2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程211曲线与方程的概念课件3

曲线与方程

解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线问题.即通过建立坐标系，利用平面内点和有序数对之间一一对应关系，建立曲线方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质——用坐标法研究几何图形是解析几何思想的精髓.

圆锥曲线发现与研究始于古希腊.当时人们从纯几何学观点研究这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质推广.17世纪初期，笛卡儿发明了坐标系，开始用代数方法研究圆锥曲线.例1

（1）画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l,并写出方程；（2）画出函数y=2x2(－1≤x≤2)的图像C.观察思考符合某种条件的点的集合l和C分别与其方程是怎样联系起来的？“曲线的方程”与“方程的曲线（图形）”定义：

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的解建立如下关系：1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线.练习举3个例子，每个例子画一条曲线，写一个方程.第一个例子满足定义中两个条件；第二个例子满足定义中（1），不满足（2）；第三个例子满足定义中的（2）不满足（1）.例2

证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.证明(1)如图设M(x0,y0)是轨迹上任意一点，∵点M与x轴的距离为|y0|,与y轴的距离为|x0|,∴|x0|

|y0|=k,即(x0,y0)是方程xy=±k的解.(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程xy=±k的解，则x1y1=±k,即|x|.|y|=k,而|x1|,|y1|是点M1到y轴，x轴的距离，因此点M1到这两条直线距离积是常数k,点M1是曲线上的点.由(1)(2)知，xy=±k是与两条坐标轴距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.归纳证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0方法和步骤：（1）设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；（2）设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.最后不要忘了归纳总结例2求曲线y=x2关于直线y=x的对称图形的方程.例3求曲线y=x3－x关于点(1,2)的对称曲线的方程.求曲线方程步骤（1）建立适当坐标系，设点M的坐标（x,y）（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|p(M)}（3）用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0（4）化方程f(x,y)=0为最简形式（5）说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.注化简前后方程解集是相同的，（5）可以省略不写，如有特殊情况，适当说明.yx-1110思考：下列方程表示如图所示的直线C，对吗？为什么？（1）（2）（3）|x|-y=0.归纳证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0方法和步骤：（1）设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；（2）设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.最后不要忘了归纳总结练习：1．如果曲线C上的点满足方程F（x,y)=0，则以下说法正确的是（）A.曲线C的方程是F(x,y)=0B.方程F(x,y)=0的曲线是CC.坐标满足方程F(x,y)=0的点在曲线C上D.坐标不满足方程F（x,y)=0的点不在曲线C上2.判断下列结论的正误，并说明理由.(1)过点A（3，0）且垂直于y轴的直线的方程为y=0;(2)到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2;(3)△ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0）

D为BC中点，则中线AD的方程为x=0D

3.方程（3x-4y-12)·［log2(x+2y)-3］=0的曲线经过点A（0，-3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（）A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

4.如果两条曲线的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，它们的交点M（x0,y0)，求证：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0表示的曲线也经过M点.（λ为任意常数）分析：只要将M点的坐标代入方程.F1(x,y)+λF2(x,y)=0，看点M的坐标是否满足方程即可B

小结：1.“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义．牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．2.曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法补充：证明动点P(x，y)到定点M(-a，0)的距离等于a(a＞0)的轨迹方程是作业：P40习题2.1第1、2题例3

设A,B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.解（1）设点M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任一点，即（2）点M属于集合P={M||MA|=|MB|}.（3）点M适合条件用坐标表示为：（4）上式两边平方整理得x+2y－7＝0.①（5）下面证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.思考

如何证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程？思考如何根据已知条件求出表示曲线的方程？例4

已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到l的距离是2，一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当坐标系，求这条曲线得方程.分析如何建立坐标系？解取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.设点M(x,y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B,则点M属于集合P={M||MF|-|MB|=2}.即两边平方得x2+(y-2)2=(y+2)2,即y=(1/8)x2.∵曲线在x轴上方，∴y>0.故所求曲线方程是1、字体安装与设置如果您对PPT模板中的字体风格不满意，可进行批量替换，一次性更改各页面字体。在“开始”选项卡中，点击“替换”按钮右侧箭头，选择“替换字体”。（如下图）在图“替换”下拉列表中选择要更改字体。（如下图）在“替换为”下拉列表中选择替换字体。点击“替换”按钮，完成。142、替换模板中的