2025高考数学一轮复习3.2导数与函数的单调性【课件】

第三章一元函数的导数及其应用第2节导数与函数的单调性1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)上__________f′(x)＜0f(x)在(a，b)上__________f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是__________单调递增单调递减常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的________；第2步，求出导函数f′(x)的______；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.定义域零点1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解.常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.(

)(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(

)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(

)(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数.(

)×√×√解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(

)A.f(b)＞f(c)＞f(d) B.f(b)＞f(a)＞f(e)C.f(c)＞f(b)＞f(a) D.f(c)＞f(d)＞f(e)CD解析由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，因为a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a).当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(c，e)上单调递减，因为c＜d＜e，所以f(c)＞f(d)＞f(e).

3.(选修二P97T2改编)函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是

______________________.解析由f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)＞0，4.(选修二P89练习T2改编)若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是___________.[－3，0]解析f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一不含参函数的单调性例1(1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(

)A.f(x)＝sin2x B.f(x)＝xexC.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋lnxB对于B，f′(x)＝(x＋1)ex＞0，符合题意；(1，＋∞)φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0，1)时，φ(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)＜0，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.感悟提升确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.D(2)已知定义在区间[0，π]上的函数f(x)＝x＋2cosx，则f(x)的单调递增区间为________________.解析f′(x)＝1－2sinx，x∈[0，π]，考点二含参函数的单调性由f′(x)<0，得0<x<1，由f′(x)>0，得x>1，此时函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；感悟提升若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.训练2(2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性.解

由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a).令f′(x)>0，则x<x1或x>x2；令f′(x)<0，则x1<x<x2.所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减.考点三函数单调性的应用(2，＋∞)解析因为f(x)＝(x2－mx＋2)ex，所以f′(x)＝(2x－m)ex＋(x2－mx＋2)ex＝[x2＋(2－m)x＋2－m]ex，当且仅当x＋1＝1，即x＝0时取等号，所以m>2.(2)(2023·全国乙卷)设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是___________.解析由题意得当x＞0时，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故只需满足g(0)≥0，即lna＋ln(1＋a)＝ln(a＋a2)≥0，D解析由题意，得f′(x)＝3－2sinx.因为－1≤sinx≤1，所以f′(x)>0恒成立，所以f(x)是增函数.B解析由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞).感悟提升1.根据函数单调性求参数的方法：(1)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集.(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).2.利用导数比较大小或解不等式，其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小或解不等式.AC所以f′(x)≤0，所以f(x)在R上单调递减，又f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，所以f(3a2)＋f(2a－1)≥0⇒f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上是(

)A.增函数 B.减函数

C.先增后减 D.不确定A解析∵f(x)＝2x－sinx，∴f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.D3.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)D解析f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的单调递增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的单调递减区间，验证只有D符合.D解析当x≥0时，f′(x)＝ex＋cosx，因为ex≥1，cosx∈[－1，1]，所以当x≥0时，f′(x)＝ex＋cosx≥0恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(－π)＝f(π)＝eπ，BA7.已知a∈R，则“a≤2”是“f(x)＝lnx＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件A8.函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为______________________，单调递减区间为__________.(－∞，0)，(ln2，＋∞)(0，ln2)解析f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln2，当x∈(－∞，0)∪(ln2，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(0，ln2)时，f′(x)＜0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln2).－2解析f′(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的单调递减区间是(－3，1)，得f′(x)＜0的解集为(－3，1)，则－3，1是f′(x)＝0的解，∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2.(2)函数f(x)的单调区间.所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，所以f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).解由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)，①若a≥0，则当0<x<3时，f′(x)>0，当x>3时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减；②若－3<a<0，由f′(x)<0，得0<x<－a或x>3，由f′(x)>0，得－a<x<3，∴f(x)在(0，－a)，(3，＋∞)上单调递减，在(－a，3)上单调递增；③若a＝－3，则f′(x)≤0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减；④若a<－3，由f′(x)<0，得0<x<3或x>－a，由f′(x)>0，得3<x<－a，∴f(x)在(0，3)，(－a，＋∞)上单调递减，在(3，－a)上单调递增.13.(2024·北京顺义区模拟)已知函数f(x)＝log2(x＋1)－x，则不等式f(x)>0的解集是(

) A.(1，＋∞) B.(0，＋∞) C.(0，1) D.(－1，0)∪(1，＋∞)C故此时f(x)＝log2(x＋1)－x趋近于－∞，又f(0)＝0，f(1)＝log22－1＝0，所以可作出函数f(x)＝log2(x＋1)－x的大致图象如图，由图可知不等式f(x)>0的解集是(0