2024MPT诚哥数学 导数专题分类

第3章导数

〃在〃型求切线

【典型例题】

Q1己知函数九"=、3cos北+sin〃曲线y=f（光在点（多斛处的切线方程为（）

A.y=2^t-+s3B.y=2功・亭・、3

«■«■

C」=-功+中+.3D.y=・功+中-■3

02已知函数fdb在北WR上满足，（2+功=2九2・北卜北2+6北，则曲线y=f比在点

（2/⑵处的切线方程是（）

A.2^-y-6=0B.6^-y-4=0C.2^-y-4=0D.2〃+y-4=0

【提分秘籍】

已知在点外%,局处的切线方程步骤：①求k=fUG、

②丫-肾=咫垃（北・屿

【变式演练】

Q1已知X处满足=0,且当功＜0时，皿=北+、2则曲线y=彳为在点（1,幻））

帚显的切线方程为防（）

A.^+y-1=0B.3^-y-2=0C.3^f-y-3=0D•功-y-2=0

口2已知函数九%=（2"+《4+3的图象经过坐标原点，则曲线y二九的在点（7/（・1处的

切线方程是（）

A.y=8北-72Bj=4北・76C.y=8北+72Dj=4"+76

03设函数片%=-；升+3,则曲线"二4必在点（3,・6）处的切线方程为（）

A.y=9北+21B.y=-9花+19Cj=9功+19D.y=-9〃+21

Q4函数外加广力n〃・2北在北=1处的切线方程为（）

A.y=-^-1Bj二功-1G.y=2北・2D.y=2jt+1

〃过〃型求切线

【典型例题】

1

过点氏2,-6）作曲线4M=〃・3x的切线，则切线方程为

A.3x+y=0或24x-y-54=0B.3x-y-0或24x-y-54=0

C.3x+y=0或24x-y+54=0D.24x-y-54=0

©2已知曲线/•（X）=3〃+5M-X+1,过点（1,0）的直线/与曲线力相切于点只则点P的

横坐标为.

【提分秘籍】

函数y=4M图象过点尺不，乂））处的切线方程：①设切线坐标（M,"），②求出切线方程为y•弘二f

（/）（*・％）,③ft入（心㈤求得名小，从而得切线方程.

【变式演练】

□I若过点（¥）,0的直线与函数相二阳的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为

（）

A.G+1B..gC.1D.

口2过点（e,-e）作曲线y=e*-x的切线，则切线方程为（）

A.y=（-1-e）x+e2B.y=（e-1）x-e2

C.y=（ee+1-1）x-ee+2D.y=（e°-1）x-ee+1

03已知尸（x）=x-过[彳他作曲线y"（x的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为

（）

B.3e2C.2eDe

□4曲线y=2乂nx+3过点（”）,0的切线方程是.

题型三、

k已知切线条数求参数

【典型例题】

S]1已知函数=〃・3〃，若过点外2,。可以作出三条直线与曲线4M相切，则1的取值范围

是（）

A.（-2,-1）B.（-3,-2）C.（-4f-3）D.（-5,-4）

Q2若过点可作曲线;/=・/三条切线，则（）

A.0<n<-rrfB.n>-nriC./?<0D.0</7="rrP

【提分秘籍】

过点尺6,力可做函数y=4M的一条（或两条或三条）切线问题步骤：

①设切点R（局,%）,求斜率〃="局）②求切线y-%=〃应）（*■局）③将点尺小。）代入切线y-必

・

=（x题）方程中得〃检）（6-跖）④则问题转化为关于h的方程n-y0=f（x0）（m

-检)就有几个解⑤转化为交点问题或极值问题求解.

