浙江省江山某中学高中数学 第三章 概率

浙江省江山实验中学高中数学第三章概率§3.1学案新人教A版

必修3

学习目标：

1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；

2.了解概率的意义以及频率与概率的区别；

3.正确理解概率的意义。

重点：理解频率与概率的关系

难点：对概率含义的正确理解

《预习案》

-、相关知识

1.事件的概念及分类

不可

在条件S下，_____________的事件，叫做相对于条件

能事

确定S的不可能事件

件

事事件

必然在条件S下，________的事件，叫做相对于条件S的必

件

事件然事件

随机在条件S下______________________的事件，叫做相对于条件S的随

事件机事件

2.频数与频率

在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中

为事件A出现的频数，称为事件A出现的频率.

3.概率

(1)含义：概率是度量随机事件发生的的量.

(2)与频率联系：对于给定的随机事件A,事件A发生的频率fh(A)随着试验次数的增加稳定

于,因此可以用来估计概率P(A).

二、教材助读

(1)水温达到100度一定沸腾，这句话对吗？

(2)频率是概率的近视值，概率是频率的稳定值。

三、预习自测

1.有下列事件：

①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；

②异性电荷相互吸引；

③在标准大气压下，水在1°C结冰；

④买了一注彩票就得了特等奖.

其中是随机事件的有()

A.①②B.①@

C.①③④D.②④

2.下列事件中，不可能事件是()

A.三角形的内角和为180°

B.三角形中大角对大边，小角对小边

C.锐角三角形中两内角和小于90°

D.三角形中任两边之和大于第三边

3.有下列现象：

①掷一枚硬币，出现反面；②实数的绝对值不小于零；③若a>b,则b<a.其中是随机现象的

是()

A.②B.①

C.③D.②③

4.先后抛掷枚均匀硬币三次，至多有一次正面向上是()

A.必然事件B.不可能事件

C.确定事件D.随机事件

5.下列说法正确的是()

A.某厂一批产品的次品率为5%,则任意抽取其中20件产品一定会发现一件次品.

B.气象部门预报明天下雨的概率是90%,说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的

地方不会下雨.

C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能

治愈.

D.掷一枚均匀硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概

率仍然都为50%.

6.在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为非，当n很大时，事件A发生的概率P(A)

与郎的关系是()

mm

A.P(A)<B.P(A)<—

C.P(A)*D.P(A尸与

7.将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是事件.

8.在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：

①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；

②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；

③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”.

其中是随机事件；是不可能事件.(填上事件的编号)

我的疑惑？请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探

究解决。

《探究案》

探究一.

判断下列事件是否是随机事件.

①在标准大气压下水加热到100℃,沸腾；

②在两个标准大气压下水加热到100℃,沸腾;

③水加热到io(rc,沸腾.

探究二.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示:

射击次数n102050100200500

击中靶心的次数m8194492178455

击中靶心的频率三

(1)计算表中击中靶心的各个频率；

(2)这个射手射击一次击中靶心的概率约是多少？

拓展提升：用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下:

直径个数直径个数

6.88<d<6.8916.93<d<6.9426

6.89<d<6.9026.94<d<6.9515

6.90<d<6.91106.95<d<6.968

6.91<d<6.92176.96<d<6.972

6.92<d<6.93176.97<d<6.982

从这100个螺母中任意抽取一个，求

(1)事件A(6.92<dW6.94)的频率；

(2)事件B(6.90<dW6.96)的频率；

(3)事件C(d>6.96)的频率；

(4)事件D(dW6.89)的频率.

三我的知识网络图一归纳梳理、整合内化

四当堂检测

1.将一骰子抛掷1200次，估计点数是6的次数大约是次；估计点数大于3的次数大

约是次.

2.在一篇英文短文中，共使用了6000个英文字母(含重复使用)，其中字母“e”共使用了900

次，则字母“e”在这篇短文中的使用的频率为

®反思感悟

1.随机试验

如果一个试验满足以下条件：

(1)试验可以在相同的条件下重复进行；

(2)试验的所有结果是明确可知的，但不止一个；

(3)每次试验总是出现这些结果中的•个，但在试验之前却不能确定会出现哪•个结果.

则这样的试验叫做随机试验.

