数学-浙江省金色阳光联盟适应性考试试题和答案

金色阳光—2024—2025学年高三适应性考试注意事项：1.若集合A={x|0≤x≤4},B={x|x≥2},则AUB=A.{x|2≤x≤4}C.{x|x≥0}3.已知向量a=(0,-2),b=(1,1),若(a-λb)⊥(a+2b),则λ=4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足4c²+a²=b²,则△ABC的形状为A.直角三角形B.钝角三角形 C.锐角三角形D.等腰三角形5.将3个1和2个0随机排成一个五位数，则2个0不相邻的概率为ABC.口AA.BC.口A.a₂>a1B.aA>a₂C.a₂>08.若函数f(x)满足对任意n∈N°,恒有f(n)≥2n,且f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy,则的最小值是A.408B.4009.下列说法正确的是B.若随机变量X～N(1,o²),则P(X<0)=P(X>2)D.数据1,2,5,7,9,11的上四分位数是910.若方所表示的曲线为C,则下列说法正确的是A.若t=2,则曲线C的长度为2π11.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点，点P在C的准线A.C.|AF|+4|BF|的最小值为10D.若PA与C相切，则PB也与C相切13.已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半，侧棱长为2,过侧棱中点且平行于截面的边长为3,则正三棱台的体积为▲14.已知函数f(x)=x²+3x-4,设曲线y=f(x)在点(an,f(an))处的切线与x轴的交点为零点,则数列{b,}的前n项和S,=·四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)(1)求角A的大小；(2)若BC边上的高为3,求△ABC面积的最小值.16.(15分)(2)当点P到直线BD的距离为√3时，求PD与平面ABC所成的角.17.(15分)甲、乙两人进行投篮比赛，有两种投篮方式：方式一，投两分球3投三分球2次，进一球积3分.甲和乙投进两分球的概率分别为,投进三分球的概率千,且两人投篮互不影响.先上场者可以任意选择一种投篮方式，后上场者只能选择另一种投篮方式，最终积分高者获胜.已知两人都会优先选择理论上平均积分更高的投篮方式.(1)试判断甲、乙两人会分别优先选择何种投篮方式；(2)现在由裁判随机选择上场顺序，在最终结果为甲获胜的条件下，求乙以一分之差惜败的概率.【高三数学第3页(共4页)】18.(17分)已知函数f(x)=logax(a>1),g(x)=x⁴(0<b≤1).(1)直接判断log₂3与3的大小关系；(2)若V1<a≤e,函数y=f(x)与y=g(x)有且仅有两个交点，求b的取值范围.(3)若a=2:,求出函数y=f(x)与y=g(x)的交点个数.19.(17分)设集合A={1,q,q²,…,q"-¹},其中n∈N°,q≥2且q∈N*,将A中每个子集的元素和按照不减的顺序排列(空集的元素和记为0),可以得到一组整数b₁,b₂,b₃,…,b₂,其对应的子集分别为B₁,B₂,B₃,…,B₂,并定义b;=Sp,,1≤i≤2”.(1)若q=2.数学参考答案1.C由题意可得AUB={x|x≥0},故选C.解法二：因为z=(-2-i)(1+i)=-1-3i,所以z·≈=|≈l²=10,故选A.故4-2(2-λ)-4λ=-2λ=0,解得λ=0,故选B.2b)=-2λ=0,解得λ=0,故选B.4.B由余弦定理得4c²+a²=b²=a²+c²-2accosB,化简得3c²=-2accosB>0,故cosB<0,从而△ABC的形状为钝角三角形，故选B.5.C将3个1和2个0随机排成一行，可利用插空法.首先万位必须是1,则余下的2个1产生3个空，若2个0相邻，则有3种排法；若2个0不相邻，则有C³=3种排法.故2个0不相邻若n为奇数，则q”-¹>0,可得q²-1>0,所以q<-1.因此不存在q<0满足an+2>an成立.