2025届高中数学三轮冲刺：高考仿真卷(五)（含解析）

高考仿真卷(五)(时间：120分钟分值：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2024·天水模拟)已知集合A={x|log2x>1}，B={x|0<x<4}，则(∁RA)∩B等于()A.{x|2<x<4} B.{x|2≤x<4}C.{x|0<x≤2} D.{x|x≤2}2.(2024·郴州模拟)已知向量a，b满足a⊥(a-2b)，(a+b)·(a-b)=0，则向量a，b的夹角为()A.π6 B.π3 C.π23.(2024·衡阳模拟)在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考A，B，C三所高校，则恰有两人报考同一所高校的方法共有()A.9种 B.36种 C.38种 D.45种4.(2024·开封模拟)在高为4，底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则该几何体的表面积为()A.33π B.39π C.48π D.57π5.(2024·黄山模拟)某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从正态分布N(100，σ2)，已知P(90<X≤100)=0.1，则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为()A.784 B.490 C.392 D.2946.已知{an}是等差数列，a1=3，a4=12，在数列{bn}中，b1=4，b4=20，若{bn-an}是等比数列，则b2025的值为()A.6075 B.22024C.22024+6075 D.22024-60757.(2024·衡水模拟)已知e1，e2分别为椭圆x2a2+y2b2=1和双曲线x2a2-y2b2=1的离心率，其中aA.2 B.3 C.4 D.58.(2024·济宁模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)φ<π2，且sinφ-3cosφ6sinφ+3cosφ=-29，若f(x)=32在[0，2π]上有n个不同的根A.0 B.-3 C.3 D.不存在二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知方程xn=1在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆.下列复数是方程x9=1的根的是()A.1 B.iC.-12-32i D.cos40°+isin10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A.EF⊥BD1B.直线D1E，C1F，B1B交于同一点C.直线A1E与直线BD1所成角的正切值为6D.平面D1EF截正方体所得的截面周长为25+3211.(2024·济南模拟)对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x)，若存在函数h(x)=kx+b(k，b为常数)，对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x>x0时，总有0<f(x)-h(x)<m,0<h(x)-g(x)<m,则称直线l：y=kx+b为曲线y=f(x)与y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D={x|x>1}的四组函数，其中曲线y=A.f(x)=x2，g(x)=xB.f(x)=10-x+2，g(x)=2C.f(x)=x2+1x，g(D.f(x)=2x2x+1，g(x)=2(三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.2x3-113.圆心在x轴的正半轴上，半径为8，且与直线4x-3y=0相切的圆的方程为.

14.(2024·菏泽模拟)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=4，点P为矩形A1B1C1D1内一动点，记二面角P-AD-B的平面角为α，直线PC与平面ABCD所成的角为β，若α=β，则三棱锥P-BB1D1体积的最小值为.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)(2024·日照模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin(B+C)=23sin2A2(1)求角A的大小；(6分)(2)若b=3，BC边上的高为3217，求△ABC的周长.(16.(15分)(2024·厦门模拟)已知函数f(x)=ln(x+m)的图象与x轴交于点P，且在点P处的切线方程为y=g(x)，g(1)=1，记h(x)=2f(x)-1+4x+1.(参考数据：e3≈20.09(1)求g(x)的解析式；(2)求h(x)的单调区间和最大值.(10分)17.(15分)(2024·岳阳模拟)甲、乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为45，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲、乙两人各积1分的概率为35.记甲、乙两人的答题总次数为n(n≥(1)求p；(4分)(2)当n=2时，求甲得分X的分布列及数学期望；(5分)(3)当答题的总次数为n时，甲晋级的概率为Pn(A)，证明：415≤P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)<23.(618.(17分)(2024·襄阳模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点(1，2)，F为C的焦点，A，B为C上不同于原点O的两点.(1)若OA⊥OB，试探究直线AB是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由；(7分)(2)若AF⊥BF，求△AFB面积的最小值.(10分)19.(17分)(2024·合肥模拟)定义二元函数f(m，n)(m，n∈N*)，同时满足：①f(1，1)=1；②f(m+1，n)=f(m，n)+2n；③f(m，n+1)=f(m，n)+2m三个条件.(1)求f(3，1)，f(2，3)的值；(4分)(2)求f(m，n)的解析式；(3)若an=f(1，n)，Sn=sina1xa1+sina2xa2+sina3xa3+…+sinanxan，参考公式：sinαcosβ=1cosαsinβ=1cosαcosβ=1sinαsinβ=-12

