中考数学高频考点剖析专题

目录

专题八函数之一次函数问题.................................................2

(1)函数图像问题；........................................................2

(2)一次函数图形与性质问题；.............................................2

(3)一次函数的应用.......................................................2

初中数学常用公式定理(务必全部理解并记住)................................13

几何图形公式(带*号的是附加知识)........................................16

中考规律探索1.....................................................................................................................................18

一.选择题...............................................................18

二.填空题..............................................................20

规律探索2.............................................................................................................................................29

参考答案..................................................................37

中考数学高频考点剖析

专题八函数之一次函数问题

考点扫描☆聚焦中考

一次函数，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括函数图像和一次函数的图形、性质及

其应用等几个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以综

合应用为主，往往和方程及反比例函数综合体现。结合2018年全国各地口考的实例，我们从四方面

进行一次函数问题的探讨：

（1）函数图像问题；

（2）一次函数图形与性质问题；

（3）一次函数的应用.

考点剖析☆典型例题

回（2018•山东滨州・3分）如果规定［x］表示不大于x的最大整数，例如［2.3］=2,那么函数y=x・

［x］的图象为（）

【分析】根据定义可将函数进行化简.

【解答】解：当-IWxVO,［x］=-1,y=x+l

当OWxVl时，［x］=0,y=x

当1WXV2时，［x］=Ly=x-1

故选:A.

【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解［x］的定义，然后对函数进行化简，本题属于

中等题型.

瓯（2018年江苏省泰州市・3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9,6）,AB±y

轴.垂足为B,点P从原点0出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到

达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2,则下列说法正确的是（）

y

orP

A.线段PQ始终经过点（2,3）B.线段PQ始终经过点（3,2）

C.线段PQ始终经过点（2,2）D.线段PQ不可能始终经过某一定点

【分析】当OP=t时，点P的坐标为（t,0）,点Q的坐标为（9-2t,6）.设直线PQ的解析式为

y=kx+b（kKO）,利用待定系数法求出PQ的解析式即可判断；

【解答】解：当0P二t时，点P的坐标为（t,0）,点Q的坐标为（9-2t,6）.

设直线PQ的解析式为y=kx+b（kWO）,

将P（t,0）、Q（9-2t,6）代入y=kx+b,

3-t

2t

・•・直线PQ的解析式为

3-tt-3

•・'x=3时，y=2,

，直线PQ始终经过（3,2）,

故选:B.

【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

瓯（2018年四川省南充市）直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是（）

A.y=2（x+2）B.y=2（x-2）C.y=2x-2D.y=2x+2

【考点】F9：一次函数图象与几何变换.

【分析】据一次函数图象与几何变换得到直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x-2.

【解答】解：直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x-2.

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx（kKO）的图象为直线，当直线平移

时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为尸kx+m.

匹|（2018•达州）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀

速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁

块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）

【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题.

【解答】解：由题意可知,

铁决露出水面以前，FQF小G,浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，

当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，

当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，

故选：D.

画（2012•内江）如图，等边4ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A-B-C

的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s）,y=PC2,则y关于x的函数的图象大致为（）

222

【分析】需要分类讨论:①当0WxW3,即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cosA=^+AC~PC,

2PA,AC

所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后杈据函数关系式确定该函数

的图象.②当3VxW6,即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y=(6-x)2=(x-6)2(3<

xW6),根据该函数关系式可以确定该函数的图象.

【解答】解：•・•正AABC的边长为3cm,

AZA=ZB=ZC=60°,AC=3cm.

①当0Wx<3时，即点P在线段AB上对，AP=xcm(0<xW3)；

根据余弦定理知cosA二理3空3记，

2PA・AC

即Lx2+9-y.

