新教材人教B 版高中数学必修第一册第二章教案

新教材人教B版高中数学必修第一册第二章教案（讲义）

第二章等式与不等式

2.1等式

2.1,1等式的性质与方程的解集

学习目标核心素养

1理.解且会运用等式的性质.（重点）

1借.助等式的性质，培养逻辑推理的素养.

2.理解恒等式的概念，会进行恒等变形.（难

2.通过求方程的解集，提升数据分析、数学

点）

运算的核心素养.

3.会求方程的解集.（重点）

自主预习。擢新Ml

ZIZ.HLJYLJXJTAZX1Z/H1

「7新知初探G

1.等式的性质

性质：（1）:等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），等式仍成立.

用字母表示为：如果。=江则对任意的C,都有〃土C=2些.

性质（2）：等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（或代数式）（除数或代数式不为0）,等式

仍成立.

用字母表示为：如果。=方，则对任意的c,都有aXc=bXc,aJrc=h±c（c^0）.

2.恒等式

（1）一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等

式，也称等式两边恒等.恒等式是进行代数变形的依据之一.

（2）一个经常会用到的恒等式：对任意的x,a,b,都有（x+a）（x+8）=/+鱼土处+磴.

⑶用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式f+（a+b）x+必=（x+a）（x+。）进行分解;

②利用公式。0^+（〃+儿,）/+〃=（依+份3+进行分解.

3.方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值.求方程解的过程叫做解方

程.把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.

匚试身苦口

1.下列运用等式性质进行的变形，正确的是()

A.如果a=b,那么a+c=b—c

B.如果屋=3a,那么a=3

C.如果a=b,那么

D.如果那么a=b

D[A.当a=b时，a+c=b+c,故A错误；B.当。=0时，此时aW3,故B错误；C.

当c=0时，此时，与《无意义，故C错误；故选D.]

2.下列算式：(l)3a+2Z?=5ab；(2)5^2—2y2=3；(3)7a+<2=7<32；(4)4^—2xy2=2xy中正

确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

A[(1)(4)不是同类项，不能合并；⑵5y2—2尸=3y2；(3)7。+a=8a.所以4个算式都错误.故

选A.]

3.已知AMR+GX—9,B=—jc3—2/+4x—6,则2A—35等于()

A.-J?+6JC2B.

C.X3—6xD.—5X3+6X2

B[依题意，可得2A—故选B.]

4.『一4的因式分解的结果是()

A.(x-2)2B.(龙一2)/+2)

C.(x+2)2D.(X—4)(x+4)

B[x2—4=(x+2)(x—2).故选B.]

合作探究。提素养

HEZUOTAZJIUTISUYAN

等式性质的应用

—

【例11已知x=y,则下列各式：①x—3=y—3；②4x=6y；③-2x=—2y；④1=1;

⑤52=平；啰=\其中正确的有()

A.①②③B.④⑤⑥

C.①③⑤D.②④⑥

C[①x—3=y—3;③-2x=-2y;好行一==~^-正确，故选C.]

规律方法

在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是

不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件.

酗圈峭

1.设x,»c是实数，下列正确的是（）

A.若％="贝！Jx+c=y—c

B.若工=丁,则xc=yc

c.若％=»则目：

D.若.=.，则2x=3y

B[A.两边加不同的数，故A不符合题意：

B.两边都乘以c,故B符合题意；

C.c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；

D.两边乘6c,得到3x=2y,故D不符合题意.故选B.]

堡型2恒等式的化简

【例2】化简：

(1)(3。-2)—3仅一5)；

(2)-3*y+2fy+3盯2—2xy2；

(3)27?z+(m+n)-2(〃z+〃)；

(4)(4〃2占—Sab2)+[—2(3〃。-4次乃].

[解](1)(3。-2)—3(。-5)=3〃-2—3〃+15=13.

(2)-3^+2x2y+3xy2-2xy2=-^y+xy2.

(3)2机+(/%+〃)-2(机+〃)=2"?+m+〃—2m-2〃=根一儿

(4)(4〃28—5ah2)+[—2(3/8—4ab2)]=402b-Sab1+(—6crh+Sab2)=4a2b-Sab1—6crh+

8加=-2。2b+3加.

规律方法

去括号时，首先要弄清楚括号前究竟是“+”号，还是“一”号，其次要注意法则中的

“都”字，都改变符号或都不改变符号，一定要一视同仁，尤其是括号前面是“一”号时,

容易出现只改变括号内首项符号，而其余各项均不变号的错误.

