2022版人教A版数学选择性必修第一册全册分课时教学案（共30课时）

第一章空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其线性运算

素养目标•定方向

课程标准学法解读

1.了解空间向量的概念.（数学抽象）

2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过

1.了解空间向量的概念.程.（逻辑推理）

2.掌握空间向量的线性运算.3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律.（数学运算）

4.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共

线、四点共面.（数学抽象）

必备知识•探新知

知识点1空间向量的概念

1.定义：在空间，具有一大小—和—方向.的量叫做空间向量.

2.长度或模：向量的一大小.

3.表示方法：

（I）几何表示法：空间向曷用—有向线段—表示:

（2）字母表示法：用字母。，儿c,…表示；若向量。的起点是A,终点是&也可记作后,

其模记为⑷或|矗I.

4.几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量一长度为3的向量叫做零向量.记为0

单位向量模为1的向量叫做单位向量

与向量。长度_相等—而方向.相反—的向量，叫做a的

相反向量

相反向量，记为一。

共线向量（平行向量）如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或

重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对

于任意向量m都有0〃。

相等向量方向三回一且模的向量叫做相等向量

思考1:单位向量都相等吗？

提示：不一定.单位向量的模虽然都为1,但是方向各异.

知识点2空间向量的线性运算

加法a-\~b=OA~\-AB=OB

空间向减法a-h=OA-OC=&

量的线

当2>0时，Aa=AOA=PQ：

性运算

数乘

当/V0时，)M=kOA=MN',

当4=0时，觞=0

交换律：a+b=b+a,

运算律结合律：a+(b+c)=(o+b)+c,2(/⑷=(M)a；

分配律：([+")。=&+偿1,2(a+b)=痴+必

思考2：怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？

提示：可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和.加法运算是对有限个

向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.

思考3：由数乘〃=0,可否得出2=0?

提示：不能.痴=0<=U=0或0=0.

知识点3共线向量

1.空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量。，力SWO）,的充要条件是存在实数九使得。=访.

2.直线的方向向量

在直线/上取非零向量如我们把一身向量a平行的非零向量—称为直线/的方向向量.

思考4：对于空间向量a,b,c,若。〃。且）〃c,是否可以得到。〃c?

提示：不能.若b=0,则对任意向量Q,c都有。〃b且b〃c.

思考5：怎样利用向量共线证明A,B,C三点共线？

提示：只需证明向量而不唯一）共线即可.

知识点4共面向量

1.共面向量

如图，如果表示向量。的有向线段方i所在的直线。4与直线/平行或重合，那么称向量。

平行于直线/.如果直线0A平行于平面a或在平面a内，那么称向量。平行于平面a.平行

于同一个平面的向量，叫做共面向量.

0A

2.向量共面的充要条件

如果两个向量m力不共线，那么向量p与向量。，b共面的充要条件是存在唯一的有序

实数对(x,y),使&=xa+vb.

思考6：空间中的两个向量是不是共面向量？

提示：是.空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个

向量.

关键能力攻重难

V

题型探究

题型一空间向量及相关概念的理解

典例1给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量

的模等于0;③在正方体中，病।与病i是相等向量；④在空间四边形A8CO

中，嬴与无)是相反向量；⑤在三棱柱ABC—AIiG中，与/Hi的模一定相等的向量一共有4

个.其中正确命题的序号为②③一.

［解析］①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一

定相等；

②正确，零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量；

③正确，病|与更।的模相等，方向相同；

④错误，空间四边形ABC。中，B与日)的模不一定相等，方向也不一定相反；

⑤错误，在三棱柱ABC—4囱G中，与筋।的模一定相等的向量是扇，嬴瓦)，CCi,

GC,一共有5个.

［规律方法］空间向量概念的辩析

(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；

(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1;

（3）两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量（非零向量）的模相

等是两个向量相等的必要不充分条件：

（4）由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的

模是可以比较大小的.

【对点训练】❶给出下列命题：

①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；

②若空间向量m）满足|。|=也|,则a=b；

③在正方体ABC。一481Gd中，必有就=A72I；

④若空间向量切，〃满足加=n，〃=p,则m=p；

⑤空间中任意两个单位向量必相等.