【变式演练】

1若过©，切可做y=x+0）的两条切线，则（）

A.a<b<a+—B.a>bC.b<0D.d>a+—

aa

Q2若过点（a,坊可以作曲线y=Inx的两条切线，则（）

A.a<IndB.b<InaC.Ind<aD.Ina<b

3已知函数/■(x)=，・9x,过点)可作曲线y=f(x)的三条切线，则实数/n的

取值范围是()

A.(0,8)B.(-8,8)C.(-8,-8D.(-9,-8)

题型四

【典型例题】

Q1已知函数/■(*)=〃・6〃+9x・2,过点a0,2祚曲线y=，(x)的切线，则可作切线的最多

条数是.

【提分秘籍】

过点Rm,力可做函数y=的几条切线问题步骤：

①设切点R(陶，闯，求斜率攵=/'(即)②求切线y-%=〃％)(x-%)③将点外6,力代入切线y-必

帚=f(M)(x・⑷方程中得"-必=〃对(闭・左)④解出先即可判断切线为几条.

【变式演练】

1过点A0力作曲线y二xe的切线，当匚b<0时，切线的条数是()

A.0B.1C.2D.3

□2已知函数f(*=-〃+3%贝!过点(・3,-9可作曲线_/=〃月的切线的条数为(

A.0B.1C.2D.3

公切线问题

【典型例题】

Q1若直线/二而+6是曲线仆)二铲3与g(M=眇.**。2？的公切线，则攵=()

AlullD2戊2r2025n1

'ini9'a-'wr)

O2若直线y=kx+b是曲线y二ex-1和卜二e⑹的公切线，则实数6的值是.

【提分秘籍】

3

y-kx+b是丫=代)d和y=gC0的公切线问题：

①设y:kx+gy=fS相切的切点为8(%,N)贝力求出切线方程y-乂寸(X)(*-X)

<1般片kx+b与y=g(4相切的切点为8(%,刃贝！1,求出切线方程广为引(⑷U-%)

③联立两切线求解.

【变式演练】

Q1若直线f.y=kx+b(k>1)为曲线/■③二铲|与曲线g(xfdnx的公切线，则/的纵截距b=

()

A.0B.1C.eD.-e

Q2若直线/：y=kx+6为曲线外x)=e与曲线g(/)=e21nx的公切线(其中e为自然对数的

底数，e«2.71828-),则实数b=.

题型六'距离最小值

【典型例题】

Q1若点48分别是函数y=x-4e*与y=3-3x图象上的动点(其中e是自然对数的底数),

则48的最小值为()

人.马匹B.芈C.JT7D.17

1010

【提分秘籍】

本例中设/W=X-4e\g(A)=3-3%设与平行且与/W相切的直线与/W切于

P(%，的-4e勺，由导数的几何意义可求出点"的坐标，则48的最小值转化为点P到直线y=3-3x

的距离

【变式演练】

Q1已知点P在函数/*Inx-*+2的图像上，点Q是在直线x+2y-2ln2-6=0上，记例

=IQQ,贝4()

A.独有最小值考EB.当雌最小值时，点Q的横坐标是导

C.例有最小值二具D.当例取最小值时，点Q的横坐标是U

Q2直线分别与曲线y=2lnx,直线y=x-3交于Aoo8两点，贝U的最小

值为()

C.-i-D.、5

Q3点/是曲线y;今/-Inx上任意一点，则点力到直线y=2x-1的最小距离为()

A・信B.号C.普D.、5

1二4』已知点/是函数/'(X);x

z-lnx+2图象上的点，点8是直线y=x上的点，则|/6的最小

值为()

A..2B.2D.号

等价转化为距离

【典型例题】

01已知y=(x・a9+(卡■・B，则y的最小值为()

A.,2D.2C.乌D.苴

e❷

【提分秘籍】

在本例中根据几何意义可知y表示点4(%卡和8(d,a+2)之间的距离的平方，根据点44的轨迹

方程，可将问题转化为f(X=言上的点与y=*+2上的点的距离的平方的最小值的求解；利用导数

可求得与卜=x+2平行的曲线的切线及切点，可知所求最小值即为切点到直线y=x+2距离平方的

帚最小值，利用点到直线距离公式可求得结果.