金跟魄训练自

2.计算：

(1)次一3。/?+5-a2-3，仍一7;

(2)5(，找+〃)-4(3加一2〃)+3(2"?—3〃)；

(3)3(-5x+y)-［(2x-4y)-2(3x+5y)］.

［解］(1)原式=(1-1)a2+(—3—3)a/?+(5—7)=—6ah—2.

(2)原式=5〃z+5〃-12〃2+8〃+6〃?-9〃=(5—12+6)〃z+(5+8—9)〃=—〃z+4〃.

(3)原式=-15x+3y—(2x—4y—6x—10y)=­15x+3y—(—4x—14y)=­15x+3y+4x+

14y=(-15+4)x+(3+14)y=-1lx+17y.

【例3】十字相乘法分解因式：

(I)%2—x—56；(2)/—10x+16.

7

［解］(1)因为1人-8

7-8=-1

所以:原式=。+7)。-8).

-2-8=-10

所以：原式=(x—2)(x—8).

规律方法

常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号.二次项系数一般都

化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提

出的负号添上.

3.将产一5)，+4因式分解的结果是()

A.S+D0+4)B.(y+l)(j-4)

C.(y—l)(y+4)D.(y—l)(y—4)

D［因式分解，可得y2—5y+4=(y—l)G-4),故选D.］

心型3方程的解集

【例4】求下列方程的解集.

(l)x(x+2)=2x+4；

(2)16(x—5尸9(X+4)2=0.

[解](1)原方程可变形为尤(x+2)=2(x+2),即(x—2)(x+2)=0,

从而x+2=0或*-2=0,所以x=—2或x=2,方程的解集为{-2,2}.

(2)利用平方差，将原方程变为[4(x-5)+3(x+4)][4(x-5)—3(x+4)]=0,

Q

整理可得(7x—8)(x—32)=0,所以7x—8=0或九一32=0,所以x=,或x=32,

故原方程的解集为9，32；

规律方法

用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤

(1)移项，将一元二次方程的右边化为0;

(2)化积，利用提取公因式法、公式法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的

积；

(3)转化，两个因式分别为0,转化为两个一元一次方程

(4)求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解；

(5)将其解写成集合的形式.

4.若x=-2是关于x的一元二次方程X2—/次+/=0的一个根，则a的值为()

A.1或4B.-1或一4

C.—1或4D.1或一4

B「.”=-2是关于x的一■元二次方程x2一■|ax+/=0的一■个根，.,.4+5a+/=0,

.,.(a+l)(a+4)=0,解得。=一1或。=一4.]

课堂小结m

1.利用等式性质进行化简要注意是否恒等变形，化简要彻底，要注意符号的变换.

2.十字相乘法分解因式的步骤：移项一化积一转化一求解.

3.方程的解集要写成集合的形式.

当堂达标。国JH垦

nAZGTANCDABlAOGUSHUAN（寸I

1.若3a=2b,下列各式进行的变形中，不正确的是（）

A.3a+l=2b+lB.3a~l=2b~\

C.9a=4bD.—^=—1

C[A.V3a=2/?,：.3a+\=2b+l,正确，不合题意；

B."：3a=2b,：.3a~\=2b~l,正确，不合题意；

C.，：3a=2b,：.9a=6b,故此选项错误，符合题意；

ah

D.'：3a=2b,：.­2=正确，不合题意.故选C.]

2.（〃?+〃）一2。”一〃）的计算结果是（）

A.3/1+2/7?B.3〃+〃？

C.3n~mD.3/?+2m

C[原式="?+〃-2〃z+2〃=—〃z+3〃，故选C.]

3.下列方程的解正确的是（）

A.x—3=1的解集是{—2}

B.1x-2x=6的解集是{一4}

C.3%—4=，-3）的解集是{3}

D.—；x=2的解集是1一||

B[方程x—3=1的解是x=4,；x—2x=6的解是x=-4,3x—4=5（x—3）的解是x=-7,

一；x=2的解是x=-6,故选B.]

4.方程2%—1=0的解集是.

|||[由2x—1=0,解得光=g,方程的解集是\*.]

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系

学习目标核心素养

1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解

1.通过对一元二次方程的解集及根

集.(重点)

与系数的关系的学习，培养数学抽

2.掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的

象、逻辑推理的数学素养.