2.频数、频率和概率之间的关系：

(1)频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数，频率是频数与试验总次数的比值，而概率

是随机事件发生的可能性的规律体现.

(2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果，但它具有一定的稳定性，概率是频

率的稳定值，是频率的科学抽象，不会随试验次数的变化而变化.

3.辩证地看待“确定事件”、“随机事件”和“概率”.一个随机事件的发生，既有随机性(对一次

试验来说)，又存在着统计规律性(对大量重复试验来说)，这是偶然性和必然性的统一.就概

率的统计定义而言，必然事件U的概率为1,P(U)=1；不可能事件V的概率为0,P(V)=0；

而随机事件A的概率满足gP(A)Wl.从这个意义上讲，必然事件和不可能事件可以看作随机

事件的两个极端情况.

答案：

3.1.1随机事件的概率

知识梳理

1.一定不会发生一定会发生可能发生也可能不发生2.事件A出现的次数nA事件A

nA

出现的比例fii(A)=k3.(1)可能性⑵概率P(A)频率fn(A)

作业设计

1.B[①、④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件.]

2.C[锐角三角形中两内角和大于90”

3.B[①是随机现象；②③是必然现象.]

4.D5.D6.A

7.随机

8.①③②

解析因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件.

9.0.15

解析频率=0=0.15.

10.解在①、②、③中“沸腾”是试验的结果，称为事件，但在①的条件下是必然事件，在

②的条件下是不可能事件，在③的条件下则是随机事件.

11.解(1)由公式可算得表中击中靶心的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

(2)由(1)可知，射手在同一条件下击中靶心的频率虽然各不相同，但都在常数0.9左右摆动，

所以射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.

12.200600

解析一粒骰子上的6个点数在每次掷出时出现的可能性(即概率)都是看而掷出点数大于3

包括点数为4,5,6三种.故掷出点数大于3的可能性为方3=；1,故N1弋1x1200=200,N2=1%

200=600.

13.解(1)事件A的频率［人)=与泸=0.43.

(2)事件B的频率

10+17+17+26+15+8

=0.93.

f(B)=100

_2+2

(3)事件C的频率f(C)=o=0.04.

(4)事件D的频率f(D)=y^=0.01.

3.1.2概率的意义

【课时目标】1.通过实例，进一步理解概率的意义2会用概率的意义解释生活中的实例.3.了解

“极大似然法”和遗传机理中的统计规律.

知识梳理•

1.对概率的正确理解

随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有，认识了这种随机性中

的,就能比较准确地预测随机事件发生的.

2.游戏的公平性

⑴裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均为

,所以这个规则是的.

(2)在设计某种游戏规则时，•定要考虑这种规则对每个人都是的这一重要原则.

3.决策中的概率思想

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么““可以作

为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想

方法之一.

4.天气预报的概率解释

天气预报的“降水”是一个，”降水概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的

为90%,在一次试验中，概率为90%的事件也，因此，“昨天没有下雨”并不

能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是的.

5.孟德尔与遗传机理中的统计规律

孟德尔在自己长达七、八年的试验中，观察到了遗传规律，这种规律是一种统计规律.

作业设计•]

一、选择题

1.某气象局预报说，明天本地降雪的概率为90%,下列解释正确的是（）

A.明天本地有90%的区域下雪，10%的区域不下雪.

B.明天本地下雪的可能性是90%.

C.明天本地全天有90%的时间下雪，10%的时间不下雪.

D.明天本地一定下雪.

