2021北京师大附中高一10月月考数学(教师版)

2/22021北京师大附中高一10月月考数学一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。从每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）满足，2，的集合共有A．6个 B．7个 C．8个 D．15个2．（5分）设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为A． B． C． D．3．（5分）命题“，使得”的否定是A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得4．（5分）设，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知集合，1，，，0，，若，则等于A．或3 B．0或 C．3 D．6．（5分）已知函数，则（1）A． B．2 C．1 D．57．（5分）已知两个正数，，满足，则的最小值为A．3 B．6 C． D．8．（5分）已知，，，，则下列命题中一定成立的是A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．，则9．（5分），不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．10．（5分）已知全集，，，，，，，则集合为A．，2， B．，2， C．，2， D．，2，4，

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）因式分解：．12．（5分）函数的定义域为．13．（5分）已知，则．14．（5分）方程组的解集为．15．（5分）定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，．当，时，的值域为．（1）．（2）集合中元素的个数为．三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．已知全集，集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．17．已知，是方程的两个实数根，且．（1）求值；（2）求的值．18．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？

19．已知关于的不等式．（1）当，，时，求该不等式的解集；（2）从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集．①，，；②，，．20．对于集合，，，，定义，，用表示有限集所含元素的个数，则．已知全集，2，3，，，集合．（1）若，，求（A），；（2）是否存在集合同时满足条件（A）和（A）．若存在，请求出所有满足条件的集合；若不存在，请说明理由；（3）请直接写出同时满足条件（A）和（A）的一个集合．

参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。从每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．【分析】由题意得到集合为，2，的子集，个数为．【解答】解：，2，，集合为，2，的子集，集合的个数为．故选：．【点评】本题考查了集合子集的个数问题，对于有个元素的集合，其子集有个，属于基础题．2．【分析】利用不等式的解法化简集合，求出，可得图中阴影部分表示的集合为【解答】解：，，则图中阴影部分表示的集合为．故选：．【点评】本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，所以命题：，使得”的否定是，使得．故选：．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4．【分析】先求出不等式的解，再根据能推出或，但由或不能推出，利用充要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由得或，解得或，而由能推出或，但由或不能推出，故“”是“”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及充分条件，必要条件的判断，小范围能推大范围，大范围不能推小范围是解题的关键，属于基础题．5．【分析】根据即可得出，解出，并检验是否满足集合元素的互异性即可．【解答】解：，解得，或3，不满足集合元素的互异性，应舍去，．故选：．【点评】考查列举法的定义，集合相等的定义，以及集合元素的互异性，属于基础题．6．【分析】根据分段函数的解析式，直接把代入即可求解．【解答】解：，（1），则（1），故选：．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．7．【分析】由均值不等式即可解决．【解答】解：，，，又，，当且仅当，时，取得最小值6．故选：．【点评】本题考查基本不等式的应用，属于容易题．8．【分析】由不等式的性质及特值法逐一判断即可．【解答】解：对于，，，取，，，则，故错误；对于，若，则，所以，故正确；对于，若，，取，，，，则，故错误；对于，若，则，故错误．故选：．【点评】本题主要考查不等式的基本性质及特值法的应用，考查逻辑推理能力，属于基础题．9．【分析】由题意首先分离参数，然后求得函数的最值即可确定实数的取值范围．【解答】解：不等式即：在区间上恒成立，注意到，由可知，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，据此可得，结合恒成立的结论可知．故选：．【点评】本题主要考查恒成立问题的处理方法，基本不等式求最值的方法等知识，属于基础题．10．【分析】求出全集，画出图，利用数形结合即可求解，【解答】解：，2，3，4，5，6，，根据题意，得到如图所示的韦恩图，，2，．故选：．【点评】本题考查的知识点是图表达集合的关系及运算，属于基础题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．【分析】可以通过配方法和完全平方公式和平方差公式，可得所求．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查因式分解的方法，考查转化思想和运算能力，是一道基础题．12．【分析】可看出，要使得函数有意义，则需满足，解出的范围即可．【解答】解：要使有意义，则：；，或；的定义域为，或．故答案为：，或．【点评】考查函数定义域的概念及求法，分式不等式的解法．13．【分析】设，则，代入式子即可求出函数解析式．【解答】解：设，则，，为，，故答案为：，【点评】本题考查了换元法求解解析式的方法，难度不大．14．【分析】由题意可得，，即，代入方程，即可求解．【解答】解：由题意可得，，即，又，，解得或，当时，，当时，，故方程组的解集为，，，．故答案为：，，，．【点评】本题主要考查方程的求解，考查计算能力，属于基础题．15．【分析】（1）利用题中的定义求解即可；（2）先求出，进一步求出，设集合中元素的个数为，求出，然后求解即可．【解答】解：（1）则；（2）由题意可知，，则，所以在各个区间中的元素个数为1，1，2，3，4，，，设集合中元素的个数为，则，故集合中元素的个数为．故答案为：（1）10；（2）46．【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．【分析】（1）可求出，时求出集合，然后进行交集和补集的运算即可；（2）根据可得出，然后可讨论是否为空集：时，；时，，然后解出的范围即可．【解答】解：（1）当时，，，，，，，，；（2），，①时，，解得；②时，，解得；综上所述，的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、并集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．17．【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△，从而求出实数的取值范围，再利用根与系数的关系，．即，即可得到关于的方程，求出的值．（2）根据（1）即可求得与的值，而即可求得式子的值．【解答】解：（1），是方程的两个根，，，，，解得，，当时，△，不合题意当时，△，符合题意，的值为；（2），．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系的简单应用，属于基础试题．18．【分析】先利用待定系数法求出和关于的函数解析式，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：依题意，设，，其中，是比例系数，在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，，，，，，，其中，两项费用之和，当且仅当，即时，等号成立，故这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，以及利用基本不等式求函数的最值，是中档题．19．【分析】（1）当，，时不等式为，求出解集即可；（2）若选①，，，不等式为，即，对两根进行讨论求出解集即可；若选②，，．不等式为，分和，三种情况讨论求出解集即可．【解答】解：（1）当，，时不等式为，可化为，解得，所以不等式的解集为；（2）若选①，，，不等式为，即，当时，不等式解集为或，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或，若选②，，．不等式为，当时，，不等式解集为，当时，不等式可化为，当时，不等式解集为或，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，综上所述：当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或．【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．20．【分析】（1）直接按照定义求解；（2）依照定义分五种情况分析，可得结论；（3）直接按照定义写结果．【解答】解：（1）若，，则（A），；（2）因为，所以当时，若（A），则（A），所以可能，，，，，，，，而，当，，，，，时，（A），，所以（A），不满足（A）；当时，若（A），则（A），所以可能，，，，，，，，，，而，，当，，，，，时，（A），，所以（A），不满足（A）；当时，若（A），则（A），所以可能，，，，，，，，，，而，当，，，，，