《计算机控制技术》

《计算机控制技术》

东南大学自动化学院戴先中

1

第4章计算机控制系统设计（一）

——按模拟系统设计方法进行设计

4.1概述

4.2按模拟系统设计方法设计的步骤

4.3数值积分法

4.4零极点匹配法

4.5等效保持法

4.3各种方法比较

4.7设计举例

2东南大学自动化学院上一页下一页

4.1概述

计算机控制系统原理框图

混合系统出生模拟系统（按模拟系统设计方法进行设计）

离散系统（离散设计方法）

3算机控制技术东南大学自动化与上一页下一页

4.1概述

混合系统

连续系统.采样频率足够高▼对象离散化.

离散系统

“八"采样系统特性接近G(s)-G(z)

模拟系统特性

设计设计。偃)

D(s)fD(z)

大部分工程技术人员对S在z平面直接设计D(z),只

优点平面较熟悉，设计简单优点要设计时满足要求，系统

一定是稳定的

缺点离散化时动态性能总要变坏缺点Z平面已变形，不直观,

(采样和数模转换带来延时)设计时需多次试算

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第4章计算机控制系统设计（一）

——按模拟系统设计方法进行设计

4.1概述

4.2按模拟系统设计方法设计的步骤

4.3数值积分法

4.4零极点匹配法

4.5等效保持法

4.3各种方法比较

4.7设计举例

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4.2按模拟系统设计方法设计的步骤

基本方法

⑴在连续系统中插入保持器，检查插入保持器后连续系统是否稳

定，如不稳定，重新设计。⑥；

6

4.2按模拟系统设计方法设计的步骤

更严格的方法

■将A/D+数字控制器+D/A部分看成是一个整体，其输入和输

出都是模拟量，因而可等效为连续传递函数仪俗)。

A/D输出与输入关系：(R*(j0)=之R(j①)

1OO低通滤波且,J丁

K(j3)=亍工R{jco+jncos)采样频率较高”]R*(j3)/R(j3)=1

/II——OO

计算机实现算法。⑺的计算表示：D(e'w)

D/A的频率特性：G(ia))=T四更归片」3TI2。Te-j^/2

W/2

7计算机控制技术方大学白动竹上一页下一页

4.2按模拟系统设计方法设计的步骤

更严格的方法（续）

D(s}

「1

简化后的D”0）©函）德一川/2=口©-'?

等效连续《1

传递函数1Oe（S）=Ddc（s）e—"/2

设计时进一步近似为：

e"2=__1

l+sT/2J

8Q一页|产前

4.2按模拟系统设计方法设计的步骤

更严格的方法(续)

第1步：根据系统的性能，选择采样频率，并设计抗混叠前

置滤波器。

第2步：考虑ZOH的相位滞后，根据系统的性能指标和连续

域设计方法，设计数字控制算法等效传递函数4c(s)。

第3步：选择合适的离散化方法，将4c(s)离散化，获得脉冲

传递函数。(z),使两者性能尽量等效。

第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求，

进行下一步；否则，重新进行设计。

改进设计的途径有：

选择更合适的离散化方法。

□提高采样频率。

修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等。

第5步：将D(z)变为数字算法，在计算机上编程实现。

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最常用的表征控制器特性的主要指标:

□零极点个数；

□系统的频带；

□稳态增益；

□相位及增益裕度；

0(S)等效离散>0(Z)

□阶跃响应或脉冲响应形状;

□频率响应特性。

・・厂■数值积分法

C一阶向后差法

一阶向前差法

离散化方法：V双线性变换法及修正双线性变换法

■零极点匹配法

■保持器等价法

■Z变换法(脉冲响应不变法)

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第4章计算机控制系统设计（一）

——按模拟系统设计方法进行设计

4.1概述

4.2按模拟系统设计方法设计的步骤

4.3数值积分法

4.4零极点匹配法

4.5等效保持法

4.3各种方法比较

4.7设计举例

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4.3数值积分法

数值积分法的基本思想描述

用前向矩形

D（s）-^微分方程两边含积分运算后向矩形

差分方程

求积的差分方程梯形法

两边求z变换并表”）计算积分

示成输出输入信号（,

Z变换之比的形式

前向矩形规则（零阶近似）

｛后向矩形规则（零阶近似）

梯形规则（一阶近似）

上一页下一页

例：设模拟控制器传递函数，

试用数值积分法对其进行离散化。

解：其微分方程的形式为:

