2.4 单摆（原卷版） -2025年高二物理同步培优讲练（人教版选择性必修第一册）

2.4单摆0101学习目标物理素养学习目标1.物理观念：知道什么是单摆，了解单摆的构成及单摆的回复力。4.科学思维：①理解单摆做简谐振动的条件，会利用图像法分析单摆的运动。②掌握单摆的周期公式，并能够进行计算。3.科学探究：经历单摆周期与摆长关系的探究过程，体会实验设计思路。4.科学态度与责任：借助单摆周期影响因素的分析，培养严谨的科学态度。1.知道单摆是一种理想化模型，理解单摆模型的条件，能将实际问题中的对象和过程转化为单摆模型。2.能通过理论推导，判断单摆小角度振动时的特点。3.在探究单摆的周期与摆长的定量关系时,能分析数据、发现规律、形成合理的结论，能用已有的物理知识解释相关的现象。4.知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系，能运用其解决实际问题。重点关注：①单摆②回复力③周期002思维导图003知识梳理（一）课前研读课本，梳理基础知识一、单摆1．单摆的组成：由细线和___________组成。2．理想化模型①细线的质量与小球相比可以忽略。②小球的___________与线的长度相比可以忽略。③细线的___________与细线长度相比可以忽略。④空气阻力与小球的___________及细线的___________相比可以忽略。3．单摆的回复力①回复力的来源：摆球的重力沿___________方向的分力，即___________。②回复力的特点：在摆角很___________时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成___________，方向总指向___________，即___________。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。二、单摆的周期1．单摆振动的周期与摆球质量___________(选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅___________(选填“有关”或“无关”)，但与摆长___________(选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期___________(选填“越大”“越小”或“不变”)。2．单摆周期公式①提出：单摆周期公式是荷兰物理学家___________首先提出的。②公式：，即周期T与摆长l的二次方根成___________，与重力加速度g的二次方根成___________，而与振幅、摆球质量___________。（二）辨析1.单摆是一种理想化模型,你认为除了细线的质量和球的直径这两点之外,还有什么“可以忽略”?2.在制作单摆时,对小球和细线有什么要求?3.摆球经过平衡位置时,回复力是否为零,合外力是否为零?摆球到达最大位移处时，v=0,加速度是否等于0?4.怎样证明单摆在摆角很小的情况下的运动是简谐运动?5.由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的,那么是否摆球的质量越大,回复力越大,单摆摆动得越快,周期越小?6.把单摆从赤道处移至两极处时,要保证单摆的周期不变,应如何调整摆长?004题型精讲【题型一】单摆及单摆的回复力【点拨】【点拨】1.单摆(1)单摆是实际摆的理想化模型。(2)实际摆看作单摆的条件①摆线的形变量与摆线长度相比可忽略;②摆线的质量与摆球质量相比可忽略;③摆球的直径与摆线长度相比可忽略;④空气等阻力与摆球的重力及细线的拉力相比可忽略。2.单摆的回复力如图所示,重力G沿圆弧切线方向的分力G,是摆球沿运动方向的合力,正是这个力提供了使摆球做简谐运动的回复力F=G,=Gsinθ。3.单摆的运动特点(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动,因此在运动过程中只要速度v≠0,半径方向都受向心力(最高点其向心力为零)向心力由细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供。(2)摆球在平衡位置附近做往复运动,因此在运动过程中只要不在平衡位置,轨迹的切线方向都受回复力。4.单摆做简谐运动的推证在摆角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sinθ近似相等，即，因此单摆的回复力可表示为(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。5.回复力、向心力、合外力的区别与联系(1)区别①回复力:使物体回到平衡位置且指向平衡位置的力;对单摆来说,重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsinθ提供回复力。②向心力:使物体做曲线运动且指向圆心的力;对单摆来说,摆线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。③合外力:物体所受的合力,它使物体的运动状态发生变化。(2)联系:回复力、向心力、合外力均为效果力且均为矢量。回复力、向心力一定是变力,合外力可以为恒力,也可为变力。对单摆来说,回复力与向心力的合力等于合外力。【典型例题2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）如图所示，挖掘机的顶部通过绳索垂下一个大铁球并让它小角度的摆动，即可以用来拆卸混凝土建筑。此装置可视为单摆模型，则大铁球的回复力来源于（）A．铁球的重力B．绳索对铁球的拉力C．铁球所受到的合力D．铁球重力沿轨迹切线方向的分力【对点训练1】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）如图所示的竖直光滑圆弧面ABC，D点为圆弧AB的中点，B为圆弧最低点，A、C等高，O为圆弧的圆心，。小球由A点静止释放后运动到B点，在此过程中，下列说法正确的是（）A．小球受重力、支持力、回复力B．小球的加速度总不为零C．小球受到的合外力提供回复力D．小球经过AD运动时间和DB运动时间相等【题型二】单摆的周期【点拨】【点拨】对单摆周期公式的理解1．成立条件：单摆偏角很小(偏角小于5°)。2．影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。3．对l、g的理解(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。①普通单摆，摆长，l′为摆线长，D为摆球直径。②等效摆长：(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsinα，其周期。(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。(2)g①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。【典型例题1】（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）一顾客在位于某山脚的商家购买计时准确的摆钟（利用钟摆的周期性摆动计时），将该摆钟运回位于山顶的家中后，在其它条件不变的情况下，一段时间后，该摆钟示数与标准时间相比（