26x

解得,y=x2-3x+9(0WxW3)；

该函数图象是开口向上的抛物线；

解法二：过C作CD_LAB,则AD=L5cm,CD=^/^cm,

点P在AR上时，AP=xcm,PD=|1.5-w|em,

.,.y=PC2=(-ITS)2+(1.5-x)2=x2-3x+9(0WxW3)

该函数图象是开口向上的抛物线；

②当3VxW6时，即点P在线段BC上时，PC=(6-x)cm(3VxW6)；

则丫=(6-x)2=(x-6)2(3VXW6),

・•・该函数的图象是在3VxW6上的抛物线；

故选：C.

亟|(2018年江苏省南京市)小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第

16min回到家中.设小明出发第tmin时的速度为vm/min,离家的距离为sm,v与t之间的函数关

系如图所示(图中的空心圈表示不包含这一点).

(1)小明出发第2min时离家的距离为m；

(2)当2VtW5时，求s与t之间的函数表达式;

(3)画出s与t之间的函数图象.

八v(m/min)

02516Lmtn

【分析】(1)根据路程二速度义时间求出小明出发第2min时离家的距离即可；

(2)当2VtW5时，离家的距离s二前面2min走的路程加上后面(t-2)min走过的路程列式即可；

(3)分类讨论：0WtW2、2VtW5、5VtW6.25和6.25VtW16四种情况，画出各自的图形即可求

解.

【解答】解：(1)100X2=200(m).

故小明出发第2min时离家的距离为200m；

(2)当2VtW5时,s=100X2+160(t-2)=160t-120.

故s与t之间的函数表达式为160t-120；

r200t(0<t<2)

160t-120(2<t<5)

(3)s与t之间的函数关系式为《

80t+280(5<t<6.25)

1280-80t(6.25<t<16)

【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目信息,

从图中准确获取信息是解题的关键.

考点过关☆专项突破

类型一函数图像

1.(2018•湖北黄冈・3分)函数尸在+,中自变量x的取值范围是()

x-1

A.x2T且xHlB.x2TC.xWlD.TWxVl

2.(2018•四川自贡・4分)已知圆锥的侧面积是8ncm)若圆锥底面半径为R(cm),母线长为1

(cm),则R关于1的函数图象大致是()

3.（2018•通辽）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行

驶一段时后到达学校,小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系

4.（2018年四川省内江市）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后

匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块

被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图是（）

5.（2018•随州）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡

觉,而乌龟•直坚持爬行最终赢得比赛，下列函数图象可以体现这做事过程的是（）

6.（2018•金华）某通讯公司就上宽带网推出A,B,C三种月收费方式.这三种收费方式每月所需的

费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（）

A.每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱

B.每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多

C.每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱

D.每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱

7.（2018•潍坊）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，NB=60°,动点P以1厘米秒的速度自A点出

发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止.若

点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米:下面图象中能表示S与t之间的函数关系

8.（2018•孝感）如图，在aABC中，NB=90°,AB=3cm,BC=6cm,动点P从点A开始沿AB向点B

以lcm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P,Q两点分别从A,

B两点同时出发,P点到达B点运动停止，则4PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（）

类型二一次函数图像与性质

1.（2018•台湾•分）已知坐标平面上，一次函数y=3x+a的图形通过点（0,-4）,其中a为一数,

求a的值为何？（）

A.-12B.-4C.4I）.12

2.（2018•广东深圳-3分）把函数y二x向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是（）

A,白冏B,也留C.也老D.匕商

3.（2018•广西桂林・3分）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（,1）,（3,

1）,（3,0）,点A为线段MN上的一个动点，连接AC,过点A作AB_LAC交y轴于点B,当点A从

M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0,力），则。的取值范围是（）

15919

A.——<b<1B.——<b<1C.——<b<-D.——<b<1

4-4~4--24--

4.（2018•湖南省常德・3分）若一次函数y=（k-2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（）

A.k<2B.k>2C.k>0D.k<0

5.（2018・四川宜宾・3分）已知点A是直线y=x+l上一点，其横坐标为一上，若点B与点A关于y

2

轴对称，则点B的坐标为.