其中不正确的命题的个数是（C）

A.1B.2

C.3D.4

［解析］当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时,

它们的起点和终点均不一定相同，故①错；根据向量相等的定义知不仅需要模相等，而且需

要方向相同，故②错；根据正方体ABC。-4SGA中，向量/与4工|的方向相同，模也相

等，必有n=A；3,故③正确；命题④显然正确；空间中任意两个单住向量的模均为1,但方

向不一定相同，故不一定相等，故⑤错.

题型二空间向量的线性运算

典例2如图所示，在平行六面体ABCD-ABiGOi中，设京1=如嬴=4病

=c,M,N,尸分别是A4］,BC,Ci。的中点，试用a,b,c表示以不各向量：

®ACi；®AP；®A?N.

［分析］根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解.

［解析］①启产而+丽।+瓦3=布+筋।+病=。+》+仁

②A^>=A^+A心+况p=以l+Ab+3h=a+c+/

③屈7=启+而+的=一筋+赢+拘）=一。+6+%.

［规律方法］空间向量线性运算的技巧和思路

(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧

①巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵

活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算.

②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时，务必要

注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.

(2)化简空间向量的常用思路

①分组：合理分组，以便灵活运用三角彩法则、平行四边形法则进行化简.

②多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，

若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.

③走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).

【对点训练】❷(2020.山东浑坊学年高二期末)己知四棱锥P—ABCO的底面A8CO是平

行四边形，设属=mPB^b,PC=c,则访=(B)

A.。+力+cB.Q一方+c

C.a-\-b-cD.-a+b+c

［解析］如图所示,

四棱锥尸一ABC。的底面ABCD是平行四边形，萩=用PB=b,PC=c,则而=诙+病

=PA+BC=PA-V(PC-PB)=PA-PB-\-PC=a~b+c.故选B.

题型三空间共线向量定理及其应用

典例3如图所示，在正方体A8CO—4B1GO］中，点E在4。上，且证=

2历，点尸在对角线AC上，且布=滋.求证：E,F,8三点共线.

［分析］可通过证明辞与胡共线来证明E,F,B三点共线.

［证明］设赢=。，AD=b,AAi=c.

—►—►—>2—>

因为AiE=2EDi,Ai产=4尸C,

所以/(至=养小1,A^F=^A^C,

所以与2=51)=?,/hF=|(AC—AAi)

=1(AB+Ab-/L4i)=1a+|^—

———242

所以七?二4］/7—AIE=5”一诃6—5c

畏告一c).

又前=属1+/^+油=一多一c+a=a一全一c.

.,与=|函

又•・•际与诙有公共点£:・E,忆5三点共线.

［规律方法］1.判断向量共线的策略

(1)熟记共线向量充要条件：①a%,bWO,则存在唯一实数2使。=劝；②若存在唯一实

数2,使。=北，6W0,!?')a/7b.

(2)判断向量共线的关键是找到实数九

2.证明空间三点共线的三种思路

对于空间三点P、4、8可通过证明下列结论来证明三点共线.

⑴存在实数心使或=2而成立.

(2)对空间任一点O,有舁=苏+凝(f£R).

(3)对空间任一点0,有/=犬为+)，<而(x+y=l).

【对点训练】❸如图所示，ABC。一ABE尸都是平行四边形，且不共面，M、N分别是

AC.的中点，判断无与加是否共线？

［解析］M.N分别是AC、B尸的中点，而四边形48c。、ABE尸都是平行四边形,

.,.加=总+而+丽=知+石+期.

又'：MN=MC+CE+EB-\-BN

=-^CA-\-CE-AF-^FBt

：^CA+Ar^FB=-^CA-\-CE-AF-^FB.

••6=游+2万+施=2必+能+而.

：.盘=2亦,.\CE//MN,即无与加共线.

题型四空间向量共面定理及其应用

典例4已知A,B,C三点不共线，平面ABC外的一点M满足曲=/^+；加

1f

+种

(I)判断诂，而，灰:三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内.

［分析］要证明三个向量说1,」而，血共面，只需证明存在实数x,»使诙=砺+,庆,

证明了三个向量共面，即可说明点M就在平面内.

［解析］⑴因为砺=扬+颍+舒乙

所以6而=3后+2协+衣，

所以3—一3而=(2原-2加)+(而一女)，

因此3忘=2^/+屈=-2流一证.