【变式演练】

□1已知实数ab,G4满足：目三生=占三=1,其中e是自然对数的底数，则3•于+(6・

oa-1

鼐功2的最小值是()

A.7B.8C.9D.10

Q2已知x>0,yWR,(x-y)2+(A2-lnx+2・)/2的最小值为()

A.,2B.2C.-^iD.当

Q3若史=牝2=1,则(乂-m2+(%一%2的最小值是

()

6lh

A.J-B.邛C.、2D.2

99

Q4已知In4-%・％+2=0,及+2y2-4-2ln2=0,贝!I发尸+(yy-的最小值为

()

A.咚-B.C.2便D.2察

ODDO

5

在平面直角坐标系X。/中，已知游・lnx・H=O,x2-y2-3=0,则（用一女尸十依一闯2的

最小值为（）

A.9B.-2.C.32D.^2-

题型八

一、单碰

1.曲线〃力二（2x-Dsinx在点（0/（0处的切线方程为（）

A.x+y=0B.x-y-0C.x+y+1=0D.x-y+1=0

2.已知函数/\x）=m^+lnx+1的图像在（1/（11）处的切线过点（2,8）,则6=（）

A.4B.2C.3D.4

«*

3.已知直线4x+必+小=0既是曲线y=Inx的切线，又是曲线"二e&的切线，则加+“二

（）

A.0B.-2C.0或eD.-2或-e

4,若函数/'（川=e（sin/+a）在点/Qf（0））处的切线方程为y=3x+a则实数3的值为（）

A.1B.2C.3D.4

5.若函数4M=#・1与4M=alnx-1的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（）

A.2eB.eC.、eD.e2

6.已知直线y二与y=&*俏>%）是曲线y=ax+2ln|*|（deR的两条切线，贝Uky-k2-

（）

A.-B.2dC.4D.无法确定

e

7.若曲线y=/7彳-1和〃+znx+1有公切线，则实数6=（）

A.$D.-yC.1D.-1

8,已知曲线/=B,与y=Inx-ln8的两条公切线所成角的正切值为:，则才:（）

A.2B.2C.-4D.-

eee

9.已知直线/是曲线y=lnx与曲线y=#+x的一条公切线，直线/与曲线相切于点

（4炉+d）,则3满足的关系式为（）

A.</+1-In（2a+1）=0B.+1+In（2a+1）=0

C.a？-1-ln（2a+1）=0D.炉・1+In（2a+1）=0

10.已知直线x+y+a=0与曲线y=e。*,y-分别交于点AB,贝！]\AB的最小值为（）

A.—B.^—=-C.1D.e

ee

11.已知函数〃田=-/+3x,P为曲线在点（2,〃2））处的切线上的一个动点，Q为圆C

（x-32+（y-12=母上的一个动点，则IPQ的最小值为（）

12.平面直角坐标系中，已知*-lnx-乂=Q,X2-y2-2=0,则J（%-%?+（%一网2的最小

值为（）

A.1B.2C..2D.4

二、多选题

13.已知过点力（己0作曲线（1+Me的切线有且仅有1条，贝ija的可能取值为“（

A.-5B3C1D.1

三、填空题

14.已知尸过点（1,冰可作曲线y二〃x）的三条切线，贝!|1的范围是.

15.若曲线y-e在点9a,%处的切线与曲线y=炉在点Q（监川处的切线重合，则In（用-彳■吊

16.已知曲线f（X=+1与曲线g（V=e会有相同的切线，则这条切线的斜率为

帚专题3,2利用导数解决单调性中求参数问题选填

已知函数在区间。上单调

【典型例题】

©1若函数应MInX在区间（1,+8）单调递增，贝ij〃的取值范围是（）

A.[1,+8）B.（-8,-1]C.（1,+8）D.（-8,-2]

团2若函数/（切=（A2-3M3T在区间（-1,0）内单调递减，则实数d的取值范围是（）

A.（-oo,3]B.[3,+8）C,[1,+8）D.（-oo,1]

Q3已知函数/jx于衣+2x-e",若对V6,"三（0,+«?,m〉n,都有"""二<2成立,

m-n

则d的取值范围是（）

A•（一8,田B.（-oo,1）C.（-oo,曰D.（-oo,e]

【提分秘籍】

已知函数人”在区间。上单调

①已知〃*）在区间。上单调递增0rXWD,f^>0恒成立.

