-\§

o

=gh^x2+2x+2)+arclan(x+l)

-2

71

2

(18)令％=1+tan”,贝ijdx=sec?“du,因此

2xdx_Jxdx_(•j(14-tanu)du

°(X2-2X+2)2J°[(X-1)2-1]24sec%

K衣

=22cos2«dw=JJ(1+cos2w)dw

7t1

=F—.

42

(19)由于被积函数为奇函数，因此J：x4sinxch=0.

(20)由于被积函数为偶函数，因此

343

L48s4例，=2俨8s4比。=8彳?二一兀.

442

(21)由于被积函数为偶函数，因此有

r|(arcsinx)2.

Ji—r==2「空型/

Jo

2Vl-X

=2jJ(arcsinx)2d(arcsinx)

=-F(arcsinx)3下=且-

3L」。324

(22)由于被积函数为奇函数，因此

x3sin2X

fcU=O.

42

LX+2X+1

2

(23)j^cosxcos2xd¥=j^cosx(l-2sinx)dx

2

=J,(l-2sin2xjd(sinx)

~2

2

=sinA--sin3x

33

或者

£|£

J弓cosxcos2xdx=一「(cos3x+cosx)dr

K

12

--sin3x+sinx

233

~2

(24)[\yjcosx-cos3xdx=2pyjcosxsinxdx

J—*0

2

(25)J：Vl+cos2xdx=J；>/2sinxdx=V2［-cos蹴=2五

iljt2^+l

|sin(x+l)|dfr=］|sin〃|d〃，

由于|sinx|是以乃为周期的周期函数，因此

上式=2j；|sin〃|d〃=4.

pidrr-dz

2.(中下)证明：［「r=f-U>0).

Jx\+tl+r

解析：

rid/f1|4d._r；dt

产，J;1+M2-J'1+M2-J'T+7'

3.(中下)证明：［丁(1一x)"dx=1x"(l-幻"'dx(m,〃wN)

解析：

令X=1-〃，贝IJ

£x/M(l-x)Mcb:=1一(1一〃)"3加=j\M(l-xr(Lv.

4.(中)设/*)在［0,1］上连续，〃£Z,证明：

4+1M+I至

JJ"为sinx|)dx=”/(|cosx|)dr=£2/(sinx)dx

解析：

令1=〃+"4，则dx=d〃，因此

2

■+1fsin^w+^^dw

Jj'f(|sinx|)dx=J；

12/(sinu)du,〃为偶数,

=«

£

f.27(cosw)dw,〃为奇数.

£2/(cosw)dw,〃为偶数，

=

|*27(sin〃)d〃，〃为奇数.

Jo

由于《1?/。缶工)%=1/(cosxXlx,因此结论成立.

6.若/(/)是连续的奇函数，证明「/⑴山是偶函数;若/(力是连续的偶函数，证明

£/")山是奇函数.

解析：

记F(x)=J°"⑺出,则有

F(r)=rfWt=-£'/(-w)dw,

当/(x)为奇函数时，F(-x)=£7(/)d/=F(x)，故［：/⑺山是偶函数.

当/(x)为偶函数时，F(-x)=一j；/(/)dz=-F(x)，故£7(r)dr是奇函数.

7.(中上)计算下列定积分:

x

⑴£xe~dx;(2)jxlnxck;

2-£

1'8/sinGRk(o为常数)；(4)b.dx;

⑶2

Josin"x

⑸;(6)arctanxdx;

£2e2vcosxdx;

⑺(8)Jixlog2xdx;

⑼(xsinx)2dr;(10)J；sin(lnx)dx;

.m

(11)Jjlnxldx;(12)J。。一「尸dx(mwN+);

e

w

(13)J„,=JJxsinxdx[meN+).

解析:

⑴J。比一也=-1M6-')=-"1+卜,dr

=-e-1+F-e-Xt=1-i

jxinxdx9px.e*+1

⑵X-ax=-----

24

2网[2x]2x]

ta

⑶\tsincotdt=-----rd(cosart)=-----------[/coscot]^+一I3COS69d

J()69JoCDCO0

2乃1r.产2乃

“标+Rdl一版

£笈

(4)£导二胄Ad(cotx)=[-xcotx]|+pcotxdr

74

・帚+pnsi噌

万+"

4922

⑸2In.rd

=81n2-[4Vx]f=4(21n2-l).

2

(6)Jxarctanxdx=—£arctanxd(x)

—xarctanx

2

=[xarctanxl=1

f"^"^72

lx=gCcosxd(/，)

=-Fe2rcosx-|2e2xsinxdx

2LJO2J0

=一；+；[：sinxd(e2A)

_l,lr2.,2A

=24Lesin坪一一pecosxdx,

」o4Jo

因此有

£2e2rcosxdx=i(e,T-2)

(8)jjxlog2xdr=^Jjog2M，)

=标log

-」|2J1ln2

[打=2-二-

=2———

41n2L54In2

(9)J：(xsinx)2(ir=gl乃2

)x-(l-cos2x)dx

1”、

=x2d(sin2x)

6

上

--[x1sin2x