故向量而，MB,血共面.

(2)由(1)知向量而，诵,血共面，三个向量又有公共点M,故W,A,B,C共面，即

点M在平面A8C内.

［规律方法］1.证明点P在平面A8C内，可以用力=.届+)点2,也可以用

+yAC,若用5>=x5X+y5h+z沆，则必须满足x+y+z=l.

2.判定三个向量共面一般用p=m+yb,证明三线共面常用力=大赢+)公，证明四点共

面常用作=工万1+)扇+z向其中x+)，+z=1).

【对点训练】❹正方体ABCD-ABiGDi中,M、N、P、。分别为点。i、DiCi、AAi>

CG的中点，用向量方法证明M、N、P、。四点共面.

［解析］令加i=a,求|=瓦万b=c,

•：M、N、P、Q均为棱的中点，

.\MN=^b—^a,前＞=而|+箱＞=%+5,

血=屈］+比1+演=-%+5+%.

令顺=刀麻+"两，则

-5+6+%=/-碗+如+%。，

r\1

抑T)=一£

2=2

，VzA=1

11

I为=5

：.MQ=2MN+MP,因此向量被、MN.而共面,

，四点M、N、尸、。共面.

V

易错警示

混淆平面向量与空间向量致错

典例5已知非零空间向量ei，62不共线，如果赢=ei+e2,Ac=2ei+8e2,AD

=3ei-3e2,那么下列结论正确的是（B）

A.A,B,C,。四点共线

B.A,B,C,。四点共面

C.A,B,C,。四点不共面

D.无法确定

［错解］:俞=ei+e2,位:+病=5的+562=5前,

...A,B,C,。四点共线.故选A.

［辨析］在平面向量中，若。=劝仍工0）,则。与方共线；在空间向量中，若。=劝+〃以。

与c不共线），则a,b,c共面.

［正解］由错解知初=版?+垣，则Q,AC,而共面.从而4,B,C,。四点共面.

1.1.2空间向量的数量积运算

素养目标•定方向

课程标准学法解读

1.理解空间两个向量夹角的定义.（直观想象）

2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律，会求空间

掌握空间向量的数量积运算.向量的数量积.（数学运算）

3.能够运用空间向量的数量枳解决夹角与距离问题.（数学

运算）

必备知识•探新知

知识点1空间向量的夹角

1.定义：已知两个非零向量。，4在空间任取一点0,作0B=b,则上A0昆

叫做向量。，力的夹角，记作（。，b）.

b

2.范围：0W(a,b).

特别地，当（a,b）=，时,a±b.

思考I：当（。，b）=0和〈a,b）=兀时，向量。与方有什么关系？

提示：当（a,b）=0时，。与b同向；当〈a,b}=兀时，。与白反向.

知识点2空间向量的数量积

己知两个非零向量a，b,则|a||b|cos〈a,b）叫做a,力的数量积，记作

定义即ab=一⑷也|cos〈a,b1—

规定：零向量与任何向量的数量积都为0

性质①。_LbO0b=0

@a-a=a1=\a\i

一①(痴)力=入3/)，2WR

运算律②。(交换律)

③<r(b+c)=4・5+a・c(分配律)

思考2：向量的数量积运算是否满足结合律？

提示：不满足结合律，36>c=a・(b・c)是错误的.

思考3：对于向量m乩若ab=k,能否写成。=/或方=，

提示：不能，向量没有除法.

知识点3向量a的投影

1.如图(1),在空间，向量Q向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平

移到同一个平面a内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量。共线的向量c,c=|a|cos(«,

by自，向量。称为向量a在向量力上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线/投影(如图

⑵).

2.如图(3),向量Q向平面夕投影，就是分别由向量a的起点A和终点8作平面0的垂线,

垂足分别为A',"，得到川飞'，向量A'为'称为向量。在平面“上的投影向量.这时，

向量aA'"h'的夹角就是向量。所在直线与平面£所成的角.

关键能力攻重难

题型探究

题型一求空间向量的数量积

典例1己知三棱锥O—ABC的各个侧面都是等边三角形，且棱长为2,点、M,

N,尸分别为A8,BC,CA的中点.试求:

0

(\)OAOB；(2)NPAB；

(3)5BAC：(4)OCMP.