〃+CLU—CL€或ii——CLU+(2€

两边求积分得：

t

u⑴=j[-«w(r)+ae(T)]dT

o

对离散系统如按采样间隔划分积分时间则

kT

u(kT)=j[-au(T)+ae(T)]dr

o

(J)TkT

j[-aw(r)+ae(T\\dT+j[-au(T)+ae(T)]dr

0(k'—V)T—__

=u[(k-1)T]f[-au(r)+ae(c)在(左一1)T至心T上的积分]

13上一页下一页

其几何意义如图所示：

阴影部分的面积可用三种近似积

分方法求得

前向矩形(零阶近似)用{-〃讥/-1)7]+四[伏-1)7]}7近似表示阴影面积

后向矩形(零阶近似)用[-Q"(仃)+Q6(仃)]7近似表示阴影面积

梯形规则(一阶近似)用-{-au[(k-1)T]+ae[(k-1)T]-au(kT)+ae(kT))

近似表示阴影面积

将计算阴影面积的三种方式代入得三种计算规则：

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1)前向矩形规则(零阶近似积分)

用前向矩形面积近似表示阴影部分的面积:

u(kT)=u[(k-1)T]+{-au[(k-1)T]+ae[(k-1)T]}T

=(1-aT)u[(k-1)T]+aTe[(k-1)T]

这就是用差分方程表示的的表达式

两边求z变换，并写成输出输入信号之比的形式，得:

ll

[1-(1-aT)z-]U(z)=aTZ-E(z)

U(z)aTz-la

。⑵=

矶z)(z-l)/T+〃

将。⑸和。⑵作一比较

a〜、a

(z—1)/乃+。

结论：用前向矩形规则进行离散化，即用信-7〃"弋替。同)中的S。

15计算机捽制技术东南大学门动化学院上贡1下二日

2)后向矩形规则(零阶近似积分)

用后向矩形面积近似表示阴影部分的面积：

"(kT)=u[(k-1)T]+[-au(kT)+ae(kT)V

整理得：u(kT)=讥,一也+四生2

1+aT1+aT

两边求z变换：口_工二]U(z)=0二与z)

1+"1+aT

并写成输出输入信号之比的形式，得：

D⑶=也=6=a

E⑶z(l+a)-1(z-l)/(Tz)+”

将。⑸和。⑵作一比较

结论：用后向矩形规则进行离散化，即用(z-7)/々代替。(s)中的s。

3)梯形规则(一阶近似积分)

用梯形面积近似表示阴影部分的面积:

u(kT)=u[(k—1)T]+—{—au[(k-1)7]+ae[(k—1)T]—au(kT)+ae(kT)}

2r_

整理得：u(kT)=1一("/二u[(k-1)T]+”/2—{e[(k_i)r]+式⑺)

1+(江/2)l+(〃T/2)

两边求z变换，并写成输出输入信号之比的形式，得:

U⑺“T(z+1)_a

D(z)二

E⑺(z+")z+〃T-22z-l

I

Tz+1

将O(s)和O(z)作一比较

a

2z-l

结论：用梯形规则进行离散化，即用代替0(s)中的s。

17下

近似转换公式:

z-1

前向矩形

Z—1

后向矩形~TT

2z-1

梯形规则77+1

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数值积分法的等效方法——数值微分法

数值微分法的基本思想描述

用一阶前向

即二微分方程令＞差分方程

计算微分两边求z变换并表,D⑵

示成输出输入信号

z变换之比的形式

一阶前向差分

数值微分法

一阶后向差分

f-__I.t上一页下一页

I东南大字k

|-算为制1技术

19|J1一|，UJI>1*JI

一阶向前差分法

£>(s)=U(s)/E(s)=1/sdu(t)/dt=e(，)

将连续域中的微分

du(t)/dt^{u[(k+l)T]-u(kT)}/T

用一阶向前差分替换

u[(k+1)T]—u(kT)=Te(kT)

做Z变换，得(Z—l)U(z)=TE(z)

D(z)=U(z)/£(z)=T/(z—1)

s与z之间的变换关系

zu上一页下一页

一阶向后差分法

O(s)=U(s)/E(s)=\/sdu(t)/dt=e。)

将连续域中的微分du(t)/dt=[u(kT)-u[(k-1)7]]/T

用一阶向后差分替换

u(kT)—u[(k—1)T]=Te(kT)

做Z变换，得u(z)-z~xu(z)=TE⑺

。⑶=U(z)/矶z)=T/(l—zf

下一页

近似转换公式:

