2025届河北省部分学校高三上学期12月阶段性测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省部分学校2025届高三上学期12月阶段性测试数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足(为虚数单位)，则（）A.4 B.4 C.6 D.6【答案】C【解析】因为，所以，即，所以,故选：C2.已知一个圆台的上、下底面半径分别为、，它的母线长为，则这个圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形，过点、在平面内分别作，，垂足分别为、，如下图所示：在梯形内，，，，则，故四边形为矩形，所以，，，在、中，，，，所以，，所以，，所以，，因此，该圆台的体积为.故选：D.3.已知向量与向量夹角为钝角，则实数取值范围是（）A. B.且C. D.且【答案】B【解析】若，的夹角为钝角，则，且与不共线，即，且，解得且．故选：B．4.已知等差数列前项和为Sn，若，则使的最小的的值为（）A.17 B.18 C.19 D.20【答案】C【解析】根据题意，数列为等差数列，且，，则有，且，即，，则，，故满足的最小值为19，故选：C5.已知、，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为、，则，由题意可得，解得，所以，，故.故选：D.6.若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以当时，因此．故选：A7.已知是锐角三角形，角、、所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得，整理可得，因为，则，可得，所以，，因为为锐角三角形，则，即，解得，所以，，则，所以，.故选：B.8.在直三棱柱中，底面满足，，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.本题中，将直三棱柱放在圆柱中，如下图所示：设，因为，则，则的外接圆直径为，，设，则，可得，，令，其中，则，当时，，此时，函数单调递减，当时，，此时，函数单调递增，所以，，即，故该三棱柱外接球的表面积，故选：A.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（）A.、、 B.、、C.、、 D.、、【答案】BC【解析】对于A选项，因为，所以，、、共面，A不满足要求；对于B选项，假设、、共面，则存在、，使得，因为是空间的一个基底，由空间向量基本定理可得，该方程组无解，故假设不成立，所以，、、能构成空间一个基底，B满足条件；对于C选项，假设、、共面，则存在、，使得，可得，则、、共面，与题设矛盾，假设不成立，所以，、、能构成空间一个基底，C满足条件；对于D选项，因为，所以，、、共面，D不满足条件.故选：BC.10.已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.函数在上的值域为C.函数是奇函数D.函数的图象可由上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移得到【答案】ACD【解析】A．由图可得，，，解得，又函数图象经过点，所以，即，因为，所以，解得，故，故A正确；B．当时，，所以，所以，故B错误；C．是奇函数，故C正确；D．上所有点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，再向右平移得到的图象，故D正确，故选：ACD．11.已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（）A. B.是等比数列C.是递增数列 D.是等比数列【答案】ABC【解析】对于A，由得，，故，所以．A正确；对于B，将与整体相减得，，所以，又，即，所以．即，且，因此是等比数列，B正确；对于C，因为，所以，由指数函数的单调性可知，数列是递增数列，故C正确；对于D，．所以，显然不是常数，所以不是等比数列，故D错误.故选：ABC．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则_____.【答案】【解析】因为，则.故答案为：.13.已知数列中，且，则_____【答案】【解析】因为，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，所以，故答案为：14.在平行六面体中，,，，，若，其中、、，给出下列四个结论:①若点为的中点，则；②若点在平面内，则；③若，则三棱锥的体积为；④若点为的中点，则异面直线与垂直.所有正确结论的序号是_____（把所有正确命题的序号都填在横线上）.【答案】①②④【解析】对于①，由空间向量数量积的定义可得，同理可得，，若为的中点，则，所以，，故，①对；对于②，若点在平面内，则存在实数、，使得，所以，，所以，，又因为，则，，，所以，，②对；对于③，若，则，可得，则、、共面，又因为平面，则平面，所以，，因为，所以，，因为，，则平行四边形为正方形，所以，，因为，、平面，所以，平面，因为，所以，，则，设，则为的中点，所以，，则，所以，，③错；对于④，若点为的中点，则平面，又因为平面，故，④对.故答案为：①②④.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列为等差数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，所以，解得，所以；（2）因为，所以，所以.16.记内角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围.解：（1）由余弦定理可得,再由正弦定理可得即，因为，所以，所以，所以.（2）由题意，，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，又，所以，所以，从而，所以面积的取值范围17.已知四棱锥中，平面，，，，，点为上靠近的三等分点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.（1）证明：在线段上取点，使得，连接、，如下图所示：因为，则且，因为，，，则，所以，且，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，因此，平面.（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0、、、，设平面的法向量为m=x1,y1则，取，则，设平面的法向量为n=x2,则，取，则，所以，.由图可知，平面与平面所成角为锐角，因此，平面与平面所成角的余弦值为.18.设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”.（1）求的值，并求出的和公比；（2）若，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，则，所以，数列为等差数列，则，所以，，根据题意可得，其中为非零常数，即，所以，，解得.（2）由（1）可得，所以，，则，，上式下式可得，因此，.（3）由可得，整理可得对任意的恒成立，因为，则数列为单调递增数列，所以，，因此，实数的取值范围是.19.