6.（2018•湖北江汉・3分）如图，在平面直角坐标系中，△PQA”4P必也，AP3A2A3,…都是等腰

直角三角形，其直角顶点R（3,3）,P2,P3,…均在直线y=-lx+4上.设△PQAi,AP2A,A2,AP3A2A3,…

7.（2018•甘肃白银，定西，武威・3分）如图，一次函数丫=-乂-呜丫=2乂+111的图象相交于点式4-4）,

|2x+m<-x-2

则关于的不等式组（-x-2〈0的解集为

8(2018•江苏扬州・3分)如图，在等腰RlZ\AB0,/A=90°,点B的坐标为(0,2),若直线1：

y=mx+m(m#0)把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为_.

9.(2018•乐山・3分)已知直线L：y=(k-1)x+k+1和直线上：y=kx+k+2,其中k为不小于2的自

然数.

(I)当k=2时，直线与x轴围成的三角形的面积S?=

(2)当k=2.3.4,……，2018时，设直线LL与x轴围成的三角形的面积分别为S2,S3,Si,

S2OI8,则S2+S3+S1++S2018=

类型三一次函数的综合应用

1.(2018•江苏镇江・3分)甲、乙两地相距80km,一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀

速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h,并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y(km)与时

间x(h)之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午()

A.10：35B.10：40C.10：45D.10：50

2.(2018•辽宁省阜新市)甲、乙两人分别从A,B两地相向而行，他们距B地的距离s(km)与时

间t(h)的关系如图所示，那么乙的速度是km/h.

3.（2018•重庆市B卷）（4.00分）一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一段时间

后.她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀

速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐

多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间

的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以

及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）.当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为一米.

4.（2018•重庆（A）-4分）两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发

到8地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发。途中乙车发生故障，修

车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两

车同时到达8地。甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车行驶时间x：小时）之间的关系如图所

示，求乙车修好时，甲车距8地还有千米。

5.（2018-山东潍坊・11分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工

程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有A,B两种型号的挖掘机，已知3台A

型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖

土225立方米.每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为

180元.

（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？

（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且

总贽用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费

用是多少元？

6.（2018♦湖北黄石・8分）某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转

移,邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾

区.已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市.已

知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B两市的费用别为每吨

15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨.

（1）请填写下表

A（吨）B（吨）合计（吨）

Cx-60300-x240

D260・xX260

总计（吨）200300500

（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m>0）,

其余路线运费不变.若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围.

7.（2018•广西梧州・10分）我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行

车的市场需求量日渐增多.某商店计划最多投入8万元购进A.B两种型号的电动自行车共30辆，其

中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元.用5万元购进的A型电动自行车与用6万元

购进的B型电动自行车数量一样.

（1）求A.B两种型号电动自行车的进货单价；

（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购

进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元.写出y与m之间的函数关

系式；

（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？

8.（2018•湖北恩施・10分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3

台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元.

（I）求A型空调和B型空调每台各需多少元；

（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种

型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？

（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

初中数学常用公式定理（务必全部理解并记住）

1、整数（包括：正整数、0、负整数）和分数（包括：有限小数和无限环循小数）都是有理数.

21

如：—3,药，0.231,0.737373…，用&8.无限不环循小数叫做无理数.

如：Ji,一万，0.1010010001…（两个1之间依次多1个0）.有理数和无理数统称为实数.

2、绝对值：々200\a\=a；aWOQ|。|=一〃.如：I一限I=6；I3.14—n|=JI-3.14.

3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数

的

有效数字.如：0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0.

4、把一个数写成±4X10"的形式（其中lWa＜10,〃是整数），这种记数法叫做科学记数法.

如：-40700=-4.07X105,0.000（43=4.3xl0-5.

5、乘法公式（反过来就是因式分解的公式）：①（a+b）（a—b）=〃一炉.②（a±b）2=〃±2ab+〃.