个数.(重点)

2.通过求一元二次方程的解集，

3.掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一

提升数学运算素养.

些关于方程两根的代数式的值.(重点、难点)

自主预习。援新Ml

/l/HUYUXI【AZX1Z/HI

L新知初探D

1.一元二次方程的定义

形如加+Zzx+c=O的方程为一元二次方程，其中a,b,c是常数,且aWO.

2.一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开

平方法.

(2)配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是

一个非负常数，则可以运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

(3)公式法：将一元二次方程中的系数a,一c的值代入式子x=-”或一皿中,就求得

方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.

3.一元二次方程根的判别式

式子从一4ac叫做一元二次方程办2+法+c=()m#o)根的判别式，通常用/表示，即/

=〃-4ac.当/>0时，一元二次方程a^+^x+cnOgWO)有两个丕相篁的实数根；当/=0

时，一元二次方程加+bx+c=O(aWO)有两个相笠的实数根；当/V0时，一元二次方程加

+Z?x+c=O(aWO)没有实数根.

4.一元二次方程的根与系数的关系

hc

如果的两根是光1,X2,那么Xl+X2=—",X1-X2=~,即两个根的和等

于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.

1.一元二次方程X2—16=0的解集是（）

A.{-8,8}B.{-4}

C.{4}D.{-4,4}

D[利用直接开平方法解方程，即了一16=0,，/=16,解得为=4,及=一4,故选D.]

2.用配方法解方程/一8x+5=0,将其化为（x+a）2=b的形式，正确的是（）

A.（尤+4）2=11B.（尤+4）2=21

C.（x—8）2=11D.（无一4）2=11

D[X2-8%+5=0,九2_8%=-5,X2-8X+16=-5+16,（X-4）2=11,故选D.]

3.用公式法解方程6x—8=5/时，a,b,c的值分别是（）

A.5、6、—8B.5、—6、—8

C.5、-6、8D.6、5、-8

C[原方程可化为5/—6尤+8=0,，。=5,。=-6,c=8,故选C.]

4.已知一元二次方程2x2+2]—1=0的两个根为X1,X2,且XI<12,下列结论正确的是（）

A.xi-bx2=1B.xi・X2=-1

C.|xi|<|X2|D.

21

D[根据题意，得％1+i2=-]=-1,xiX2=-2»所以A,B选项错误.Vxi+x2<0,

XlX2<0,/.Xl,X2异号，且负数的绝对值大，所以C选项错误..・•笛为一元二次方程2X2+2X

-1=0的根，/.2x?+2xi-l=o,，X+xi=；,D选项正确.故选D.]

合作探究。提素养

HEZUOTANJIUTISU

此型上______一元二次方程的解法

'I______________________________________

角度一直接开平方法

【例1】用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：

（1）4/-25=0；（2）3f—x=15—x.

[思路点拨]可将方程转化为f=pseo）的形式.再两边开平方进行降次，化为一元一

次方程.

[解]（1）移项，得4y2=25.

25

两边都除以4,得I/=才.

55

-*---

牙2

所以原一元二次方程的解集是jl,—I

(2)移项，合并同类项，得3/=15.

两边都除以3,得/=5.

解得加=小，X2=一小.

所以原一元二次方程的解集是｛小，一小｝.

规律方法

应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤

(1)化为/=pS2O)的形式；(2)直接开平方；(3)解两个一元一次方程，写出方程的两个

根；(4)总结写成解集的形式.

0s跟踹训练利

1.用直接开平方法求下列一元二次方程的解集.

(l)(x+1)2=12；

(2)(6x-1)2-25=0.

［解］(1)直接开平方，得x+l=±2小，

.*.Xi=2^/3—1,X2=-2小一1.

.,♦原一元二次方程的解集是｛2小一1,-2y［?>—1｝.

(2)移项,得(6x—1)2=25.

开平方，得6x—1=±5.

.2

•=1,X2=一?

二原一元二次方程的解集是11,

角度二配方法

【例2］用配方法求下列方程的解集.

(1*+4%—1=0；

(2)4^+8x+1=0.

［解］(nV^+^-^O,•，.x2+4x=1,

.,./+4x+4=l+4,，(X+2)2=5,

.♦.x=~2±^5,

•*.xi=-2+A/5,XI——2—A/5.

原一元二次方程的解集是｛-2+小，-2一小｝.