2.已知某厂的产品合格率为90%,现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（）

A.合格产品少于9件

B.合格产品多于9件

C.合格产品正好是9件

D.合格产品可能是9件

3.每道选择题有4个选择项，其中只有I个选择项是正确的，某次考试共有12道选择题，

某人说：“每个选择项正确的概率是小我每题都选择第一个选择项，则定有3道题选择结

果正确“，这句话（）

A.正确B.错误

C.不一定D.无法解释

4.同时向上抛掷100个质量均匀的铜板，落地时这100个铜板全都正面向上，则这100个铜

板更可能是下面哪种情况（）

A.这100个铜板两面是•样的

B.这100个铜板两面是不一样的

C.这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不一样的

D.这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不一样的

5.某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出

租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公

司有100辆桑塔纳出租车，3000辆帕萨特出租车，乙公司有3000辆桑塔纳出租车，100辆

帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理（）

A.甲公司B.乙公司

C.甲与乙公司D.以上都对

6.从12个同类产品（其中10个正品,2个次品），任意抽取6件产品，下列说法中正确的是（）

A.抽出的6件产品中必有5件正品，一件次品

B.抽出的6件产品中可能有5件正品，一件次品

C.抽取6件产品时逐个不放回抽取，前5件是正品，第6件必是次品

D.抽取6件产品时,不可能抽得5件正品，一件次品

题号123456

答案

二、填空题

7.盒中装有4只白球5只黑球，从中任意取出1只球.

（1）“取出的球是黄球”是事件，它的概率是、

(2)“取出的球是白球”是事件，它的概率是；

(3)“取出的球是白球或黑球”是事件，它的概率是.

8.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼

群中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约

有条鱼.

9.从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：

492496494495498

497501502504496

497503.506508507

492496500501499

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g〜501.5g

之间的概率约为.

三、解答题

10.解释下列概率的含义：

(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；

(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为02

11.在--个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中150只有圆形细

胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞，被注射这种血清之后，没有一个具有圆

形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部

被感染.根据试验结果，估计具有(1)圆形细胞；(2)椭圆形细胞；(3)不规则形状细胞的豚鼠分

别被这种血清感染的概率.

【能力提升】

12.掷一枚骰子得到6点的概率是看是否意味着把它掷6次一定能得到一次6点？

13.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化8513尾鱼苗，根据概率的统

计定义解答下列问题：

(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？

(2)30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？

(3)要孵化5000尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位)

1.事件A发生的概率P(A)=弋，在实际生活中并不意味着n次试验中，事件A一定发生m

次，有可能多于m次，也有可能少于m次，甚至有可能不发生或发生n次.

2.大概率事件经常发生，小概率事件很少发生.反之，一次试验中已发生了的事件其概率也

必然很大，利用这一点可以推断事情的发展趋势，做出正确的决策.

3.概率广泛应用于体育运动、管理决策、天气预报以及某些科学实验中，它在这些应用中起

着极其重要的作用.

答案:

3.1.2概率的意义

知识梳理

1.规律性规律性可能性2.(1)0.5公平

(2)公平3.使得样本出现的可能性最大4.随机事件概率可能不出现错误

作业设计

1.B[概率的本质是从数量上反映一个事件发生的可能性的大小.]

2.D

3.B[解答一个选择题作为一次试验，每次试验选择的正确与否都是随机的，经过大量的试

验其结果呈随机性，即选择正确的概率是"做12道选择题，即进行12次试验，每个结果都

是随机的，不能保证每题的结果选择正确，但有3道题选择结果正确的可能性比较大.同时

也有可能都选错，或有2道题，4道题，甚至12道题都选择正确.故这句话是错误的.]

4.A[一枚质量均匀的铜板，抛掷一次正面向上的概率为0.5,从题意中知抛掷100枚结果

正面都向上，因此这100个铜板两面是一样的可能性最大.]

5.B[由于甲公司桑塔纳的比例为忌综而=1,

乙公司桑塔纳的比例为焉"6=莽，根据极大似然法可知应选B.]

J\JyJ\JI1\J\JJI

6.B

4

7.(1)不可能0(2)随机3⑶必然1

y

8.750

解析设池塘约有n条鱼，则含有标记的鱼的概率为斗，由题意得：*50=2,.』=750.

9.0.25

解析袋装食盐质量在497.5g〜501.5g之间的共有5袋，所以其概率约为^=0.25.

10.解(1)说明该厂产品合格的可能性为90%.也就是说每100件该厂的产品中大约有90件

是合格品.

(2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100个人参加抽奖，约有20

人中奖.

11.解(1)记“圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A,由题意知，A为不可能事件，•••P(A)=0.

(2)记“椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B,

由题意知P(B)=250=5=O2

(3)记“不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C,山题意知事件C为必然事件，所以P(C)=1.

12.解抛掷一枚骰子得到6点的概率是幺多次抛掷骰子，出现6点的情况大约占;，并不

意味着掷6次一定得到一次6点，实际上，掷6次作为抛掷骰子的6次试验，每一次结果都

是随机的.