Z-1

前向矩形或z=l+Ts

Z-11

后向矩形

~TT或1-Ts

2z-1

梯形规则-l+Ts/2

或z二----------

FT+il-Ts/2

22解-4—大1_宇.上一页下一页

近似转换公式——另一种简便推导法

根据泰勒级数展开，取一阶近似

/(%)=/(0)+/(0)%

注意到ex^e°+e°x

前向矩形z=eTs-1+Ts

T11

后向矩形z=e'=-j-之------

L1-Ts

Tsi2

_^Ts_e1+Ts/2

梯形规则Z-6--Ts/2

e〜\-Ts/2

23计算机捽制东南大学自动化学院上一页下一页

例：分别用前向矩形规则、后向矩形规则和梯形规则对

0(s)进行离散化，并求其极点.设采样周期7=1秒。

1

D(s)=

1+0.4S+0.68

解：(1)用前向矩形规则进行离散化

]

。前(z)=O(s)z-l

s=-----2

T(Z-1)+0.4(Z-1)+0.68

1

(z-0.8-jO.8)(z-O.8+j0.8)

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(2)用后向矩形规则进行离散化

1

。后(z)=O(s)二1

-12-1

Tz(1-z)+0.4(1-z)+0.68

1

(z-0.576-J0.384)(z-0.576+J0.384)

(3)用梯形规则进行离散化

1

。梯(z)=O(S)L=23=——।

Z~1

L+1(2-—)29+0.4(2--)+0.68

z+1z+1

0.182(z+l)2

(z-0.606-J0.584)(z-0.606+yO.584)

25计算上上一页下一页

(4)求极点。各D(z)的极点分别为:

D前⑵的极点：Z=O.8±JO.8=1.13/±^M=1.13/±452

D后(z)的极点:z=0.576±yO.384=0.693/±0.58=0.693/±33.7°

D梯(z)的极点:z=0.606±jO.584=0.841/±0.767=0.841/±43.94!

原系统极点：z=0.819/±45.842

原D(s)的极点:5=-0.2±J0.8T=1

(-0.2±J0.8)

「・z=e

z=0.819/108=0.819/1452842

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26

三种转换规则的特性——稳定域转换

转换公式Z的表达式的形式

z-1z=1+Ts

前向矩形s二---------

T

Z-1

后向矩形s=-----

Tz1-Ts

l+Ts/2

X-Ts/2

27(a)前向矩形规则(b)后向矩形规则(c)梯形规则

前向矩形规则——一阶向前差分法

主要特性—j7

①界面与Z平面映射关系z=i+/s,平移放大关系

②若D(s)稳定，则D(z)不一

定稳定［改进方法是适当

由于这种变换的映射关系畸变严重，不能保证。(z)一定稳

定，或者如要保证稳定，要求采样周期较小，所以应用较少。

28计算机捽制技术—J化学断(上一页||下一］

后向矩形规则——一阶向后差分法

111(1+Ts)

z----------——I-----------------

主要特性l—Ts22(1—Ts)

①，面与Z平面映射关系

□当o=0,s平面虚轴映射到z平s=a+ja)

面为小圆的圆周。

222

□当o>0(s右半平面)，映射_£_1(1+CTT)+(^T)

至!Jz平面为上述小圆的外部。Z~2-4(l-crT)2+(6yT)2

□当ovO(s左半平面)，映射

到Z平面为上送小圆的内部。

②变换前后，稳态增益不变一

③若D(s)稳定，则。(z)一定稳

定

④离散后控制器的时间响应与

频率响应，与连续控制器相

比宥相当大的畸变。

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后向矩形规则——一阶向后差分法

111(1+Ts)

~1-Ts~22(1-Ts)

由于这种变换的映射关系畸变严重，变换精度

较低。所以，工程应用受到限制，用得较少。

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(T\,OJT

梯形规则——双线性变换法1+—C7

I2)

主要特性

①界面与Z平面映射关系

□当0=0（s平面虚轴）映射

为评面的单位圆周。

□当o>0（s右半平面），

映射到平面单位圆外。

z(07丫

□当ovO（s左半平面），1——(T+-

I2)I2)

映射到z平面单位圆内。

②若D（s）稳定，则D（z）一

定稳定

31计算机拴制技才上一页下一页

梯形规则—双线性变换法

③变换前后，稳态增益不变。-O(s)K=O(z)K

④双线性变换后D(z)的阶次不

变，且分子、分母具有相同的

阶次。

并有下式成立:

D（e，）0二。

2

32上一页下一页

梯形规则一双线性变换法

⑤频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率

特性不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变。

s=2(z-D

z域角频率为。。

S域角_频率_

••_~~~Xx/

「-如