［分析］求出每个向量的模及它们的夹角，然后按照数量积的定义求解，必要时，对向量

进行分解.

［解析］⑴殖痂=|alldhlcos(OA,0B)

=|而|而cosNAOB=2X2Xcos60。=2.

(2)NP-AB=\NP\\AB\cos(NP,AB}

=|布|而|cos180°=lX2X(-l)=-2.

(3)5B-AC=OB(OC-OA)=OB-OC-OB-OA

=2X2Xcos/8OC-2X2XcosN8QA=0.

―►—>—►I-►

(4)OCMP=OC・］BC

=^OCBC=^OC^OC—OB)

1-►A—►->1c

=2(OC2-OCOB)=2X(22-2)=1.

［规律方法］空间向量运算的方法与步骤

方法：(1)利用定义，直接利用。力=|。仙|cos〈*b}并结合运算律进行计算.

(2)利用图形，计篦两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻•找夹角，

再代入数量积公式进行运算.

(3)利用向量分解，在几何体中进行向量的数量积运算时，要充分利用几何体的性质，把

待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.

步骤：①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式；

②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积：

③代入。力=|a||b|cos〈a,b〉求解.

【对点训练】❶(1)已知a=3p—2q,》=p+q,p和g是相互垂直的单位向量，则ab

=(A)

A.1B.2

C.3D.4

(2)如图所示，正方体ABCO-AISGA的棱长为1，

求下列数量积：①赢・威产一1：

②施寿=0.

［解析］(2)①根据题意知，|靠|=1,|就I尸啦，(AB,BA1)=135。，所以Ak扇I=1X也

Xcos1350=-1；

②在正方体ABCD-AiBiCiDi中，

ABJ_BC,AfilCCi,

所以矗•BC\=AB\BC+CC\)

=ABRC-\-ABCC\=Q.

题型二利用数量积求夹角

典例2如图，在正方体ABCQ-ABiGOi中，求向量病i与战?的夹角的大小.

［分析］求两个向量的夹角，可以把其中一个向曷平移到与另一个向量的起点重合，从而

转化为求平面角的大小；也可以用两个向量的数量积定义=|o||b|cos(a,b),求出cos(a,

b)=箭的值，然后确定《a,b)的大小.

f解析］(方法1)因为筋1=汨1,所以NOiAC即为向量病1与n的夹角.

TT

因为△DAC为等边三角形，所以NO|AC=§,

即〈肥，AC)=小

所以向量肥与病的夹角为小

(方法2)设正方体的棱长为1,

则证i•危=屈+五)•(赢+诙)

=(AD+AAi)(AB-l-Ab)

=屈)•嬴+而F+忌.诵+忌.病

=o+|Ab|2+o+o=|Ab|2=1.

X|5C)|=V2,\AC\=y[2t

BCyAC_1_1

所以cos<BC1,AC)IBCillAa巾x巾爹

因为《曲，AC>e(o,利，所以(证i,AC>=字

所以向量记］与元的夹角为争

［规律方法］两个非零向量夹角求法的两个途径

(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解.

⑵利用数量积求夹角：运用公式cos〈％b〉=而进行求解.

【对点训练】❷(1)已知小b是异面直线，A,BGa,C,DGb,ACLb,BD上b,且

AB=2,CD=1,贝Um。所成的角是60。

(2)LA知空间四边形OA3C各边及对角线长都相等，E,尸分别为AB,OC的中点，则向量

2

0E与向量BF夹角的余弦值为・

-3_

［解析］⑴AB=AC+CD+DB,

所以诙・矗=诙•(启+诙+丽)

=icb|2=i,

所以cos(CD,AB)=°。*3=/

\CD\\AB\

所以异面直线出b所成角是60。.

(2)设OA=a,OB=b,OC=c且⑷=|6|=|c|=1,

易知NAOB=ZBOC=NA。。/

则ab=bc=ca=^.

因为无=T(a+协)=；(a+b),

BF=OF-OB=jOC-OB=^c-b,

|西=|两=坐,

所以无•泳=T(a+5)•(5—力)

设无与际的夹角为仇

八OEBF22

COS__-h_§•

\OE\\BF]竽X孚

所以向量既与向量而夹角的余弦值为一|.

