乘法公式（第1课时）（课件）七年级数学下册（苏科版2024）

8.4乘法公式（1）第1课时完全平方公式学习目标1.能推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；2.通过几何图形面积的计算，了解乘法公式的几何意义，感悟数形结合的思想.知识回顾如何进行多项式乘多项式的运算？知识回顾多项式乘多项式的运算法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.(a＋b)(c＋d)ac＋ad＋bc＋bd知识回顾计算：(1)(a＋b)(a＋b)；

(2)(mn－3)(mn－3).解：(1)(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ba＋b2＝a2＋2ab＋b2；(2)(mn－3)(mn－3)＝m2n2－3mn－3mn＋9＝m2n2－6mn＋9.问题情境如何计算下图的面积？

如果把图看成一个大正方形，那么它的面积为__________.(a＋b)2

如果把图看成由2个小长方形和2个小正方形组成的，那么它的面积为______________.a2＋2ab＋b2两个代数式之间有何关系？baba讨论与交流(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2你能从运算的角度说明这个等式成立吗？(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ba＋b2＝a2＋2ab＋b2.多项式乘多项式法则合并同类项尝试与交流解法1：(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ba＋b2＝a2－2ab＋b2.计算：(a－b)2.解法2：(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2·a·(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.归纳与总结完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.记忆口诀：首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方.讨论与交流完全平方公式有什么特点？（1）两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅差一个“符号”不同；（2）公式的右边都是二次三项式，其中两项是公式左边二项式中每一项的平方，简称“平方项”，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者仅差一个“符号”不同.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.例题讲解

例1用完全平方公式计算：(a＋b)2(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2解：(1)原式＝52＋5·3p2×＋(3p)2＝

25＋30p＋9p2；例题讲解

例1用完全平方公式计算：(a－b)2(a－b)2＝a2－2ab＋b2解：(2)原式＝(2x)2－2·2x·7y＋(7y)2＝4x2－28xy＋49y2；例题讲解

例1用完全平方公式计算：(a－b)2(a－b)2＝a2－2ab＋b2解：(3)原式＝(－2a)2－2·(－2a)·5＋52＝4a2＋20a＋25.还有其他计算方法吗？例题讲解

例1用完全平方公式计算：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2解：(3)原式＝[－(2a＋5)]2＝(2a)2＋2·2a·5＋52＝4a2＋20a＋25.其实(－2a－5)2与(2a＋5)2相等，先变形再化简会更方便.＝(2a＋5)2新知巩固1.下面的计算是否正确？如有错误，请改正.(1)(x＋y)2＝x2＋y2；(2)(－x－y)2＝－x2－2xy＋y2；××x2＋2xy＋y2x2＋2xy＋y2(3)(－m＋n)2＝－m2＋n2.×

(－m＋n)2＝(－m)2＋2•(－m)•n＋n2＝(－m)2＋2•(－m)•n＋n2新知巩固2.用完全平方公式计算：(1)(1＋x)2；

(2)(y－3)2；y2－6y＋91＋2x＋x2(3)(－3x＋2)2；

9x2－12x＋4

例题讲解例2用完全平方公式计算：

(1)1992；解：(1)1992＝(200－1)2＝2002－2×200×1＋12＝40000－400＋1＝39601；

(2)2012.(2)2012＝(200＋1)2＝2002＋2×200×1＋12＝40000＋400＋1＝40401.新知巩固用完全平方公式计算：(1)1022；

(2)1972.解：(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10000＋400＋4＝10404；(2)1972＝(200－3)2＝2002－2×200×3＋32＝40000－1200＋9＝38809.探究与思考1.一个奇数的平方一定是奇数吗？请说明理由.解：设这个奇数为2n＋1(n为整数)，则(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1＝2(2n2＋2n)＋1.∵n为整数，∴2n2＋2n为整数，∴2(2n2＋2n)＋1为奇数，∴(2n＋1)2为奇数.∴一个奇数的平方一定是奇数.探究与思考2.计算（a＋b＋c)2解：（a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2+2·(a＋b)·c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.把a＋b看成一个整体.还有其他算法吗？例3用不同的代数式表示图中草坪的面积.由此，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立.解：观察图形可知，S＝20×20－2a×20＋a2＝400－40a＋a2，将图中的两条路平移至两边后，可得S＝(20－a)2，∴

(20－a)2＝400－40a＋a2.拓展与提高拓展与提高例4已知m＋n＝8，mn＝6，求m2＋n2，(m－n)2

.解：因为m＋n＝8，mn＝6，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝82－2×6＝52，(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝82－4×6＝40.拓展与提高常见的完全平方公式的变形：

完全平方公式变形(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)(a－b)2＝a2－2ab＋b2①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab完全平方公式的特点完全平方公式的几何意义课堂总结完全平方公式的运用当堂检测基础过关1.计算：

(1)(2a＋3b)2；

(2)(2x－5y)2；

4a2＋12ab＋9b2

4x2－20xy＋25y2

x2＋4xy＋4y2当堂检测2.填空：(1)(a＋_____)2

＝a2＋4ab＋4b2；(2)(2a＋____)2

＝4a2＋4ab＋b2；(3)(3x－____)2

＝9x2－12xy＋_____；(4)(－x－___)2

＝x2＋____＋1.2bb2y4y212x基础过关3.边长为am(a＞6)

的正方形花圃，如果边长减少6m，那么花圃的面积减少了多少？6cm6cma当堂检测解：a2－(a－6)2＝a2－(a2－12a＋36)＝a2－a2＋12a－36＝(12a－36)m2.答：花圃的面积减少了(12a－36)m2.基础过关当堂检测能力提升1.已知(y＋a)2＝y2－8y＋b，那么a，b的值分别为(

)A．4，16 B．－4，－16C．4，－16 D．－4，16D当堂检测能力提升2.小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果是4x2＋

＋25y2，但中间一项不慎被污染了，这一项应是()A.10xyB.20xyC.±10xyD.±20xyD当堂检测能力提升3．若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为_______．4ab

145．若a＋b＝3，ab＝2，则a－b＝_____．±1当堂检测能力提升6.先化简，再求值：(x－1)(3x＋1)－(x＋2)2＋5，其中x2－3x－1＝0.解：原式＝3x2＋x－3x－1－x2－4x－4＋5＝2x2－6x.因为x2－3x－1＝0，所以x2－3x＝1.所以原式＝2(x2－3x)＝2×1＝2.当堂检测能力提升7．已知a＋b＝8，ab＝3，求(a－b)2的值．解：(a－b)2

＝(a＋b)2－4ab

＝82－4×3

＝52.当堂检测能力提升8.图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．按要求填空：①图②中阴影部分正方形的边长等于________．①②mnnmmmnnm－n当堂检测能力提升8.图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．方法1：________________；方法