③〃+〃=（a+b）2—2岫，（a—b）2=（a-^-b）2—4ab.

6、暮的运算性质：①0m②a—③”）〃=产.@（ab）,,=anbn.⑤（：）"=〃.

@a~n=—,特别：（J）一"=（?）".©«°=l（aWO）.如：a3Xd1=a5,＜76-rfi2=6?,（tj3）2=«6,

（3-）3=2709,（一3尸=-J,52=%=右（4）-2=（4）2=J,（-3.14）°=1,（应'一回。=1.

7、二次根式：①（萩）2="（420）,②1。1,③4ab=X,④匕20）.

如：①（3万尸=45.②.-6）2=6.③aVO时，行鼠=一。遍④的平方根=4的平方根=

±2.

8、一元二次方程：对于方程：加+b+。=0：

2

①求根公式是x=一"±"-4觉,其中△=〃—4"c叫做根的判别式.

2a

当△＞（）时，方程有两个不相等的实数根：

当△=（）时，方程有两个相等的实数根；

当△＜（）时，方程没有实数根.注意：当△》（＞」•，方程有实数根.

②若方程有两个实数根XI和X2,并且二次三项式以2+法+。可分解为a（x-M）（x-m）.

③以a和b为根的一元二次方程是f一（a+b）x+H=O.

9、一次函数,v=h+"ANO）的图象是一条直线彷是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在），轴上的

截距）当左>0时，），随x的增大而增大（直线从左向右上升）：

当左V0时，），随x的增大而减小（直线从左向右下降）.

特别：当方=0时，y=心:（&工0）又叫做正比例函数（y与X成正比例），图象必过原点.

10、反比例函数.v=JaW0）的图象叫做双曲线.

当心>0时，双曲线在一、三象限（在每一象限内，从左向右降）；

当女V0时，双曲线在二、四象限（在每一象限内，从左向右上升）.

因此，它的增减性与一次函数相反.

H、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体.从

总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.

②在一组数据中，出现次数最多的数（有时不止一个），叫做这组数据的众数.

③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数（或两个数的平均数）叫做这组数据的中位

数.

（2）公式：设有〃个数为，X2,…，8”那么：平均数为：.二.十七+……；

n

12、频率与概率：

（1）频率:幽，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1,频率分布直方图中各个

总数

小长方形的面积为各组频率。

（2）概率

①如果用P表示一个事件A发生的概率，则OWP（A）<1；P（必然事件）=1：P（不可能事件）

=0：

②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。

③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；

13、锐角三角函数：

①设NA是Rl^ABC的任一锐角，则NA的正弦：如必="％边,NA的余弦：cosA=建警,

NA的正切：tanA=名需票卷.并且siMA+cos2A=1.

0<sinA<l,0<cosA<l,tanA>0.NA越大，NA的正弦和正切值越大，余弦值反而越小.

②余角公式：sin（90°—A）=cosA,cos（90°—A）=siivl.

③特殊角的三角函数值：sin300=cos600=,sin450=cos45°=,sin60°=cos30°=-^,tan30°

=_^,tan450=1,tan60°=超.

铅垂高度—力h

④斜坡的坡度：i水平宽度F设坡角为Q，则i=tana=?

14、平面直角坐标系中的有关知识:

（1）对称性：若直角坐标系内一点P（mb）,则P关于工轴对称的点为Pi（。，一方），P关于y

轴对称的点为P2（一扇b）,关于原点对称的点为P3（—。，—b）.

（2）坐标平移：若直角坐标系内一点P（a,h）向左平移人个单位，坐标变为P（a—h,b）,向右

平移〃个单位，坐标变为P（a+a,。）；向上平移"个单位，坐标变为P（m，

向下平移。个单位，坐标变为P（a,b—h）.如：点A（2,-1）向上平移2个单位，

再向右平移5个单位，则坐标变为A（7,1）.

15、二次函数的有关知识：

1.定义：一般地，如果丁=。/+/+以。,儿。是常数，。。0）,那么y叫做x的二次函数.

