三角函数基础训练-2025届高三数学二轮复习

三角函数基础训练一、单项选择题1．－sin133°cos197°－cos47°cos73°等于()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)2．若sinα＝eq\f(1,3)，则cos2α等于()．A.eq\f(8,9) B.eq\f(7,9)C．－eq\f(7,9) D．－eq\f(8,9)3．(1＋tan17°)(1＋tan28°)的值是()．A．－1 B．0C．1 D．24．在△ABC中，sinA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，则cosC＝()．A.eq\f(16,65) B．－eq\f(16,65)C.eq\f(16,65)或－eq\f(16,65) D．－eq\f(63,65)二、多项选择题5．下列四个选项中，计算正确的有()．A．cos(－15°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)B．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝cos(15°－105°)＝0C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2)D．sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝eq\f(1,2)6．下列说法正确的有()．A．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，则cosα＝－eq\f(\r(2),10)B．若sin2α＝eq\f(2,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,6)C．若sinα＋cosβ＝eq\f(1,3)，sinβ－cosα＝eq\f(1,2)，则sin(α－β)＝－eq\f(59,72)D.eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(1,2)三、填空题7．计算：tan42°＋tan18°＋eq\r(3)tan42°tan18°＝.8．已知sinα＋3cosα＝－eq\r(10)，则tan2α＝eq\f(3,4)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝.9．已知tanα＋tanβ＝3，sin(α＋β)＝3sin(α－β)，则tan(α－β)＝.四、解答题10．在①tanα＝4eq\r(3)，②7sin2α＝2sinα，③coseq\f(α,2)＝eq\f(2\r(7),7)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，，求cosβ的值．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α和钝角β的终边与单位圆⊙O分别交于点A，B，x轴的非负半轴与单位圆⊙O交于点M，已知S△OAM＝eq\f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq\f(\r(2),10).(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．第11题图三角函数基础训练答案一、单项选择题1．－sin133°cos197°－cos47°cos73°等于(A)．A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)2．若sinα＝eq\f(1,3)，则cos2α等于(B)．A.eq\f(8,9) B.eq\f(7,9)C．－eq\f(7,9) D．－eq\f(8,9)3．(1＋tan17°)(1＋tan28°)的值是(D)．A．－1 B．0C．1 D．24．在△ABC中，sinA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，则cosC＝(A)．A.eq\f(16,65) B．－eq\f(16,65)C.eq\f(16,65)或－eq\f(16,65) D．－eq\f(63,65)二、多项选择题5．下列四个选项中，计算正确的有(BCD)．A．cos(－15°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)B．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝cos(15°－105°)＝0C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2)D．sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝eq\f(1,2)6．下列说法正确的有(BCD)．A．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，则cosα＝－eq\f(\r(2),10)B．若sin2α＝eq\f(2,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,6)C．若sinα＋cosβ＝eq\f(1,3)，sinβ－cosα＝eq\f(1,2)，则sin(α－β)＝－eq\f(59,72)D.eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(1,2)三、填空题7．计算：tan42°＋tan18°＋eq\r(3)tan42°tan18°＝eq\r(3).8．已知sinα＋3cosα＝－eq\r(10)，则tan2α＝eq\f(3,4)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝2.9．已知tanα＋tanβ＝3，sin(α＋β)＝3sin(α－β)，则tan(α－β)＝eq\f(1,3).四、解答题10．在①tanα＝4eq\r(3)，②7sin2α＝2sinα，③coseq\f(α,2)＝eq\f(2\r(7),7)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，，求cosβ的值．选条件①：因为tanα＝4eq\r(3)，所以eq\f(sinα,cosα)＝4eq\r(3).结合sin2α＋cos2α＝1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4\r(3),7)，,cosα＝\f(1,7)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝－\f(4\r(3),7)，,cosα＝－\f(1,7).))因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4\r(3),7)，,cosα＝\f(1,7).))因为cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝eq\f(2\r(2),3)，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(1,3)×eq\f(1,7)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(8\r(6)－1,21).选条件②：因为7sin2α＝2sinα，所以14sinα·cosα＝2sinα，因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinα≠0，所以cosα＝eq\f(1,7)，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7).以下同选条件①.选条件③：因为coseq\f(α,2)＝eq\f(2\r(7),7)，所以cosα＝2cos2eq\f(α,2)－1＝eq\f(1,7).结合sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝eq\f(48,49).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7).以下同选条件①.11．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α和钝角β的终边与单位圆⊙O分别交于点A，B，x轴的非负半轴与单位圆⊙O交于点M，已知S△OAM＝eq\f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq\f(\r(2),10).(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．第11题图(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，因为S△OAM＝eq\f(1,2)|OA|·|OM|sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以sinα＝eq\f(2\r(5),5)，又α为锐角，所以cosα＝eq\f(\r(5),5).因为点B是钝角β的终边与单位圆⊙O的交点，且点B的纵坐标是eq\f(\r(2),10)，所以sinβ＝eq\f(\r(2),10)，cosβ＝－eq\f(7\r(2),10)，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7\r(2),10)))＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(2),10)＝－eq\f(\r(10),10).(2)因为sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(\r(5),5)，cos(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7\r(2),10)))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(2),10)＝－eq\f(3\r(10),10)，所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sinαcos(α－β)＋cosαsin(α－β)＝－eq\f(\r(2),2)，因为α为锐角，sinα＝eq\f(