(2)移项，得4x2+8x=-1.

二次项系数化为1,得

配方，得x2+2x+12=I2—

3

即。+1)2=不

原一元二次方程的解集是］-1+坐一1一£.

规律方法

利用配方法解一元二次方程加+Zzx+c=O(aWO),先把二次项系数变为1,即方程两边

都除以“，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程

的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解(若另一边为

负数，则此方程无实数根).

2.用配方法求下列方程的解集.

(l)x2+3=2y［3x；

(2)"—5+g=0.

［解］(1)移项，得/一2小x=-3.

配方，得f—2，§x+(小)2=—3+(4)2,

即(X一5)2=0.；.Xi=X2=/.

...原一元二次方程的解集是｛小｝.

(2)移项，得2X2+啦x=5.

5

2

二次项系数化为1,得X2,

22

配方，得f14

•・小冬阴

.一也一

・・加=4，4，

...原一元二次方程的解集是一姆弋母

角度三公式法

【例3］用公式法求下列方程的解集.

(l)x2—4^/§x+10=0；

⑵白+%+1=0・

ZZo

f思路点拨］先化成一元二次方程的一般形式，再求」,然后根据求根公式求解.

［解］⑴，•7=1,方=一4小，c=10,

/=廿一4改=(一4小)2—4义1X10=8>0,

.一(一45)域4s±2啦r-r-

・・1-2x1-2-2\3±\2,

：.XI=24+@,肥=2小一戏.

，原一元二次方程的解集是｛2小十也，2小一啦｝.

(2)方程两边都乘以8,得4光2+4尤+1=0.

。=4,c=1,

d=h2—4ac=42—4X4X1=0,

.—4±\［o

,,x=2X4=一1

.'.X1=A2=-2-

原一元二次方程的解集是

规律方法

利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系

数及常数项，计算从一44的值；当"一4比20时，把m方，C的值代入求根公式即可求出

原方程的解，然后总结写出解集.

颔题跪训练B

3.用公式法求下列方程的解集.

(1)/+3=2也；

(2)3f=—6x—1.

［解］(1)将方程化为一般形式为/-2也x+3=0.

Va=1,Z>=—2A/2,C=3,

/=/一4"=(一2a)2—4义1X3=-4VO,

...原方程没有实数根.

.•.原一元二次方程的解集是。.

(2)将方程化为一般形式为3/+6x+l=0,

,*<6?=3,〃=6,c=1,

J=Z?2-4^C=62-4X3X1=24>0,

.--3±^

2X3=3.

.-3+置—3—y［6

**xi=3,X2=3.

原一元二次方程的解集是［二^四，

M型2一元二次方程的根的判别式

［例4］不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况.

⑴婷一2%—1=0；

(2)2x2—x+1=0；

(3)4x—X2=X2+2.

［解］(l)VJ=(-2)2-4X3X(-l)=16>0,...方程有两个不相等的实数根.，方程的

解集中有两个元素.

(2)VJ=(-l)2-4X2Xl=-7<0,，方程没有实数根.，方程的解集为空集.

(3)方程整理为/—Zx+l：。，♦.Z=(-2)2—4XlXl=0,.•.方程有两个相等的实数根.二

方程的解集中有一个元素.

规律方法

一元二次方程的根的判别式/="2—4ac.当/>0时，方程有两个不

相等的实数根；当/=0时，方程有两个相等的实数根；当/V0时，方程没有实数根.

金跟魄训练.

4.下列一元二次方程中，解集为空集的是()

A.x2—2x=0B./+4x—1=0

C.2-3=0D.3f=5x—2

C［利用根的判别式/=〃-4ac分别进行判定即可.

A.J=(-2)2-4XlX0=4>0,有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；

B.J=42-4XlX(-l)=20>0,有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；

C./=(-4)2—4X2X3=-8V0,没有实数根，故此选项符合题意；

D.J=(-5)2-4X3X2=l>0,有两个不相等的实数根，故此选项不合题意.故选C.］

卫型3一元二次方程的根与系数的关系

【例5】设XI,X2是方程2*2—9x+6=o的两个根，求下列各式的值.

(1)5+占

(2)%?+8

(3)(xi—3)(%2—3)；

(4)X1—X2.

9

［解］由根与系数的关系，得Xl+12=1»X2=3.

