2024-2025学年广东省汕尾市高二上学期教学质量监测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省汕尾市高二上学期教学质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+y+3=0的倾斜角为(

)A.30° B.45° C.60° D.135°2.已知空间向量a=1,2,3，b=1,x,−2，若a−2bA.4 B.6 C.34 D.3.圆C1:x+22+y−2A.内切 B.相离 C.相交 D.外切4.双曲线C:x2a2−y2A.2 B.3 C.2 5.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB=a，ADA.12a−12b+c 6.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是(

)A.PA=14 B.事件A与事件B互斥

C.事件A与事件B7.两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上(B点处)，一人站在楼梯斜坡上(A点处)，如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得AD=6m，B点到直线l的距离为BC，测得BC=2m，且测得CD=4m，则A，B两点间的距离为(

)

A.

217m B.67m 8.已知t∈R，函数fx=2x−2−t+t在0,4上的最大值不超过4A.−∞,5 B.5,+∞ C.−∞,52 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数gx=x2，tx=2x，∀x∈R，用fx表示gx，tA.f3=23 B.当x∈0,2时，fx=2x

C.当10.下列说法正确的是(

)A.数据28，13，15，31，16，18，20，24的中位数是20

B.从小到大顺序排列的数据3，5，x，8，9，10，其极差与平均数相等，则方差为6.8

C.数据x1，x2，x3，…，xm的平均数为x，数据y1，y2，y3，…，yn的平均数为y，则有i=1mxi+i=111.已知双曲线方程为x29−y27=1，F1和F2分别为双曲线的左焦点和右焦点．设直线l1：x+ny+t1=0和直线l2A.QF1+QF2的最大值为82 B.平面上存在定点P，使得QP为定值

C.QF1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线l1:3x−y−3=0与直线l2:x−my+3313.在一家人工智能企业中，有一项重要的软件开发任务．甲、乙两位程序员独立地负责不同模块的开发工作．甲程序员技术扎实，在以往的项目中表现出色，他成功完成自己负责模块的概率为0.4，乙程序员富有创新精神，善于解决复杂的技术问题，他成功完成自己负责模块的概率为0.5，这个软件开发任务对于公司在人工智能领域的发展至关重要，只有当甲、乙程序员中的至少一人成功完成自己负责的模块，才能确保整个软件项目的顺利推进．那么，这个软件开发任务能够成功完成的概率为

．14.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，P是平面ADD1A1上一动点，E是棱CD上一点，若∠APB=∠DPE，且四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知圆心为C的圆经过A4,2，B2,−2两点，且圆心C在直线l：(1)分别求出直线AB的方程和线段AB的垂直平分线的方程；(2)求圆C的标准方程．16.(本小题12分)某校高一年级设有篮球训练课，期末对学生进行篮球四项指标(往返运球上篮、一分钟投篮、四角移动、比赛)考核，满分100分．参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示．(1)由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第40百分位数；(2)为了提升同学们的篮球技能，校方准备招聘高水平的教练．现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少一人来自70,80的概率．17.(本小题12分)函数fx=3asin2ωx−acos2ωxa>0,ω>0，已知fx的图象上两相邻最高点的横坐标分别为4π3和7π3，点(4π3,4)在(1)求a与ω的值；(2)若fA=4，求▵ABC18.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中点，F是棱PB(含端点)上一点．(1)若EF⊥PB.求证：PB⊥平面EFD；(2)求平面CPB与平面PBD夹角的余弦值；(3)是否存在这样的点F，使直线EF与平面EBD所成角的正弦值为63？若存在，求出PF19.(本小题12分)已知动点Px,y到定点F3,0的距离是它到定直线x=3a23的距离的32(1)求动点P的轨迹方程C；(2)直线l：y=tx+nn>0与点P的轨迹方程C交于D，E两点，O为坐标原点．试求当t为何值时，OD2+OE2参考答案1.D

2.B

3.C

4.B

5.C

6.C

7.A

8.C

9.BD

10.CD

11.ABD

12.6

13.710

或0.714.64915.解：(1)由题意得直线AB的斜率为kAB直线AB的方程为y−2=2x−4，即2x−y−6=0又因为A，B两点的坐标为4,2，2,−2，所以AB中点的坐标为3,0，因此，线段AB的垂直平分线的方程是y−0=−12x−3(2)由垂径定理可知，圆心C在AB的垂直平分线上也在直线l上，联立x+2y−3=0x−2y+1=0，解得x=1y=1，所以圆心C的坐标为圆的半径为r=AC所以，圆C的标准方程为x−12

16.解：(1)由题意得：10×0.01+0.015+0.02+0.025+t=1，解得因为0.01×10+0.015×10=0.25，0.01×10+0.015×10+0.020×10=0.45，设第40百分位数为x，则0.01×10+0.015×10+0.020×x−70解得x=77.5，即第40百分位数为77.5．(2)由题意知，抽出的5位同学中，得分在70,80的有5×0.20.3+0.2=2(人)在80,90的有5−2=3人，记为a,b,c．则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为：Ω=A,B,A,a设事件M为“至少一人来自70,80”，则M=A,B,A,a因此PM所以至少一人来自70,80的概率为710

17.解：(1)fx由题意知，T=2π2ω=7π3故fx由(4π3,4)在fx的图象上，可得(2)(解法一)由(1)知fx=4sin即sin(2A−π6)=1，因为所以2A−π6=由正弦定理，bsin则得b=433sin则b+c===4(因为B∈(0,2π3)所以sin(B+π6从而a+b+c≤2+4=6，所以▵ABC周长的最大值为6．(解法二)由(1)知fx=4sin即sin(2A−π6)=1，因为所以2A−π6=在▵ABC中，由余弦定理，a2由(1)知a=2，即22所以4≥b+c故b+c2≤16，即当且仅当b=c=2时，等号成立，故a+b+c≤2+4=6，所以▵ABC周长的最大值为6．

18.证明：因为PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，所以PD⊥BC，因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥CD，PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD所以BC⊥平面PCD，又因为DE⊂平面PCD，则有DE⊥BC，在▵PDC中，PD=DC，E是PC的中点，故有DE⊥PC，因为PC∩BC=C，PC,BC⊂平面PBC，所以DE⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，则DE⊥PB，又因为EF⊥PB，EF，DE⊂平面DEF，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面DEF．(2)以向量DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D0,0,0，B1,1,0，C0,1,0则BC=−1,0,0，CP=0,−1,1，设平面CPB的法向量m=x1,令y1=1，得z1=1，所以平面设平面PBD的法向量n=x2,令x2=1，得y2=−1，所以平面设平面CPB和平面PBD的夹角为θ，则cosθ=所以平面CPB和平面PBD的夹角的余弦值为12(3)由(2)知D0,0,0，B1,1,0，E0,DB=1,1,0，DE=0,1假设存在这样的点F则有PF=λEF=设平面EBD的法向量a=x3,令x3=1，得y3=−1，z3=1，所以平面设直线EF与平面EBD的夹角为α，则sinα=整理得5λ2−2λ=0，解得λ=0因为0≤λ≤1，所以PFPB的值为0或2故有PFFB的值为0或2

19.解：(1)因为△MOF的面积为