）A．变快 B．变慢C．不变 D．条件不足，无法判断【典型例题2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）盛砂漏斗与悬线构成的砂摆在竖直平面内小角度地摆动，其下方有一薄板垂直摆动平面，匀速拉动薄板，漏出的砂落在薄板上的形状可反映砂摆的振动情况。甲、乙两不同摆长的砂摆落在薄板上的图像如图所示，已知两种情况下薄板的运动速度大小之比为，则两砂摆的周期之比为（）A． B． C． D．【典型例题3】（23-24高二下·广东佛山·期中）如图所示，用细绳系住一摆球，让摆球在倾角为θ的光滑斜面上做小幅度（α<5°）摆动，摆长为L，重力加速度为g，下列说法正确的是（

）A．该单摆的周期B．该单摆的周期C．摆球的振幅会影响单摆的周期D．摆球的质量会影响单摆的周期【对点训练1】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）下图是惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器摆钟，摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，为使钟走时准确，以下说法正确的是（）A．摆钟的快慢由圆盘质量决定B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移D．把摆钟从武汉移到北京应使圆盘沿摆杆上移005强化训练【基础强化】1．（23-24高二下·四川泸州·期中）砂漏斗与悬线构成的砂摆在竖直平面内小角度地摆动，其下方有一薄板垂直摆动平面，匀速拉动薄板，漏出的砂落在薄板上的形状可反映砂摆的振动情况。甲、乙两不同摆长的砂摆分别落在同一段薄板上的图像如图所示，已知甲、乙两种情况下薄板的运动速度大小之比为2:3，则两砂摆的周期之比为（

）A．3:5 B．3:2 C．5:3 D．16:92．（23-24高二上·山东济宁·期末）如图所示，在一次滑雪训练中，滑雪名将谷爱凌从山坡上B处由静止开始自由下滑至最低点A，用时30s，坡面AB可视为圆心角小于5°的圆弧。已知重力加速度大小为10m/s2，，不计一切阻力。可估算出圆弧AB的半径约为（）

A．3600m B．2250m C．900m D．225m3．（22-23高二下·北京海淀·期中）如图（甲）所示是用沙摆演示振动图像的实验装置，此装置可视为摆长为L的单摆，沙摆的运动可看作简谐运动，若用手拉木板做匀速运动，实验时细沙在木板上留下的情形如图（甲）所示。某次实验中，手拉木板的速度大小约为0.20m/s，测得图（乙）所示的一段木板的长度约0.60m，下列判断正确的是（）A．图中的曲线是沙摆的运动轨迹B．图中的曲线是细沙的运动轨迹C．实验所用沙摆对应的摆长约为0.56mD．实验所用沙摆对应的摆长约为2.25m4．（23-24高二下·陕西渭南·期中）有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则下列说法中不正确的是（）A．甲、乙两单摆的摆长之比是 B．时，两摆球的速度方向相同C．时，两摆球的加速度方向相同 D．内，两摆球的势能均减少5．（22-23高二下·安徽六安·阶段练习）如图所示，已知该单摆的摆长为，摆球的质量为，摆动时最大偏角为5°。已知，，。求：（1）振动的周期；（2）摆球的最大回复力；（3）摆球运动的最大动能。