13.解(1)这种鱼卵的孵化概率

〃100003I'

(2)30000个鱼卵大约能孵化

8513

30000乂而■疯=25539(尾)鱼苗.

(3)设大概需备x个鱼卵，

,融〜50008513

忌=

山也大11xio00Q-

5000x10000

•x,=5900（个）.

8513

•••大概需备5900个鱼卵.

3.1.3概率的基本性质

【课时目标】1.了解事件间的相互关系2理解互斥事件、对立事件的概念3会用概率的加法公

式求某些事件的概率.

知识梳理•

1.事件的关系与运算

(1)包含关系

一般地，对于事件A与事件B,如果事件A,则事件B,这时称事件B包

含事件A(或称事件A包含于事件B).记作.不可能事件记作。，任何事件

都包含.一般地，如果B皂A,且A2B,那么称事件A与事件B,记

作.

(2)并事件

若某事件发生当且仅当，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或

和事件)，记作AUB(或A+B).

(3)交事件

若某事件发生当且仅当,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或

积事件)，记作ACB(或AB).

(4)互斥事件与对立事件

①互斥事件的定义

若AAB为(AAB=),则称事件A与事件B互斥.

②对立事件的含义

若AAB为,AUB是,则称事件A与事件B互为对立事件.

2.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围.

⑵的概率为1,的概率为0.

(3)概率加法公式

如果事件A与B为互斥事件，则P(AUB)=.

特殊地，若A与B为对立事件，则P(A)=1—P(B).

P(AUB)=,P(ADB)=.

作业设计•

一、选择题

1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则()

A.AUBB.A2B

C.A与B互斥D.A与B互为对立事件

2.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设人=｛两次都击中飞机｝,B=｛两

次都没击中飞机｝,c=｛恰有一弹击中飞机｝,D=｛至少有一弹击中飞机｝,下列关系不正确

的是()

A.AUDB.BCD=0

C.AUC=DD.AUB=BUD

3.从1,2,…，9中任取两个数，其中：①恰有一•个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是

奇数和两个都是奇数；③至少有•个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个

偶数.

在上述几对事件中是对立事件的是()

A.①B.②④

C.③D.①③

4.下列四种说法：

①对立事件一定是互斥事件；

②若A,B为两个事件，则P(AUB)=P(A)+P(B)；

③若事件A,B,C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1；

④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.

其中错误的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3,质量小于4.85g的概率为

0.32,那么质量在[4.8,4.85]g范围内的概率是()

A.0.62B.0.38

C.0.02D.0.68

6.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为

()

12

A.gB.g

C.|D.1

题号123456

答案

二、填空题

7.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42,

摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是.

8.甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是"，乙队胜的概率是:，则甲队胜的概率是

9.同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为4点则至少有一个5点或6点的概率是.

三、解答题

10.某射手射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16,计算这

名射手射击一次.

(1)射中10环或9环的概率；

⑵至少射中7环的概率.

11.某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1,响第二声时被接的

概率为0.3,响第三声时被接的概率为0.4,响第四声时被接的概率为0.1,那么电话在响前四

声内被接的概率是多少？

【能力提升】

12.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.

(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；

(2)求他不乘轮船去的概率；

(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5,请问他有可能乘哪种交通工具？

13.在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表:

年最高水位

[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)

(单位:m)

概率0.10.280.380.160.08

计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在卜列范围内的概率:

(l)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)水位不低于12m.

®反思感悟

1.互斥事件与对立事件的判定

(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个

要发生.

(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B

互斥，即集合ADB=。；②事件A与B对立，即集合ACB=。，且AUB=I,也即A=(IB

或B=[IA；③对互斥事件A与B的和A+B,可理解为集合AUB.

2.运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同忖要学会把•个

事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率然后用加法公式求出结

果.

3.求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先

求其对立事件的概率，然后再运用公式求解.如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互

斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.

答案：

3.1.3概率的基本性质

知识梳理

1.(1)发生一定发生BBA或AUB不可能事件相等A=B(2)事件A发生或事件

B发生

⑶事件A发生且事件B发生(4)①不可能事件。②不可能事件必然事件

2.(1)O<P(A)<1

(2)必然事件不可能事件(3)P(A)+P(B)10

作业设计

1.C

2.D[“恰有一弹击中飞机'’指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一

弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，.,.AUB^BUD.]

