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文档简介

第三章一元函数的导数及其应用3.5指数、对数均值不等式需注意的是，在实际解题过程中，凡涉及这两个不等式的都需给出证明，以确保考试不被扣分.题型一对数均值不等式的应用①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)＜0；当x∈(x1，x2)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增.证明法一由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由于x1x2＝1，不妨设x1＜x2，则x2＞1.法二由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x1＜x2，则x2＞1.感悟提升关键是凑配出利用对数均值不等式的形式.训练1

若函数f(x)＝lnx－ax有两个不同的零点x1，x2，证明：x1x2＞e2.(注：此题用对数均值不等式证明)证明

借助a作为媒介，构造对数均值不等式.依题意，lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0.两式相加，得lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2).故欲证x1x2＞e2，即证lnx1＋lnx2＞2，由对数均值不等式知上式显然成立.综上，x1x2＞e2成立.题型二指数均值不等式例2

(2024·石家庄质检改编)已知函数f(x)＝ex－ax(a>1)有两个不同的零点x1，x2，x1<x2，求证：x1＋x2>2.感悟提升当出现指数和、指数差时，考虑利用指数均值不等式进行放缩，进而得到所求不等式的范围.训练2

已知a∈R，函数f(x)＝2ln(x－2)＋a(x－2)2，若函数f(x)的两个相异零点x1，x2，求证：x1x2＋4>2(x1＋x2)＋e.证明

x1x2＋4>2(x1＋x2)＋e⇔(x1－2)(x2－2)>e⇔ln(x1－2)＋ln(x2－2)>1.设t1＝ln(x1－2)，t2＝ln(x2－2)，故原命题转化为：函数g(t)＝2t＋ae2t有两个相异零点t1，t2，设t1<t2，证明t1＋t2>1，课时分层精练KESHIFENCENGJINGLIAN2.若m>0，x1，x2为函数f(x)＝ex－mx－a的两个零点，且x1<x2，求证：2x1＋x2<

3lnm.证明由f′(x)＝ex－m，由f′(x)<0，得x<lnm；由f′(x)>0，得x>lnm，则f(x)在(－∞，lnm)上单调递减，在(lnm，＋∞)上单调递增，故x1<lnm<x2，①由①②得2x1＋x2<3lnm.当x＞1时，h′(x)

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