对于B,因为a₁>a₂,所以a₁q(q²-1)对于D,因为az=a₁q>2a₁,由a₁>0得q>2,8.A因为f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy,所以f(x+y)-2(x+y)²=f(x)-2x²+f(y)-2y²设g(x)=f(x)-2x²,那么g(x+y)=g(x)+g(y),因此g(n)=g(n-1)+g(1)=g(n-2)+g(1)+g(1)=g(n-2)+2g(1)=…=g(2)+(n-2)g(1)=ng(1)=n[f因此f(n)=2n²+[f(1)-2]n≥2n,取n=1,得到f(1)≥2,所,所的最小值是408,故选A.D选项：6×0.75=4.5,上四分位数是第5个数，故D选则c²=(t-1)-(3-t)=2t-4,从而焦距为2c=2√2t-4.11.ABD对于A,由题意得,所I,故即，对于D,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),依题意可得过点A,B的抛物线的切线不与坐标轴垂直，不妨设过A(x₁,y₁)的抛物线的切线方程为x-x₁=m(y-y₁)所以△=16m²+16x₁-16my₁=0,又y²=4x₁,整理得,解得同理可得过B(x₂,y₂)的抛物线的切设直线AB的方程为x=ty+1(t≠0),由得y²-4ty-4=0,所以yiy₂=-4,所以xo=-1,即两切线的交点Q在抛物线的准线上，对于B,设AB的中点为D,由y₁+y₂=4t,得x₁+x₂=ty₁+ty₂+2=4t²+2,所以点D到准线的距离12.80展开项的通项公式为r=0,1,2,3,4,5,令,解得r=2,所以T₃=(-1)²2⁵-2C³x题意知三棱台的上底面边长为2,则下底面边长为4,由题得正三棱锥的侧棱长为4,过点O作OP⊥平面ABC,交平面A₁B₁C₁于点E,底面顶点A到底面中心P的距离为所以x²项的系数为80.14.2;2”-1因为f(x)=x²+3x-4,所以f'(x)=2x+3.因为f(a)=a2+3a,-4,f'(a,)=2a,+3,所以曲线y=f(x)在点(a,,f(an))处的切线方程为y-(a²+3a,-4)=(2a²+3)(x-a).令y=0,得,即因为,所以7a²-16a₁+4=(7a₁-2)(a₁-2)=0.因为f(x)=x²+3x-4=(x+4)(x-1),所以x₁=1,xz=-4,所以所以由正弦定理可得(a+b)(b-a)=c(b-c),整理得b²+c²-a²=bc,…………由余弦定理可得又因为A∈(0,π),所以.……………6分(2)因为BC边上的高为3,所以又因为,所以bc=2√3a.……9分由(1)知b²+c²-a²=bc,所以(b-c)²=a²-bc=a²-2√3a≥0,所以PB=√PA²+AB²=2,同理得PC=√PA²+AC²=2√7.又因为所以………………3分所以PC²=PB²+BC²,所以PB⊥BC,又因为PA⊥BC,PA∩PB=P,PA,PBC平面PAB,所以BC⊥平面PAB,所以平面PBC⊥平面PAB.…………7分建立如图所示的空间直角坐标系，则A(√3,0,0),C(0,2√6,0),P(√3,0,1).由√2²-3=1,…………11分由(1)知PD与平面ABC所成的角为∠PDA,所以17.解：(1)设甲选择方式一获得的积分为X₁,选择方式二获得的积分为X₂;乙选择方式一获得的积分为Y₁,选择方式二获得的积分为Y₂.可分别求出随机变量X₁,X₂,Y₁,Y₂的分布列.,0246P9同理可得036P0246P036P因为E(X₁)>E(X₂),E(Y₁)>E(Y₂),所以甲、乙两人都会优先选择方式一.……7分(2)记最终结果为甲获胜为事件A,乙以一分之差惜败为事件B.=P(X₁=2)P(Y₂<2)+P(X₁=4)P(Y₂<4)+P(X₁=6得.……………9分=P(X₂=3)P(Y₁<3)+P(X₂=6)得,………………12分(2)第一步，研究函数y=f(x)与y=g(x)有且仅有两个交点的充要条件.由题意可知，其等价于x>0时，方的解的个数，不妨设函数,x>递减.……又因为函数y=f(x)与y=g(x)存在两个交点，即3x₁≠x₂,p(x₁)=p(x₂)=1,则①函数q(x)在(0,xo)上单调递增-1>1-1=0,根据函数零点存在定理可知，函数q(x)在(0,xo)上存在唯一零点；…8分,则q(x₁)……12分因为,整理,所以,由(2)可知此时函数不妨设b;对应的子集B;={2¹,2'²,…,2'*}(具有k个元素),其中0≤i₁<i₂<…<i,b;对应的子集B;={2',2'²,…,2'm}(具有m个元素),其中0≤j₁<j₂<…<jm,由于i≠j,所以子集B;≠B;,可设t为i,≠j,的最大下标.若i,>j,,则b,-b;≥2'-(2'+2'⁻¹+…+2')≥2-(2⁻¹+2'⁻²+…+2°)=1,即有b;若i,<j,则同理有b;<b;.故Vi≠j,b;≠b;.…………又因为Vi≠j,b;≠b;,整数b₁≤b₂≤b₃≤…≤6而b;∈N,故b;=i-1,1≤i≤2”.②若B;EB;,则SB,+(q-2)SB;nB,=Ss,+(q-2)Ss,=(q-1)SB;≥(q-1)Ss,;…………………10分③若B;既不是B;的子集，而B;