3.C[从1,2,…，9中任取两个数，有以下三种情况：

(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数.①中“恰有一个偶数”和“恰有•个奇数”

是同一个事件，因此不互斥也不对立；②中“至少有一个奇数”包括“两个都是奇数”这个事件,

可以同时发生，因此不互斥也不对立；④中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数“，可以同

时发生，因此不互斥也不对立；③中是对立事件，故应选C.]

4.D[对立事件一定是互斥事件，故①对；

只有A、B为互斥事件时才有P(AUB)=P(A)+P(B),故②错；

因A,B,C并不是随机试验中的全部基本事件，

故P(A)+P(B)+P(C)并不一定等于1,故③错；

若A、B不互斥，尽管P(A)+P(B)=L

但A,B不是对立事件，故④错.]

5.C[设“质量小于4.8g”为事件A,“质量小于4.85g”为事件B,“质量在[4.8,4.85]g”为事件

C,则AUC=B,且A、C为互斥事件,所以P(B)=P(AUC)=P(A)+P(C),则P(C)=P(B)

—P(A)=0.32—0.3=0.02.]

6.C[记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E,则A、B、

C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和.

P(BUDUE)=P(B)+P(D)+P(E)

1,1,13]

=G+g+歹引

7.0.30

解析P=1-0.42—0.28=0.30.

8联

解析设甲队胜为事件A,

则P(A)=1-1-|=-^.

9-

4

解析没有5点或6点的事件为A,则P(A)=§,至少有一个5点或6点的事件为B.

45

因ACB=。，AUB为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)=1—P(A)=1—

故至少有一个5点或6点的概率为方

10.解设“射中10环”，“射中9环”，“射中8环”，“射中7环”的事件分别为A、B、C、D,

则A、B、C、D是互斥事件，

(1)P(AUB)=P(A)+P(B)

=0.24+0.28=0.52；

(2)P(AUBUCUD)

=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)

=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87.

答射中10环或9环的概率是0.52,至少射中7环的概率为0.87.

11.解记“响第1声时被接”为事件A,“响第2声时被接”为事件B,“响第3声时被接”为

事件C,“响第4声时被接”为事件D.”响前4声内被接”为事件E,则易知A、B、C、D互

斥，J1E=AUBUCUD,所以由互斥事件的概率的加法公式得

P(E)=P(AUBUCUD)

=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)

=0.1+0.3+04+0.1=0.9.

12.解(1)记“他乘火车去”为事件Al,“他乘轮船去”为事件A2,“他乘汽车去”为事件A3,

“他乘飞机去”为事件A4,这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥.

故P(A1UA4)=P(Al)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.

所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.

(2)设他不乘轮船去的概率为P,

则P=1—P(A2)=1-02=0.8,

所以他不乘轮船去的概率为0.8.

(3)由于P(A)+P(B)=0.3+0.2=0.5,

P(C)+P(D)=0.1+0.4=0.5,

故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.

13.解设水位在[a,b)范围的概率为P([a,b)).

由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得:

(1)P([1O,16))=P([1O,12))+P([12,14))+P([14,16))

=0.28+0.38+0.16=0.82.

⑵P([8,12))=P([8,10))+P([10,12))

=0.1+0.28=0.38.

(3)记“水位不低于1201”为事件人，

P(A)=1-P([8,12))=1-0.38=0.62.

§3.1习题课

课时目标】1.进一步理解随机事件的有关概念；理解频率与概率的关系及概率的意义.2.会解

决简单的有关概率的实际问题.

双基演练•

1.下面的事件：①掷一枚硬币，出现反面；②对顶角相等；③3+5>10,是随机事件的有()

A.②B.③C.①D.②③

2.下面的事件：

①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球；

②某人买彩票中奖；

③实系数一次方程必有一实根；

④明天会下雨.

其中是必然事件的有()

A.①B.@C.①③D.①④

3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高

在[160,175]之间的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

4.若P(A+B)=P(A)+P(B)=1,则事件A与B的关系是()

A.互斥不对立B.对立不互斥

C.对立且互斥D.以上均不对

5.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和

丙级品的概率分别是5%和3%,则抽验一只产品是正品(甲级品)的概率为.