7

②已知〃X)在区间。上单调递减OPXRD,0恒成立.

注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.

【变式演练】

□1若大必=-(a+2)x+In/在(1,+8)上是减函数，则实数8的取值范围是(

A.(-oo,-2)B.(-2,+oo)C.[-2,+8)D.(-<»,-2]

Q2设函数/W=\nx-5#在(1,+8)上单调递减，则实数3的取值范围是()

A.(0,吉B.傍+qC.(0,1]D.[1,+oo)

□3若函数以xT2x-勺在[1,+8)上是增函数，则实数攵的取值范围是()

A.[-2,+8)B.[2,+ooC.(-8,拓D.(-8,2]

□4设函数大必=In心上，若对任意b>a>1,叫T⑷<1恒成立，则6的取值范围是

()

A.[0,+8)B.(0,+8)C.生+8)D.(-J,+2

题型二、

L已知函数『(X)在区间。上存在单调区间

【典型例题】

Q1若函数g(A)=In/(6-1)x存在单调递减区间，则实数6的取值范围是()

A.[3,+<»B.(3,+c?C.(-8,3D.(-co,3]

⑦2若函数"劝畛联+Mnx-X存在单调递增区间，则5的取值范围是()

A.(-十JB.(-卷+寸C.(-1,+8)D.(-oo,勺

【提分秘籍】

已知函数〃#在区间。上存在单调区间

①已知〃*)在区间。上存在单调增区间xw。，AM>0有解.

②已知f(x)在区间。上存在单调减区间03XWD,〃切<0有解.

【变式演练】

□1若函数4苗=In/S-1)*在(号，8存在单调递减区间，则实数6的取值范围是

A.[3,+oo)B.(3,+QO)C.停+oo)D.(三,+«)

Q2若函数六必=M-4ex-次在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为.

8

已知函数人勿在区间。上不单调

【典型例题】

茴1已知函数,皿=（1-%In扑+a北在（1,加©上不单调，贝ij8的取值范围是（）

A.（0,+«^B.（-8,0：C.[0,+©?D.（-8,0]

Q2若函数"%=2/-ln〃在定义域内的一个子区间（〃-1,%+才上不是单调函数，则实数4

的取值范围是（）

A.■，头B.（4,2C.[1.）2D.[1,与

【提分秘籍】

已知函数几力在区间。上不单调北三D,使得汽港=0集中北为变号零点）

【变式演练】

□1若函数例+（2-讪北+鼻北+1在其定义域上不单调，贝恢数3的取值范围为（）

A.a<1或a>4B.a41或石24C.1<d<4D.14a44

Q2已知函数例=In北-戎-2在区间（1,2）上不单调，则实数3的取值范围为（）

A.做,1IB.C.6（今分

□3己矩函数fdb=北-A1北+\在（1）3内不是单调函数，则实数3的取值范围是（）

帚A.（2,18）B.[2,18）

C.（-oo,2]U[18,+?oD.[2,18]

鼐□4若函数y二2北-B匕+8在区间（2,5上不是单调函数，则实数々的取值范围_____.

已知函数〃%的单调区间恰为。

【典型例题】

01已知函数优=或-力匕-1*在（-00,-2）单调递增，在（-21）单调递减，则函数优在

[-2,2]的值域是（）

A.[-1,e]B.[-e,e2]C.[e-1,5e-2]D.[5e-2,e2]

Q2已知函数fc/h=:北+a北+北+1在（-8,0、（3,+少上为增函数，在（1,2上为减函数,

•1

则实数3的取值范围为（）

A.r<»,T]B.|-y,--J]C.（-y,1D.（--J,-

【变式演练】

9

□1已知函数侦=七a北+北+d匕+d(a,b,c,6/eR)的单调递增区间是(-3.1),则()

A.a<ZKcB.b<c<aCb<a<cD.a<c<b

02已知函数例=北+卅E+b北+u的单调递减区间是卜4.-2],则关于光的不等式次-2)<

外为4注4)的解集是_____.