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①〃的符号决定抛物线的开口方向：当。＞0时，开口向上；当。＜0时，开口向下；

时相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x=/i.特别地，y轴记作直线x=0.

几种特殊的二次函数的图像特征如下:

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y=ax1x=0(y轴)(0,0)

当。＞0时

y=ax1+kx=0(y轴)(0,k)

开口向上

2x=h(力Q)

y=a(x-/?)当〃＜0时

y=a(x-h)2+k开口向下x=h(h,k)

b

y=ax2+bx+cx=-----b4ac-b2

la(.».)

2a4a

3.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4ac-b2

(1)公式法：y=ax1+hx+c=rix+一H-----------------

2a4a

.e＞-口/b4ac-b243心口上心b

•・顶点是（----,--------）x»对称轴是直线上=----.

2a^a2a

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为），=〃（工-力）2+后的形式，

得到顶点为（爪女）,对称轴是直线工=儿

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶

点。

若已知抛物线上两点（％,y）、（X2，y）（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：工二百三

4.抛物线y=ar?+Z?x+c中，a,0,c•的作用

（1）。决定开口方向及开口大小，这与》=奴2中的。完全一样.

（2）力和〃共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=〃r+"+c的对称轴是直线：x=-b/2a,

故：

①b=0时，对称轴为y轴：②h/a>0（即〃、6同号）时，对称轴在），轴左侧：

③b/a<0（即。、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线y=a/+法+。与y轴交点的位置.

当x=0时，y=c,；.抛物线y+bx+c与y轴有且只有一个交点（0,c）：

①c=0,抛物线经过原点;②c>0,与y轴交于正半轴；③cvO,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则-<0.

a

5.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：丁=双2+"+。.已知图像上三点或三对工、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：y=a（x-〃）2+Z.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标演、x2,通常选用交点式：y=a（x-xi\x-x2）.

6.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线y=4小+）x+c得交点为（0,c）.

（2）抛物线与x轴的交点：

二次函数y=奴2+"+c的图像与x轴的两个交点的横坐标工［、x2,是对应一元二次方程

o?+加+。=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点可以由对应的一元二次方程的根的判别

式判定

①有两个交点0（A>0）0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）O（A=0）O抛物线与x轴相切：

③没有交点=（△<0）0抛物线与冗轴相离.

（3）平行于x轴的直线与抛物线的交点：

同（2）一样可能有。个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，

设纵坐

标为Z,则横坐标是62+打十。=%的两个实数根.

（4）一次函数丁=履+〃（女。0）的图像/与二次函数了二。氏2+法+电工0）的图像G的交点，由

“y=%x+n

方程组2的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时o/与G有两个交

_y=ax+bx+c

点；

②方程组只有一组解时=/与G只有一个交点；③方程组无解时=/与G没有交点.

（5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=o?+法+c与4轴两交点为

4（卬0）,8（卬0），则回=|大一引

几何图形公式（带大号的是附加知识）

1、多边形内角和公式：〃边形的内角和等于（〃-2）180。（〃，3,〃是止整数），外角和等于360。

2、平行线分线段成比例定理:

（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图：a//b//c,直线八与b分别与直线从c相交与点4、B、C、D、E、F,

n」士A8DEABDEBCEF

BCEF,ACDF9ACDF

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

如图：△ABC中，DE//BC,DE与A8、AC相交与点D、E,则有：

AD_AEA_D_AEDE_DBEC/\人L一

C

*3、直角三角形中的射影定理：如图：RizMBC中，NAC8=90°,COJ_A8于O,则有:

(1)CD'=A>BD(2)AC"=ADAB(3)BC'=BDAB

ADB

4、圆的有关性质：

（l）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平

分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质.

（2）两条平行弦所夹的弧相等.

（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半.

（6）同弧或等弧所对的圆周角相等.

（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

（8）90。的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90°,直径是最长的弦.