,,1.1xi+%29c3

⑴z三+E="^T=5;3=5；

(2)x?+x^=(XI+X2)2—2X1X2

2

=(1)-2X3年

(3)(XI—3)(x2—3)

=X1X2-3(xi+X2)+9

9

=3—3X/+9

=——3.

T

（4）（XI—X2）2=（尢I+X2）2—4X1X2

2

=（D-4X3=y,

规律方法

利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法

(1)利用根与系数的关系求出尢1+12,X1X2的值；

(2)将所求的代数式变形转化为含箝+X2,X\X2的代数式的形式；

(3)将X1+X2,尢1X2的值整体代入，求出待求代数式的值.

金岬但

5.已知a,4是一元二次方程f+x—2=0的两个实数根，则a+4一a夕的值是()

A.3B.1C.-1D.-3

B「.'a,4是方程f+x—2=0的两个实数根，：.a+[i=-\,磔=-2,，a+4一磔=

-1+2=1,故选B.]

造型夕与一元二次方程相关的求未知字母的值或范围问题

【例6】已知关于光的一元二次方程2?一依+3=0的解集中只有一个元素，则人的值

为()

A.±2#B.±\[6

C.2或3D.2或3

A['：a=2,b=~k,c=3,：./i=b2-4ac=lc-4X2X3=l<2-24,..•方程的解集中只

有一个元素，.•./=标-24=0,解得左=±2#.]

规律方法

根据已知条件求一元二次方程中字母系数的取值或取值范围问题，常见情况为根据方程

解的情况判定字母系数的情况.

颔遐蹴I幽

6.若关于x的一元二次方程f—(2a+l)x+a2=()有两个不相等的实数根，求。的取值

范围.

[解]•.•关于x的一元二次方程*一(2。+1W+。2=0有两个不相等的实数根，

.,.J=[-(2a+l)]2-4a2=4a+1>0,：.a>

E课堂小结bl

1.一元二次方程的解法：(1)直接开平方法；(2)配方法；

(3)公式法.

2.一元二次方程根与系数的关系

_hc

如果O^+bx+cnOmWO)的两根是XI,X2,那么Xl+X2=—",XIX2=4.利用这个关系，可

以求一些关于方程两根的代数式的值的问题.

注意：一元二次方程的根与系数的关系需满足的前提条件是：①。#0；②/20.

当堂达标。固双基

DANGTAZGDABIAOGUSHUAZGJI

1.一元二次方程X2—9=0的解集是()

A.{3}B.{-3}

C.{-3,3}D.{-9,9}

C[VX2-9=0,：.^=9,：.x=±3,故选C.]

2.一元二次方程f=3x的解集是()

A.{0}B.{3}C.{-3}D.{0,3}

D[x2=3x,x2—3x=0,x(x—3)=0,解得xi=0,X2=3,故选D.]

3.一元二次方程4f+l=4x的解集情况是()

A.为空集B.只有一个元素

C.有两个元素D.无法确定元素的个数

B[原方程可化为4/—4x+l=0,•.•/=(—4)2—4X4Xl=0,.•.方程有两个相等的实数

根.解集中只有一个元素.故选B.]

4.将方程2x=3化为(x—〃?)2=〃的形式，则〃?，〃分别是.

1,4[^-2x=3,配方得f-2x+l=4,即(％—1)2=4,：.m=\,〃=4.]

2.1.3方程组的解集

学习目标核心素养

L理解方程组的解集的定义及表示方法.（难

1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素

点）

养.

2.掌握用消元法求方程组解集的方法.（重点）

2.通过求方程组的解集，提升数据分析、数

3.会利用方程组知识解决一些简单的实际问

学运算的学科素养.

题.（重点、难点）

自主预习。摆新Ml

/IZHUYIJXITAZXIZ/HI

I新知初探」

1.方程组的解集

一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集

称为这个方程组的解集.

2.求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法.

3.二元一（二）次方程组解集的表示方法为{（x,y）|（a,。），…},其中a,b为确定的实数，

三元一次方程组解集的表示方法为{（x,y,z）|（a,b,c）,…},其中a,b,c为确定的实数.

y=1~x

1.用代入法解方程组,c时，代入正确的是()

[x—2y=44

A.%—2—x=4B.x—2—2x=4

C.x—2+2x=4D.x—2+x=4

1—x,①

C[\/把①代入②得，x—2(l—x)=4,去括号得，x—2+2x=4.故选C.]