已知函数人力有三个单调区间

【典型例题】

Q1若函数fd匕二工北-2皿”(8-力北+5恰好有三个单调区间，则实数8的取值范围为

A.-14842B2<<?<1C.8>2或3<-1D.d>1或4<-2

(22已知函数f*(北-或n北MR,若函数，戊T存在三个单调区间，则实数8的取值范围

是.

【提分秘籍】

已知函数f四有三个单调区间=0有两个不同的实数根.

【变式演练】

_1若函数』北+力〃有三个单调区间，则6的取值范围是______.

□2若函数例=a北+功在定义域R上恰有三个单调区间，则a的取值范围是()

A.(-oo,0)B.(0,+8)C.(-oo,0D.[0,+8)

Q3若函数"")=a北+3北-加恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为()

A.(-3,+8)B.[-3,+8)

C.(-3,0)U(0,+ooD.(-8,0)U(0,3)

04已知函数人%=北+3力Z2+3(A)2尤+1恰有三个单调区间，则实数3的取值范围是

最新模考题组

一、

1.函数fdha北+北+5北-\恰有3个单调区间的必要不充分条件是

A.e书B(0,点

C.(-8,0)U(0,兴D.(-8,0)

2若苗数对卜=之北-2aHa-2北+5恰好有三个单调区间，贝按数8的取值范围为

A.-14a42B.-24a41C.a>2或a<-1D.d>1或a<-2

3,若函数之力=k北-In功在区间（与）-oo上单调递增，贝ij〃的取值范围为（）

A.（.+“B.[2,+00）C.（；,+）»D.（4,+00）

4.若函数九也=/〃+3抬-2在区间（4,2内存在单调递增区间，则实数d的取值范围是（

A.[.2,+8）B.（・=+*c.[■春，）2D.（-2,+8）

5.若函数4M=北+北・叨匕・2在其定义域的一个子区间（2八1,2攵+1）内不是单调函数，则实数

攵的取值范围是（）

A（T1*B.秣0C.4»由寺

6已附函数fd匕寺涸匕+4北对任意的实数功力6（3,+CO）,且北丰北,不等式越口那）北

+北恒成立，则实数a的取值范围是（）

CD

A.詹十qB.仔+叼（J+学（多药

7.已知函数人%=a北+（北・1/在区间[1,3上不是单调函数，贝ij实数a的取值范围是（

ACT---iiB（若，-g]C.（-4,一条D

8.若函数（力9=%+（2•心井+号北+1在其定义域上不单调，则实数m的取值范围为（

A.a<1或3>4B.&41或324C.1<a<4D.1<a<4

帚二、填空题

a若函数九力=%?+超+川恰有三个单调区间，则实数b的取值范围为.

1Q若函躯=-1•%+切修・2/匕+5有三个单调区间，则实数6的取值范围为

11.已知函数人力）=3ln〃・Q/+嚏，若九化在定义域内为单调递减函数，则实数攵的最小值为

12及北户•:为若人花在（彳中o上存在单调递增区间，则8的取值范围是

13.若函数y=adE•北的单调递增区间是（-8，•哥，（冬+加，则实数a的取值范围是

14.已知函数二变■士在[2,4]上不是单调函数，则实数8的取值范围是

导函数有效部分

对于y=4必进行求导得到九化）对外"）初步处理（如通分），提出九物的恒正部分，将该部分省略,

留下的部分则为及功的有效部分例：f（北=）©咋者-/哥”舲，则记奴J=北-戎+2为/•（我的有

11

题型一L导函数有效部分是一次型

【典型例题】

Qi已知函数例二。.