6.某射击运动员进行双向飞蝶射击训练，七次训练的成绩记录如下：

射击次数n100120150100150160150

击中飞碟数nAXI9512382119127121

(1)求各次击中飞碟的频率；

(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？(保留3位小数)

作业设计•

一、选择题

1.下列说法正确的是()

A.任何事件的概率总是在(0,1)之间

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

D.概率是随机的，在试验前不能确定

2.下列事件中，随机事件是()

A.向区间(0,1)内投点,点落在(0,1)区间

B.向区间(0,1)内投点,点落在(1,2)区间

C.向区间(0,2)内投点,点落在(0,1)区间

D.向区间(0,2)内投点,点落在(一1,0)区间

3.给出下列三个命题,其中正确的有()

①有一大批产品，已知次品率为10%,从中任取100件，必有10件是次品;

_3

②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面向上，因此正面出现的概率是*

③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.如果事件A、B互斥，X、石分别为A、B的对立事件，则有()

A.A+B是必然事件

B.A+B是必然事件

C.A与B一定互斥

D.A与B不互斥

5.关于互斥事件的理解，错误的是()

A.若A发生，则B不发生；若B发生，则A不发生

B.若A发生，则B不发生，若B发生，则A不发生，二者必具其一

C.A发生，B不发生；B发生，A不发生；A、B都不发生

D.若A、B又是对立事件，则A、B中有且只有一个发生

6.考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩卜的3个点也连成三角

形，则所得的两个三角形全等的概率等于()

A.1C.1D.0

题号123456

答案

二、填空题

7.下列说法：

①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；

②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率々就是事件的概率；

③频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；

④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.

其中正确的是.

8.某人在一次射击中，命中9环的概率为0.28,命中8环的概率为0.19,不够8环的概率为

0.29,则这人在一次射击中命中9环或10环的概率为.

9.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得

为黑桃”，则概率P（AUB）的值是.（结果用最简分数表示）

三、解答题

10.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是

得到黑球或黄球的概率是会，得到黄球或绿球的概率也是总试求得到黑球、得到黄球、

得到绿球的概率各是多少？

11.我国已经正式加入WTO,包括汽车在内的进口商品将最多五年内把关税全部降到世贸组

织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年

达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内达到要求，求进口汽车在不超过4年的时间内

关税达到要求的概率.

【能力提升】

12.甲、乙两人下棋，和棋的概率为右乙获胜的概率为最求⑴甲获胜的概率；（2）甲不输的

概率.

13.下表为某班英语及数学成绩的分布，学生共有50人，成绩分I〜5五个档次，例如表中

所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人，将全班学生的姓名卡片混在一起，任

取一张，该张卡片对应学生的英语成绩为x,数学成绩为y,设x,y为随机变量.(注：没有

重名学生)

数学

54321

513101

英410751

语

3谷71093

21b60a

100113

(l)x=l的概率为多少？xN3且y=3的概率为多少？

(2)a+b等于多少？

⑥反思感悟

1.随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，概率是大次数地重复试

验中频率的稳定值.

2.概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率

在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率.

3.复杂事件求概率时常用的两种转化方法：一是转化为彼此互斥的事件的概率；二是转化为

求其对立事件发生的概率.

答案：

§3.1习题课

双基演练

1.C2.C

3.B[该同学身高超过175cm(事件A)与该同学身高不超过175cm是对立事件，而不超过

175cm的事件为小于160cm(事件B)和[160,175](事件C)两事件的和事件，即

P(A)=1—PE)

=1-[P(B)+P(C)]

=1-(0.2+0.5)

=03]

4.C[VP(A+B)=1,，A+B为必然事件.

又•；P(A+B)=P(A)+P(B),；.A与B为互斥事件，因此有ACB为不可能事件.AUB为必

然事件，所以A与B也是对立事件.]

5.92%

解析记抽验的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件B,是丙级品为事件C,这三个事

件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为P(A)=l-P(B)-P(C)=l-5%—3%=

92%.

nA

6.解(1)计算M得各次击中K碟的频率依次为6810,0.792,0.820,0.820,0.793,0.794,

0.807.