[x-2y=4,②

(2x+y=7,

2.已知二元一次方程组,；。解集为()

.X十2y=8,

A.{(x,y)|(2,3)}B.{(x,y)|(3,2)}

C.{(x,训(一2,3)}D.{(x,y)|(-2,-3)}

'2x+y=7,①

[x+2y=8,②

①+②得：3x+3y=15,解得x=2,y=3,解集为{(x,y)|(2,3)},故选A.]

3.已知4={(》，y)b+y=5},3={(x,y)\2x-y=4},则)

A.{(x,y)|(l,4)}B.{(x,y)|(2,3)}

C.{(x,y)|(3,2)}D.{(x,>)|(4,1)}

'x+y=5,

C[根据题意,

2x-j=4,

由代入消元法可求得x=3,y=2,故An8={(x,y)|(3,2)}.]

2x+_y--7，

4.已知,'那么x—y的值是_________.

[x+2y=8,

-1[两式相减可得结果x—y=-L]

合作探究。提素养

ANG

鳍型1二元一次方程组的解集

【例1】求下列方程组的解集.

x+y=4,①

⑴1o

[2x-3y=3.@

3L7y=—1,①

⑵'

出+7>=13.②

懈]⑴由①，得y=4-尤.③

把③代人②，得2r—3(4—x)=3.

解这个方程，得x=3.

把尤=3代入③，得y=l.

所以原方程组的解集为{(x,y)|(3,l)}.

(2)法一：①+②，得6x=12,所以x=2.

把x=2代入②，得3X2+7)，=13,所以)，=1.

所以原方程组的解集为{(x,训(2,1)}.

法二：①一②，得一14卜=一14,所以y=L

把y=1代入①得，3x—7X1=—1,所以x=2.

所以原方程组的解集为{(x,y)1(2/)}.

规律方法

求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程

组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.

颔题跪训练B

1.求下列方程组的解集.

「4x+8y=12,①

(1)1„

［3x-2y=5.@

'8x+9y=73,①

(2Y

〔7x+18y=2.②

［解］⑴由②，得2y=3x—5.③

把③代人①，得4x+4(3x—5)=12,解得x=2.

把x=2代入③,得＞

所以原方程组的解集为＜(*,y)(2,，•.

(2)由①义2,得16x+18y=146,③

由③一②，得9x=144,解得x=16.

把x=16代入①，得8X16+9y=73,解得y=一竟

所以原方程组的解集为D;

铲型2三元一次方程组的解集

【例2】求下列方程组的解集.

(x+y+z=12,①

(1)1x+2y+5z=22,②

Lr=4y.③

(2x+j+3z=11>①

(2)53x+2j-2z=ll,②

14%一3厂2z=4.③

［解］(1)法一：将③分别代入①②，得

5v+z=12,［v=2,

<,,解得f

6y+5z=22,1z=2,

把y=2代入③，得x=8.

所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(8,2,2)}.

法二：②一①，得y+4z=10,④

②一③，得6y+5z=22,⑤

y+4z=10,y=2,

联立④⑤，得，解得＜

6y+5z=22,7=2,

把y=2代入③，得x=8.

所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(8,2,2)}.

法三：①X5,得5x+5y+5z=60,④

④一②，得4x+3y=38,⑤

得尸"x=8,

联立③⑤,解得＜

〔4x+3y=38,J=2,

把x=8,y=2代入①，得z=2.

所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(8,2,2)}.

(2)①义2—②，得x+8z=ll,④

①X3+③，得10x+7z=37,⑤

x+8z=ll,x=3,

联立④⑤,得V.解得

[10x+7z=37,z=l,

把x=3,z=l代入①，得y=2.

所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(3,2,l)}.

规律方法

求三元一次方程组解集的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”

化为“二元"，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解.

领题:跑训练,

pc+y=l,①

2.求方程组卜+z=6,②的解集.

〔z+x=3(3)

［解］①+②+③，得2(x+y+z)=10,

即无+y+z=5.④

④一①，得z=4;④一②，得x=-1;④一③，得),=2.

所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(-1,2,4)}.

4去型3待定系数法求函数的解析式

【例3】已知二次函数y=o?+法的图像过点(一1,2),(2,8),(5,158),求这个二次

函数的解析式.

［思路点拨］把a,b,c看成三个未知数，分别把三组已知的x,y的值代入，就可以得

到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a,b,c的值.