⑴当不1时，求函数途在(1,/(D)处的切线方程;

⑵求函数例的单调区间；

(32已知函数人"二强■犷f,aeR

(1)求人4的单调应间；

)

【提分秘籍】

碑题1中，户优=#(噂］/，可提取有效部分为久力=闻匕-1,只要讨论觎部分g5=

闻匕-1的正负即可；在例题2中由匕=*［丁,可提取有效部分为9以3=北+a只要讨论有效部分

别9=北+3的正负即可.

【变式演练】

Q1已知函数/W=^n7/r+-l.(aeR)

(1)若不2,求曲线广仰8在点(1,/(D)处的切线方程；

⑵求例的极值和单调区间；

12

((w)已知函数《必=2ln〃+(a+3)无；36R.

(1)讨论函数八%的单调性；

素

题型二导函数有效部分可视为一次型

【典型例题】

01已知函数人%)=抽匕・、＞e北(aGR)Kdb-In;侪e,e为自然对数的底数.

(1)讨论f(力的单调性；

©2设函数八功户工^幺明，其中3WR.

⑴当320时，求函数九4的单调区间；

13

【提分秘籍】

在例题1中，做北=a-0,可提取有效部分为奂/二a・e北，可以看作一次型，类似一次型讨论方式

讨论奂切=a-y的正负；在例题2中外力=+T丁班，可提取有效部分为人心=a-1-而北,

可以看作一次型，只要讨论有效部分4M=a-1-3n"的正负即可.

【变式演练】

(1已知函数f(北4那+a北其中aeR.

(1)讨论函数人%的单调性；

02已知函数九/t北-北-aaeR).

Q

⑴若灰1,求函数九北在点(0/(。处的切线方程;

(2)讨论函数八%在区间(0,1)上的单调性.

导函数有效部分是二次型（可因式分解）

【典型例题】

Q1已知函数«助=费■咛$盼

（1）讨论人%的单调性；

事

（22已知函数九4>1该■力/g龙户"^・3.

⑴若曲线y=f（"）与曲线在它们的交点（1，处具有公共切线，求句6的值;

⑵当6=1・a且04时，求函数九才+6北的单调区间.

15

【提分秘籍】

讨论含参函数单调性问题时，求完导函数后，如果导函数是二次型，优先考虑是否可以因式分解，如例

题1：£(龙1二3北-Q+3除a=3(Jt-1)，在讨论正负的过程中，遵循三个原则：准则1：最

高项系数含参，从参数为0开始讨论；准则2：两根大小不确定，从两根相等开始讨论；准则3：判断两

根是否在定义域内.如例题1中从专:1=不3开始讨论。例题2中求导后・•・h成吟-a-

?二记有效部分为gC/8>3匕+a-1修-1),由

最高项系数含参数a,讨论时从50开始讨论，当aWO时，从-L-1=1开始讨论.

<1

【变式演练】

11已知函数人化上北-9-(3+31该

(1)当F0时，求函数尸(尤的极值；

(2)讨论函数/班的单调性.

已知函数g(x)=alnx+£(d+2”其中aGR.

⑴若直线"=/?(x)是曲线y=g(x的切线，求负数a的值;

(2)设f(M=9(才-h(».

(i)讨论函数尸(x)的单调性;

导函数有效部分是可视为二次型(可因式分解)

【典型例题】

©1已知函数/■(*)=必然-3(/+2x1a>0.

⑴讨论八M的单调性；

已知函数九如=花|该6北=（北+）4€北+珀£R）.

(1)求k功的最小值;

⑵若m>0,讨论4M在区间(m,+oo)上的单调性;

【提分秘籍】

讨论含参函数单调性问题时，求完导函数后，如果导函数是二次型，优先考虑是否可以因式分解，如例

题1：f(北=(北+'心-23,在讨论正负的过程中，f(北=(北+1(*・2a)的正负，可以看做式为

=(〃+?(〃-In2a)的正负等同，故为可视为二次函数型.解题时，依然遵循三个原则：准