2025新华师大版七年级数学下教案8.1.3．三角形的三边关系（带反思）

第8章三角形8.1.3三角形的三边关系1．掌握三角形按边分类的方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形．2．探索并掌握三角形两边之和大于第三边与两边之差小于第三边的性质，并会初步运用这些性质解决问题．3．会用数学语言描述三角形的三边关系．重点：三角形的三边关系．难点：三角形的三边关系的应用．一、情境导入在一次手工制作活动课中，老师要求大家以现有的1cm，2cm，3cm，4cm，5cm五种类型木条做一个三角形，同学们能做出多少种不同的三角形呢？二、合作探究探究点一：三角形中三边之间的关系【类型一】三角形的形成条件以下列各组线段为边，能组成三角形的是()A．2cm，3cm，5cmB．5cm，6cm，10cmC．1cm，1cm，3cmD．3cm，4cm，9cm解析：选项A中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．已知等腰三角形ABC.(1)若其两边长分别为2和3，求△ABC的周长；(2)若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求△ABC的三边长．解析：(1)因为等腰三角形的两边长分别为2和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．(2)已知给出的9和18两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰长为x，分两种情况讨论：x＋eq\f(1,2)x＝9或x＋eq\f(1,2)x＝18.解：(1)当2为底时，三角形的三边为3，2，3，可以构成三角形，周长为3＋2＋3＝8；当3为底时，三角形的三边为3，2，2，可以构成三角形，周长为3＋2＋2＝7.故△ABC的周长为8或7.(2)设三角形的腰长为x，如图：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线，则有AB＋AD＝9或AB＋AD＝18，分下面两种情况：①AB＋AD＝9，即x＋eq\f(1,2)x＝9，∴x＝6.∵三角形的周长为9＋18＝27(cm)，∴三边长分别为6，6，15.∵6＋6＜15，不符合三角形的三边关系，不能构成三角形，∴舍去；②AB＋AD＝18，即x＋eq\f(1,2)x＝18，∴x＝12.∵三角形的周长为27，∴三边长分别为12，12，3.综上可知，这个等腰三角形的三边长分别为12，12，3.方法总结：在没有指明底或腰时，利用三角形的构成条件和等腰三角形的性质，需进行分类讨论；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证．【类型二】三角形三边关系与绝对值的综合若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．探究点二：三角形的稳定性下列图形中，具有稳定性的是()解析：根据三角形具有稳定性可得选项B具有稳定性，故选：B.方法总结：是否具有稳定性，就要看组成图形的基本图形是否都为三角形，只有三角形才具有稳定性．要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定……那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？解析：由于多边形(三边以上的)不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．解：过n边形的一个顶点可以作(n－3)条对角线，把多边形分成(n－2)个三角形，所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要(n－3)根木条固定．方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．三、板书设计1．三角形中三边之间的关系：三角形的任何两边的和大于第三边．2．三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形”引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步