题型三空间向量数量积的应用

角度I利用数量积证明空间中的垂直关系

典例3已知三棱锥。一A3C中，ZAOB=ZBOC=7AOC,且OA=OB=

OC.M、N分别是04、8c的中点，G是MN的中点，求证：OG_LBC.

I分析］要证。G_L8C,只要证db•正=0,关键是把布、病用一组基向量万LOB.0C

表示出来.

f解析］如图所示，连接0M设NA08=/B0C=NA0C=仇

又设后=a,OB=b,OC=c,则闷=|例=|c|,

.,•a-b=b-c=a-c

=|d|2cos0,

又05=今而+丽

11-if-1

=]50A+g(0B+0C)]=w3+b+c).

BC=c—b,

，历反=；3+b+c)(c—b),

=^(ac—ab—b2+c2)=O.

，OG_L6c.

［规律方法］证明两直线垂直，求两直线夹角，其关键环节都是取两直线的方向向量，将

其用一组容易求数量积的不共面向量线性表示，证明两直线垂直，即证两直线方向向量的数

量积为0：求两直线夹角利用两向量的夹角公式求解，需注意两向量夹角范围是［0,nl.

【对点训练】❸已知空间四边形OA8C中，M、N、P、Q分别为BC、AC.OA.的

中点，若48=。。，求证：PMA.QN.

［证明］

如图，设a=%OB=b,OC=ct

又尸、M分别为OA,8C的中点.

=1[(Z>-a)+c].

同理，丽=g(a+c)—上

=—^[(b—a)—c].

・•・丽丽=_加一d_|响,

又A5=OC,即|b-a|=|c|.

：,PMQN=0.

J.PMLQN,即PMLQN.

角度2利用数量积求距离

它的对角线AC将△AC。折起，使A8与CO成60。角，求此时8,。间的距离.

BC

［解析］因为NACO=90。，所以北•丽=0,同理可得公•荡=0.因为4B与CO成60。

角，所以〈函，CD>=60。或（就，CD）=120°.

又病=屈十危十而，

所以|砺F=|函F+I而2+|诙F+2函•危+2函•诙+2Abdb=3+2X1X1Xcos〈函，

CD）.

所以当〈筋，CD>=60。时，访|2=4,此时8,。间的距离为2；当（丽，CD}=120°

时，|砺产=2,此时艮D间的距离为班.

［规律方法］用数量积求两点间距离的步骤

（1）用向量表示此距离.（2）用其他向量表示此向量.（3）用公式。。=闻2,求同.（4）⑷即为

所求距离.

【对点训练】❹

如图，已知一个60。的二面角的棱上有两点A,B,AC,BO分别是在这两个面内且垂直于

AB的线段.又知AB=4,AC=6,BO=8,求CO的长.

［解析］因为G4_LAB,BDLABt

所以〈为，丽〉=120°.

因为嘉+丽，且不•矗=0,丽•赢=o,

所以1诙|2=|资产+而F+|砺F+2近•丽

=|CA|2+|AB|2+|B£)|2+2|CA||fib|cos(CA,BD>

=62+42+82+2X6X8xf-^=68,

所以|诙|=2、由，故CD的长为2行.

V

易措警示

忽视向量方向，造成错误角度

典例5（2021•山东潍坊检测）如图所示，在空间四边形ABCD中，每条边的长

度和两条对角线的长度都等于1，M,N分别为4B,A。的中点，则而比=一公

［错解］NBDC是访与比的夹角，从而加.比=：cos60°=1.

I辨析］向量的夹角定义中，必须把两向量平移至有公共起点，如图所示，N4O8是宓与

油的夹角，而历与为的夹角为NAOB的补角.

［正解］MNDC=^Sb-DC=^Sb\\DC\cQS〈访，DC>=|cos1200=-1.

1.2,空间向量基本定理

素养目标•定方向

课程标准学法解读

1.掌握空间向量基本定理.（数学抽象）

1.了解空间向量基本定理及其意义.

2.了解空间向量正交分解的含义.（数学抽象）

2.掌握空间向量的正交分解.

