2024-2025学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|3≤x<7}，B={y∈R|y≥4}，则A∩B=(

)A.⌀ B.集合A C.{4,5,6} D.[4,7)2.已知命题p：sinθ<0，命题q：θ为第三象限或第四象限的角，则p是q的(

)A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列正确的是(

)A.a0=1 B.若a12−a−14.集合A，B与对应关系f如图所示，下列说法正确的是(

)A.若f(a−1)=12f(5)，则a=2

B.f：A→B是从集合A到集合B的函数

C.x∈A，y∈B对应关系f：x→y=2x−1

D.f：A→B的定义域为集合A，值域为集合B

5.已知角α的终边上有一点P的坐标是(3t,4t)，其中A.α=π4 B.sinα=45 C.6.下列正确的是(

)A.sinπ12cosπ12=12 7.函数f(x)=x2−2A.3个 B.2个 C.1个 D.0个8.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有75℃的物体，放在A.2min B.3min C.4min D.6min二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，且与x轴交于点A(−1,0)，则(

)A.a>0

B.∀m∈R，a+b≥am2+bm

C.ax+c>0的解集为{x|x<3}

D.cx2+bx+a<0的解集为{x|−1<x<13}

A.φ=π3

B.在区间[π2,2π3]单调递增

C.若方程f(x)=k在区间[0,π2]上有两个不相等的实数根x1，x2，则cos(x1+x2)=−32

D.将y=f(x)图象的横坐标伸长到原来的2A.C20244=C20242020 B.C三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若扇形的半径为r，面积为π3r213.已知a=40.1，b=30.6，c=log32，则a14.已知函数f(x)=|log5x|，若0<n<m，且f(m)=f(n)，则n+3m四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设a，b∈R，P={1,a}，Q={−1,−b}．

(1)当P=Q时，求a−b的值；

(2)已知集合M={x|x2−5x−6<0}，若P⊆M，求实数a16.(本小题15分)

(1)化简：f(α)=sin(2π−α)cos(π+α)cos(π2+α)17.(本小题15分)

设函数f(x)=1−a2x+1(a∈R)．

(1)当a=2时，证明：函数f(x)为奇函数，并求出函数f(x)的值域；

(2)当18.(本小题17分)

如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，AD上的点．

(1)当DQ=AP=13时，求tan∠PCQ的值；

(2)当△APQ的周长为2时，

(i)求∠PCQ的大小；

(ii)设∠BCP=α，S为△PCQ的面积，求19.(本小题17分)

我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，该性质可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数，已知函数g(x)=−5x+15x−1．

(1)函数g(x)是否为中心对称图形？若是请用题设证明并求出对称中心，若不是请说明理由；

(2)已知直线y=−209x+659与函数y=|g(x)|的图象有三个交点.设为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)参考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.D

6.D

7.A

8.C

9.BCD

10.BC

11.ABC

12.2π313.b>a>c

14.(4,+∞)

15.解：(1)因为P=Q，

所以a=−1，−b=1，

即a=−1，b=−1，

所以a−b=0；

(2)集合M={x|x2−5x−6<0}={x|−1<x<6}，

因为P⊆M，

所以−1<a<6，

即实数a的取值范围为16.解：(1)f(α)=sin(2π−α)cos(π+α)cos(π2+α)cos(π−α)sin(−π−α)sin(9π2+α)

=−sinα(−cosα)(−sinα)−cosαsinαcosα17.解：(1)证明：当a=2时，f(x)=1−22x+1，

f(−x)=1−22−x+1=1−2×2x1+2x，

f(−x)+f(x)=2−2(1+2x)1+2x=0，

故函数f(x)为奇函数；

又y=22x+1为R上的减函数，

所以f(x)=1−22x+1为R上的增函数，且当x→−∞时，f(x)→−1，且当x→+∞时，f(x)→1，

所以f(x)的值域为(−1,1)；

(2)当a>0时，f(x)=1−a18.解：(1)因为正方形ABCD的边长为1，DQ=AP=13，

则AQ=23，PB=23，

所CQ=CD2+DQ2=12+(13)2=103，

CP=CB2+BP2=12+(23)2=133，

PQ=AQ2+AP2=(23)2+(13)2=53，

则cos∠PCQ=CP2+CQ2−PQ22CP⋅CQ=9130，

所以sin∠PCQ=1−cos2∠PCQ=7130，

则tan∠PCQ=sin∠PCQcos∠PCQ=79．

(2)(i)设线段BP、DQ的长度分别为a、b，∠BCP=α，∠DCQ=β，

因为正方形ABCD的边长为119.解：(1)函数g(x)的图象有对称中心，证明如下：

因为g(x)=−5x+15x−1=10x−1−5，

假设函数y=g(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形，

等价于函数y=g(x+m)−n=10x+m−1−5−n为奇函数，

因为x+m−1≠0，即x≠1−m，

可知y=g(x+m)−n的定义域为{x|x≠1−m}，

可得1−m=0，即m=1，

此时y=g(x+1)−n=10x−5−n，

可得10x−5−n=−(10−x−5−n)，解得n=−5，

此时y=g(x+1)−5=10x为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)内的奇函数，

所以y=g(x)的对称中心为(1,−5)；

(2)直线y=−209x+659与函数y=|g(x)|的图象有三个交点，

|g(x)|=5−10x−1,x∈(−∞,1)−5+10x−1,x∈(1,3)5−10x−1,x∈[3,+∞),

函数y=−209x+659的图象过点(1,5)，

当x=3时，y=59>|g(x)|=0，

所以当x∈(−∞,1)∪[3，+∞)时，

直线y=−209x+659与函数y=|g(x)|的图象有两个交点，如下图：

设另外两个交点为(x1,y1)，(x2,y2)，

两个交点关于点(1,5)对称，

则y1+y2=10，

当x∈(1,3)时，

由y=−209x+659y=−5+10x−1，解得x3=52y3=53，x4=4y4=−53(舍)，

则直线y=−209x+659与函数y=|g(x)|的图象有一个交点(52,53)，如下图：

设坐标为(x3,