(a-b+c=2,①

［解］根据题意，得《4a+20+c=8,②

125a+50+c=158,③

②一①，得。+6=2,④

③一①，得4a+8=26,⑤

a+h=2,fa=8,

联立④⑤，得解得

4a+b=26,［h=-6,

把a=8,/?=-6代入①，得c=-12.

因此所求函数的解析式为y=8x2—6x—12.

规律方法

解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，

进而确定所求函数的解析式.

何遇胤脸

3.已知二次函数y=a/+foc+c的图像过点(1,4),(3,—20),(-1,-12),求这个二次

函数的解析式.

a+b+c=4,(a=~5,

9a+3b+c=~20,解得巾=8,

{a-b-\-c——12,lc=1,

因此所求函数的解析式为y=-5/+8x+l.

心型4二元二次方程组的解集

【例4】求下列方程组的解集.

尤+y=8,①

⑴［孙=12.②

22

x—4xy+4y+x—2y—2=09①

(2Y

〔3x+2y_ll=0.②

［解］⑴由①得尸8-匕③

把③代入②，整理得/-8x+12=0.

解得xi=2,X2=6.

把xi=2代入⑤)，得yi=6.

把X2=6代入③，得"=2.

所以原方程组的解集为{(九，y)|(2,6),(6,2)}.

⑵由①得(x—2y)2+(x—2y)—2=0,

解得x-2y=1或x-2y=~2,

x-2y=1,x=3,

由V,得彳

l3x+2y-ll=0f［y=l.

x-2y=-2,

由’,'

l3x+2y-ll=0,

917

所以原方程组的解集为(x,y)(3,1),1T

规律方法

求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把

二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二

次方程甚至一元一次方程.

x+2y=4,①

4.求方程组21②的解集.

［解］..,方程①是x与2y的和，方程②是x与2y的积，

与2y是方程z?—4z—21=0的两个根，解此方程得zi=-3,Z2=7,

x=-3

或'

2y=7

x=-3,fx=7,

即｛7或13

所以原方程组的解集为

卜,y）|（一3,3,（7,一|）

铲型5方程组的实际应用

【例5】某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山.该

汽车从甲地到乙地需要2.5h,从乙地到甲地需要2.3h.假设该汽车在平路、上坡路、下坡路

的行驶过程中时速分别是30km,20km,40km,则从甲地到乙的过程中，上坡路、平路、下坡

路的长度各是多少？

［思路点拨］题中有三个等量关系：①上坡路长度+平路长度+下坡路长度=70km；

②从甲地到乙地的过程中，上坡时间+平路时间+下坡时间=2.5h；③从乙地到甲地的过程

中，上坡时间+平路时间+下坡时间=2.3h.

［解］设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是xkm,ykm和zkm.

“+y+z=70,

|x=12,

—二=25解得｛

由题意得＜20十30十40y=54,

lz=4,

味+芯+疝=2.3,

故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km,平路是54km,下坡路是4km.

规律方法

根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题.

勘

5.在中国古算术《张丘建算经》（约公元5世纪）里，有一道著名的“百鸡问题”：今有

鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏

各几何？（三种鸡都买）

［解］设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买无只、y只、z只.

x+y+z=100,①

根据题意,根7

5x+3y+g=100.②

c_100-7x7

②X3一①，得7x+4y=100,y=-—=25—^x.

因为x,y均为正数，所以x一定是4的倍数，且x是小于与的正整数，所以x的取值

只能为4,8,12.

若x=4,则y=18,z=78;

若x=8,则y=ll,z=81;

若尤=12,则y=4,z=84.

故鸡翁为4只，鸡母为18只，鸡雏为78只或鸡翁为8只，鸡母为11只，鸡雏为81只

或鸡翁为12只，鸡母为4只，鸡雏为84只.

广^课堂小结G

1.求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方

程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.

2.待定系数法求函数的解析式，解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组,

解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.

当堂达标。固双基

DANGTAZCDABIACCUSHUAZCJI

「二元一次方程味fx-+3y=E7,的解集匙）

A.{(x,y)|(l,2)}B.{(x,y)|(l,0)}

C.{(x,y)|(—1,2)}D.{(x,y)|(l,-2)}

A[由加减消元法可求得x=l,y=2,故所求方程组的解集为{(x,y)|(l,2)}.]

x+y-z=11,

x+z=5,的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取（）

{x~y+2z=1

A.先消去xB.先消去y

C