3.会用空间向量基本定理解决有关问题.（逻辑推理）

必备知识•探新知

知识点1空间向量基本定理

如果三个向量。，b,C—不共面—,那么对任意一个空间向量P，存在唯一的有序实数组

（x,y,z）,使得0=m+yb+zc.

我们把｛。，b,cl叫做空间的一个_基底.，a,b,。都叫做基向量.

思考1：零向量能否作为基向量？

提示：不能.零向量与任意两个向量a,b都共面.

知识点2空间向量的正交分解

1.单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量一两两垂直且长度都是那么这个基底叫

做单位正交基底，常用{i,j,A}表示.

2.向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量。，均可以分解为三个向量与，)力zA使得〃

=与+力+z/L像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交

分解.

知识点3证明平行、共线、共面问题

(1)对于空间任意两个向量小帅K0),。〃力的充要条件是存在实数九使4=劝一.

(2)如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量°,力共面的充要条件是存在唯一的有

序实数对(%,y),使D=xa+vb.

思考2：怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？

提示：平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.

知识点4求夹角、证明垂直问题

(1•h

(1)。为a,方的夹角，则cos夕=1^|诵_.

(2)若a,b是非零向量，则a»=0.

思考3：怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？

提示：几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范

围.

知识点5求距离(长度)问题

\a\=yfah(\AB\='赢.赢).

思考4：怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？

提示：几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得.

关键能力攻重难

V

题型探究

题型一基底的判断

典例1⑴设x=a+5,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底，

给出下列向量组：①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},®{x,y,a+b+c}.其中可以

作为空间一个基底的向量组有(C)

A.1个B.2个

C.3个D.4个

(2)已知｛el,62,63｝是空间的一个基底，且51=ei+2e2-e3,彷=-3ei+02+203,0C=

ei+e2-63，试判断｛—,OB,5H能否作为空间的一个基底.

(I)如图所示，令。=人8,b=AA\tc=AD,

则y=AD\,z=AC,o+b+c=AG.

由于4,Bi,C,Di四点不共面，可知向量工，y,z也不共面，

同理b,c,z和x,j,a+b+c也不共面，由于A,B,B\,4四总共面知a,b,工共面,

故选C.

(2)设。入=xO5?+yOt\则g+2e2—e3=x(-3ei+e2+2e3)+y(ei+e2—03),

即ei+2ei—C3=(y-3x)ei+(x+y)e2+(2x—y)ea,

。-3x=l,

•lx+)，=2,此方程组无解.

2LY=-1,

即不存在实数x,y,使得晶=x3h+y灰t,

所以而1,OB,女不共面.

所以｛晶，次,也:｝能作为空间的一个基底.

［规律方法］判断基底的基本思路及方法

(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能

构成基底.

(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的

向量线性表示，则不能构成基底.

②假设a=M+4C,运用空间向量基本定理，建立2,"的方程组，若有解，则共面，不

能作为基底；若无解，则不共面，能作为基•底.

【对点训练】❶若｛m"c｝是空间的一个基底，试判断(a+b,b+c,c+a｝能否作为

空间的一个基底.

［解析］假设。+b,0+c,C+Q共面，则存在实数九使得。+方=4(D+c)+"(c+a),

即。+方=〃。+劝+(2+4)c.

V｛«»b,c｝是空间的一个基底，力，c不共面.

1=〃，

l=A,此方程组无解.

、0=2+",

即不存在实数2,",使得a+b=2S+c)+4(c+。),

,\a~\-b,>+c,c+a不共面.

故｛a+b,b+c,c+a｝能作为空间的一个基底.

题型二用基底表示空间向量

典例2

如图所示，四棱锥。一04BC的底面为一矩形，。。_1_平面0A4C,设晶=“，OC=b,OP

=c,点E,尸分别是尸C,尸B的中点，试用a,b,c表示：BF,BE,危，EF.

利用图形寻找待求向利用向量运_直至向量用

［分析］

最与a,b,c的关系算进行拆分a，b,。表示

［解析］

连接B0,则泳=颉』/筋+而）=g（c—》一。）=一%一与十%.

AE=AP+PE=AO+OP-\-^P()+OC)

EF=^CB=^OA=^a.

［规律方法］用基底表示空间向量的解题策略

1.空间中，任一向量都可以用一个基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.

2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、

三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.