【素养提升】6．（22-23高二下·河南·期中）某同学在探究单摆运动中，图a是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图b是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F﹣t图像，根据图b的信息，（），下列说法正确的是（）A．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力充当单摆的回复力B．从t＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为0.1sC．用米尺量得细线长度L，即摆长为LD．由图可计算出单摆的摆长为0.64m7．（23-24高二下·广东广州·期中）如图甲所示，摆钟是较有年代的一种计时钟表，其基本原理是利用了单摆的周期性。小亦同学为理解其原理，自制模拟实验，如图乙所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器在竖直面内摆动时，其运动可视为简谐运动，沿着垂直于摆动方向匀速拖动一张硬纸板，注射器流出的墨水在硬纸板上形成了如图丙所示的曲线。下列说法中正确的是（）A．拖动硬纸板的速度越大，注射器振动的周期越长B．注射器经过平衡位置时合外力不为零C．减小注射器摆开的角度，相同时间内完成全振动的次数会增加D．注射器做简谐运动的回复力是由重力和摆线拉力的合力提供8．（23-24高三上·湖南常德·期末）荡秋千是人们喜爱的一种运动，下图为一种秋千的原理图。绳子一端固定于O点，另一端系一个可视为质点的小球，在O点正下方钉一个钉子A，小球从左边某一位置由静止摆下，摆角，，O点离球心的距离为4m，OA距离为3m，此绳子拉力突然增加会导致绳子可能断裂，当小球摆动61s时绳子突然断裂，则该绳子最多承受多少次拉力的突然增加（）A．11 B．20 C．21 D．319．（23-24高二上·湖北十堰·期末）有一摆长为L的单摆悬点正下方某处有一小钉子，摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉子挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M运动到左边最高点N的频闪照片如图所示（悬点与小钉子未被摄入），P为摆动中的最低点，已知相机每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知（）A．小钉子与悬点的距离为B．小钉子与悬点的距离为C．小钉子与悬点的距离为D．摆线被小钉子挡住的瞬间，摆球的机械能突然减少10．（2024·江西·模拟预测）如图甲，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方。用电动机匀速拉动纸带时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下径迹。调节电动机拉动速度，分别得出图乙和丙两条纸带，取3.14，重力加速度g大小取。下列说法正确的是（

）A．无论纸带是否匀速拉动，都可以用纸带通过的距离表示时间B．由图知乙纸带的速度为丙纸带速度的0.5倍C．单摆漏斗在P点和Q点运动的方向相同D．若乙图中，纸带拖动速度为10cm/s，可推算该单摆的摆长约为1m11．（23-24高二下·山东济南·期中）如图，半径为R光滑圆弧面上有一个质量为m小球，把它从最低点移开一小段距离，放手后，小球以最低点为平衡位置左右摆动，且可近似认为其运动为简谐振动。（1）求小球做简谐振动的周期T；（2）已知做简谐振动的物体，所受的回复力与其偏离平衡位置的位移存在正比例关系。求小球做简谐振动时回复力与偏离平衡位置位移的比例系数k是多少。

（空气阻力可忽略，重力加速度为g，当偏离角度θ很小时，可认为sinθ≈tanθ≈θ，且可认为小球偏离平衡位置的位移与小球到圆弧圆心的连线垂直）【能力培优】12．（2024·全国·模拟预测）如图所示，有直角三角形光滑轨道框架，其中AB竖直。，光滑圆弧轨道CB为的外接圆上的一部分。小球1、2分别沿轨道AB、AC从A点由静止开始运动，到B、C点对应的时间分别为、，小球3沿轨道CB从C点由静止开始运动，到B点的时间为；小球4在圆弧轨道CB上某一点（对应的圆心角很小）由静止开始运动，到B点的时间为。则下列时间的关系正确的是（）

A． B．