图1是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.（1）求证：；（2）若平面平面，在棱上找一点，使得点到平面的距离为，并求的值；（3）在（2）的前提下，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：取线段的中点，连接、，翻折前，因为四边形是边长为的菱形，并且，则，所以，为等边三角形，同理可知，也为等边三角形，翻折后，则、都是等边三角形，因为为的中点，则，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，因此，.（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，设平面的法向量为m=x,y,z则，取，可得，设，其中，则所以，点到平面的距离为，因为，解得，即.（3）解：由（1）得，所以，，所以，直线与平面所成角的正弦值为.河北省部分学校2025届高三上学期12月阶段性测试数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足(为虚数单位)，则（）A.4 B.4 C.6 D.6【答案】C【解析】因为，所以，即，所以,故选：C2.已知一个圆台的上、下底面半径分别为、，它的母线长为，则这个圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形，过点、在平面内分别作，，垂足分别为、，如下图所示：在梯形内，，，，则，故四边形为矩形，所以，，，在、中，，，，所以，，所以，，所以，，因此，该圆台的体积为.故选：D.3.已知向量与向量夹角为钝角，则实数取值范围是（）A. B.且C. D.且【答案】B【解析】若，的夹角为钝角，则，且与不共线，即，且，解得且．故选：B．4.已知等差数列前项和为Sn，若，则使的最小的的值为（）A.17 B.18 C.19 D.20【答案】C【解析】根据题意，数列为等差数列，且，，则有，且，即，，则，，故满足的最小值为19，故选：C5.已知、，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为、，则，由题意可得，解得，所以，，故.故选：D.6.若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以当时，因此．故选：A7.已知是锐角三角形，角、、所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得，整理可得，因为，则，可得，所以，，因为为锐角三角形，则，即，解得，所以，，则，所以，.故选：B.8.在直三棱柱中，底面满足，，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.本题中，将直三棱柱放在圆柱中，如下图所示：设，因为，则，则的外接圆直径为，，设，则，可得，，令，其中，则，当时，，此时，函数单调递减，当时，，此时，函数单调递增，所以，，即，故该三棱柱外接球的表面积，故选：A.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（）A.、、 B.、、C.、、 D.、、【答案】BC【解析】对于A选项，因为，所以，、、共面，A不满足要求；对于B选项，假设、、共面，则存在、，使得，因为是空间的一个基底，由空间向量基本定理可得，该方程组无解，故假设不成立，所以，、、能构成空间一个基底，B满足条件；对于C选项，假设、、共面，则存在、，使得，可得，则、、共面，与题设矛盾，假设不成立，所以，、、能构成空间一个基底，C满足条件；对于D选项，因为，所以，、、共面，D不满足条件.故选：BC.10.已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.函数在上的值域为C.函数是奇函数D.函数的图象可由上所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移得到【答案】ACD【解析】A．由图可得，，，解得，又函数图象经过点，所以，即，因为，所以，解得，故，故A正确；B．当时，，所以，所以，故B错误；C．是奇函数，故C正确；D．上所有点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，再向右平移得到的图象，故D正确，故选：ACD．11.已知数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（）A. B.是等比数列C.是递增数列 D.是等比数列【答案】ABC【解析】对于A，由得，，故，所以．A正确；对于B，将与整体相减得，，所以，又，即，所以．即，且，因此是等比数列，B正确；对于C，因为，所以，由指数函数的单调性可知，数列是递增数列，故C正确；对于D，．所以，显然不是常数，所以不是等比数列，故D错误.故选：ABC．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则_____.【答案】【解析】因为，则.故答案为：.13.已知数列中，且，则_____【答案】【解析】因为，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，所以，故答案为：14.在平行六面体中，,，，，若，其中、、，给出下列四个结论:①若点为的中点，则；②若点在平面内，则；③若，则三棱锥的体积为；④若点为的中点，则异面直线与垂直.所有正确结论的序号是_____（把所有正确命题的序号都填在横线上）.【答案】①②④【解析】对于①，由空间向量数量积的定义可得，同理可得，，若为的中点，则，所以，，故，①对；对于②，若点在平面内，则存在实数、，使得，所以，，所以，，又因为，则，，，所以，，②对；对于③，若，则，可得，则、、共面，又因为平面，则平面，所以，，因为，所以，，因为，，则平行四边形为正方形，所以，，因为，、平面，所以，平面，因为，所以，，则，设，则为的中点，所以，，则，所以，，③错；对于④，若点为的中点，则平面，又因为平面，故，④对.故答案为：①②④.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列为等差数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，所以，解得，所以；（2）因为，所以，所以.16.记内角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围.解：（1）由余弦定理可得,再由正弦定理可得即，因为，所以，所以，所以.（2）由题意，，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，又，所以，所以，从而，所以面积的取值范围17.已知四棱锥中，平面，，，，，点为上靠近的三等分点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.（1）证明：在线段上取点，使得，连接、，如下图所示：因为，则且，因为，，，则，所以，且，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，因此，平面.（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0、、、，设平面的法向量为m=x1,y1