3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作

为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三

条棱所对应的向量作为基底.

【对点训练】❷如图，平行六面体ABCD-AiBiCiDi中，AB=a,AD=btAAi=c,E

为的中点，尸为8G与3c的交点.

（1）用基底｛。，b,c｝表示向量法BE,AF；

（2）化简£51+方h+db,并在图中标出化简结果.

［解析］⑴防尸比+而1=&+说1一谎=。一。+c.

诟=函+启+在

=-a+）+c.AF=AB+BF

=a+3（A+c）=a+，+；c.

⑵丽+加+诙=丽+（而+曲

=DD\^CB=DDy+D^A\=DAy.

如图，连接。Ai,则应1即为所求.

题型三空间向量基本定理的应用

角度1利用空间向量基本定理证明位置关系

典例3如图，在正方体ABC。-中，E,产分别是的中点,

求证：EFVAB\.

［证明］设赢=。，AA\=b,AD=c,

则际=函+而力=力丽+瓦加

I-A—>I—►-A—>I-►-A-A-A—►

=5(/L4I+8D)=E(/UI+AO—AB)=5(—a+b+c),AB\=AB-\-BB}=AB-\-AAi=a+b.

所以就丽=1(-a+b+c).(a+b)=/|bF一同2)=o所以加工通l,即ML®

角度2求距离、夹角

典例4如图，在平行六面体ABCO-A由iGG中，以顶点4为端点的三条棱

长度都为1,且两两夹角为60。.

(1)求AG的长；(2)求BDi与4C所成角的余弦值.

［解析］⑴设赢=a,AD=b,AA\=c,则|a|=|b|=|c|=l,〈°,b>=c〉—〈c,a)

=60°,

所以ab=bc=ca=2-

总］|2=3+6+。)2=/+〃+/+23/+6七+。4)=1+1+1+2乂6+/+?=6,

所以照i|=#,即AG的长龙

(2)诟i=b+c-a,启=。+瓦

所以|由i|=&，|成］=小，

BD\AC=(b-^-c—a)(a-}-b)=b1—a2-}-ac+bc=1.

所以cos向,AC>=&之=*.

IBD1IIAQ

所以4c与BDi所成角的余弦值为平.

［规律方法］应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面

直线所成的角等.

首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量

表示.

(I)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0.

(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线.

(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角).

【对点训练】❸在棱长为2的正方体A6cO—4BIG£)I中，E,F分别是OOi，的

中点，点G在棱CD上，且CG=(CD.

(1)证明：EFLBxCx

(2)求E尸与GG所成角的余弦值.

［解析］(1)证明：设屈=i,DC=j,向=匕则｛i,j,A｝构成空间的一个正交基底.

>>>］1..111...

所以七尸=七。+£)尸=—/+2(£)4+48)=5力+^/—/,BiC=BiB+BC=-i—k,

所以译•屈”&+斗一切(T-A)

=一%+刎2=0所以E尸1BC.

(2)解:6=3+多―/，命=•+历=-―］，I的2=件+'一权)2+铲+加2+加2

.邛,

力《G

Acos<EF,C^G)

\EF\\C^G\

_(*•+*一加q_而

~小X平一呼15

:・EF与CiG所成角的余弦值为卷.

1.3左间向量及其运算的生标表示

1.3.1空间直角坐标系

素养目标•定方向

课程标准学法解读

1.了解空间直角坐标系.1.了解空间直角坐标系的建系方式.(直观想象)

2.会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(直观

想象)

3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐

标作出点.(直观想象)

必备知识•探新知

知识点1空间直角坐标系

1.空间直角坐标系及相关概念

(I)空间直角坐标系：在空间选定一点0和一个单位正交基底｛i,J，曷，以。为原点，分

别以i,左的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴.它

们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个一空间直角坐标系。rvz.

(2)相关概念：。叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量，通过—每两个坐标轴—的平面

叫做坐标平面，分别称为Qxv'叱面、Ovz平面、Ozr平面,它们把空间分成八个部

分.

2.右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向的正方向，食指指向y轴一的正方向,

如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.

思考1：空间直角坐标系有什么作用？

提示：可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化.

知识点2空间-点的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,左为坐标单位向量，对空间任意一点A,对应一个向量

0A,且点A的位置由向量