(2)由于这些频率非常接近0.810,在它附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0.810.

作业设计

1.C2.C

3.A[由频率和概率的定义及频率与概率的关系可知①②③都不正确.]

4.B[A、B互斥，A、B可以不同时发生，即ACIB=0,所以ACIB的对立事件ACIB

U石是必然事件，即下百是必然事件.]

5.B[A、B互斥，A、B可以不同时发生，A、B也可以同时不发生，但只要一个发生，另

一个一定不发生.对立事件是必定有一个发生的互斥事件，故只有B错.]

6.A[由正方体的对称性知其六个面的中心构成同底的两个四棱锥，且四棱锥的各个侧面

是全等的三角形，底面四个顶点构成一个正方形，从这6个点中任选3个点构成的三角形可

分为以下两类：第一类是选中相对面中心两点及被这两个平面所夹的四个面中的任意一个面

的中心，构成的是等腰直角三角形，此时剩下的三个点也连成一个与其全等的三角形.第二

类是所选三个点均为多面体的侧面三角形的三个点(即所选3个点所在的平面彼此相邻)此时

构成的是正三角形，同时剩下的三个点也构成与其全等的三角形，故所求概率为1.]

7.①③④

8.0.52

解析P=1-P(x<8)=1-P(x<8)-P(x=8)

=1-0.29-0.19=0.52.

解析一副扑克中有1张红桃K,13张黑桃，事件A与事件B为互斥事件，...PSUBjuPlA)

1137

+咱)=豆+豆=行

10.解设事件A、B、C、D分别表示“任取一球，得到红球”，“任取一球，得到黑球”，“任

取一球，得到黄球”，“任取一球，得到绿球”，

则由已知得P(A)=g,

P(BUC)=P(B)+P(C)=亮

P(CuD)=P(C)+P(D)咤,

P(BUCUD)=1-P(A)=P(B)+P(C)+P(D)

,12

133-

解得P(B)=5P(C)=1,P(D)=1.

故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为幺J.

11.解方法一设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为事件A,“不到4年达到要求”为事

件B,贝IJ“进口汽车不超过4年的时间内关税达到要求''就是事件A+B,显然A与B是互斥

事件，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=0.18+(l—0.21—0.18)=0.79.

方法二设“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”为事件M,则N为“进口汽车5

年关税达到要求“，所以P(M)=1—P(N)=1—0.21=0.79.

12.解(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为P=

(2)方法一设事件A为“甲不输”，看作是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)

12

方法二设事件A为“甲不输。看作是“乙胜”的对立事件.所以P(A)=1—

所以甲不输的概率是争2

.1+1+31

13.解(l)P(x=l)=50=而

84

P(xN3,丫=3)=公=正

(2)P(x=2)=1-P(x=1)-P(x>3)

,535

15050

10a+b+7

=50=~50-，

；.a+b=3.

3.2.1古典概型

【课时目标】1.了解基本事件的特点2理解古典概型的定义3会应用古典概型的概率公式解

决实际问题.

知识梳理•

1.基本事件

(1)基本事件的定义：

一次试验中可能出现的试验结果称为一个基本事件.基本事件是试验中不能再分的最简单的

随机事件.

(2)基本事件的特点：

①任何两个基本事件是;

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.

2.古典概型

如果某类概率模型具有以下两个特点：

(1)试验中所有可能出现的基本事件.

(2)每个基本事件出现的.

将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型.

3.古典概型的概率公式

对于任何事件A,P(A)=.

作业设计•

一、选择题

1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个,

则基本事件共有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

2.下列是古典概型的是()

(1)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；

(2)同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；

(3)近三天中有一天降雨的概率；

(4)10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.

A.⑴、(2)、(3)、(4)B.⑴、(2)、(4)

C.(2),(3)、⑷D.⑴、⑶、⑷

3.下列是古典概型的是()

A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时

B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时

C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率

D.抛掷•枚均匀硬币至首次出现正面为止

4.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择

两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()

A-18K18

-5r6

C-f8Dl8

5.一袋中装有大小相同的八个球，编号分别为123,4,5,6,7,8,现从中有放回地每次取一个球,

共取2次，记“取得两个球的编号和大于或等于14”为事件A,