（9）圆内接四边形的对角互补.

5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心就是三内角角平

分线的交点.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三边中垂线的交点.

常见结论：（1）RtZ\ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径r=£1^Z£,

2

（2）ZiABC的周长为/,面积为S,其内切圆的半径为r,则S

2

*6、弦切角定理及其推论：

（I）弦切角：顶点在圆上，且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：NB4C为弦

切侑。

（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。

A

O

如果AC是00的弦，附是。0的切线，A为切点，则NPAC=!AC=，NA。。

22

推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）

如果AC是OO的弦，力是00的切线，A为切点，则NQ4C=NABC

*7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：

相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。如图①，即：PAPB=PCPD

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。

如图②，即：PAPB=PCPD

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

如图覆③，即：PC2=PAPB胃彳仁、。*x-

①②③

8、面积公式：

①S正边长广

②S平行四边形=底X同］.

③S菱形=底乂高=；义（对角线的积），S梯形=g（上底+下底）、高=中位线X高

④际=n4.

⑤/圜周长=2nR.

⑥弧长工=寓.

1oil

⑧品I柱侧=底面周长X=2nrh,8面积=瓯+5^—2"rh~\~2n_r-

⑨S网锥侧=1X底面周长X母线=JIS全面积=&+&=nrb+兀/

中考规律探索1

一.选择题

1.观察下列等式：31=3,3?=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187...

解答下列问题：3+32+33+34…+3233的末位数字是（)

A.0B.1C.3D.7

2.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1）,（3,5,7）.（9,11,13,15,17）,

（19,21,23,25,27,29,31）,…，现用等式AM=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从

左往右数），如A?=（2,3）,则A2OI3二（）

4.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为2°层，第（2）个

图形的面积为8CT«2,第（3）个图形的面积为18cm2,……，第（10）个图形的面积为（）

（1）（2）⑶（4）

A.196crtrB.200cnvC.216cnrD.256cnr

5.如图，动点P从（0,3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等

于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）

A、(1,4)B、(5,0)C、(6,4)D、(8,3)

6.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律，图形中M与m、n的关系是

7.我们知道，一元二次方程/=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1,若我们规定一

个新数使其满足尸=-1（即方程d=_i有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进

行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有『二，，『=-1,

32

i=ii==〃=（产）2=（-1）2=1.从而对任意正整数n,我们可得到

严+1=严1=(/)〃/=,，同理可得/"+2=_]#4"+3=T/4"=[,那么

j+产+/+/+…严+严13的值为

A.0B.1C.-1D.

8.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一

共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（）

图①图②图③

（第8题图）

A.51B.70C.76D.81

二.填空题

1.观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第〃个图形中所有的个数为（用

含〃的代数式表示）.

图2图3

逐11«）

2.如图，在宜角坐标系中，已知点A（-3,0）、B（0,4）,对△OA8连续作旋转变换，依次得

3.如图，正方形ABCD的边长为1,顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形AiBiCiDi,

由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2c2D2…，以此类推，则第六个正方

形A6B6c6D6周长是

B

D

4.直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后,

直浅上共有个点.

5.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：称图中的数1,5,12,22...

为五边形数，则第6个五边形数是

8.如图12,一段抛物线：y=-x(x-3)(0<x<3),记为Cl,它与x轴交于点。，A\；

将Cl绕点、Al旋转180。得C2,交x轴于点42：

将C2绕点A2旋转180。得C3,交x轴于点A3；

如此进行下去，直至得C13.若P(37,加)

在第13段抛物线C13上，则/二

9.直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后,

直线上共有个点.

10.观察下列各式的计算过程:

5X5=0X1X100+25,

15X15=1X2X100+25,

25X25=2X3X100+25,

35X35=3X4X100+25,

请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为

11.将连续的正整数按以下规律排列，则位于第7行、第7列的数X是

第一列第二列第三列第四列第五列第六列第七列

第1行136101521