答案精析1.C[因为A={x|log2x>1}={x|x>2}，所以∁RA={x|x≤2}，因为B={x|0<x<4}，所以(∁RA)∩B={x|0<x≤2}.]2.B[由(a+b)·(a-b)=0，得a2-b2=0，则|a|=|b|，由a⊥(a-2b)，得a·(a-2b)=0，即a2-2a·b=0，整理得a·b=12a2因此cos〈a，b〉=a·b|a||b|=12a而0≤〈a，b〉≤π，解得〈a，b〉=π3所以向量a，b的夹角为π3.3.B[由题意，恰有两人报考同一所高校的方法共有C42A33=364.C[设圆柱的底面半径为r，高为h.体积最大的圆锥的母线长为l=h2+r2则S表=S圆柱侧+S圆柱底+S圆锥侧=2πrh+πr2+πrl=24π+9π+15π=48π.]5.C[因为X~N(100，σ2)，且P(90<X≤100)=0.1，所以P(100<X≤110)=P(90<X≤100)=0.1，所以P(X>110)=0.5-P(100<X≤110)=0.5-0.1=0.4，又因为高一有学生980人，所以该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为980×0.4=392.]6.C[设{an}的公差为d，{bn-an}的公比为q，则由题意可得，a4=a1+3d，即12=3+3d，解得d=3，所以an=3+(n-1)×3=3n.根据已知又有b1-a1=1，b4-a4=8，则8=1·q3，得q=2，所以bn-an=1·2n-1，故bn=2n-1+3n，故b2025=22024+6075.]7.B[由椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e2=c2a=令k=ba，因为双曲线的渐近线的斜率不超过255，即b则0<k2≤45，此时e2e12=1+k21-k2=-1+21-k2∈(则e2e18.B[由sinφ-3cosφ6sinφ+3cosφ=-29，得tanφ=sin即f(x)=2sin2x若f(x)=32，则sin2x+当x∈[0，2π]时，2x+π6∈π所以f(x)=32在[0，2π]上有4个不同的根x1，x2，x3，x4且2x1+π6+2x3+π6+即x1+x2=π3，x3+x4=7π所以tannΣi=1xi=tan8π3=tan9.ACD[对于A选项，19=1显然成立，故A正确；对于B选项，i9=i≠1，故B错误；由x9-1=0，得(x3-1)(x6+x3+1)=0，令t=x3，则(t-1)(t2+t+1)=0，解得t=1或t=-1±3即x3=1或x3=-1±3对于C选项，-12-32i3=-12对于D选项，(cos40°+isin40°)3=(cos40°+isin40°)2(cos40°+isin40°)=(cos240°-sin240°+2isin40°cos40°)·(cos40°+isin40°)=(cos80°+isin80°)(cos40°+isin40°)=cos80°cos40°+icos80°sin40°+isin80°cos40°-sin80°sin40°=cos(80°+40°)+i(cos80°sin40°+sin80°cos40°)=cos120°+isin120°=-12+32i，故D正确10.AC[由题意，建立如图1所示的空间直角坐标系，∵正方体的棱长为2，∴E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，则EF=(-1，1，0)，BD1=(-2，-2，2)，EF·B即EF⊥BD1，故A正确；由题意，C1F与B1B共面且相交，设C1F∩B1B=G，则G(2，2，-2)，D1E=(2，1，-2)，EG=(0，1，-2可得D1E与EG不平行，即D1，E，G不共线，故直线D1E，C1F，B1B不交于同一点，故A1E=(0，1，-2)，BD1=(-2，-2则cos〈A1E，BD1sin〈A1E，BD1〉=1-1552=105如图2，延长DA，DC，与EF所在直线分别交于H，K，连接HD1，KD1分别交AA1，CC1于R，T，则五边形D1REFT即为所得截面，∵E，F分别为AB，BC的中点，得△AEH≌△BEF，∴AH=BF=12A1D1又∵△RAH∽△RA1D1，∴AR=12A1R，故R为AA1上靠近点A∴AR=23，A1R=43，D1T=RD1=43FT=RE=1+232=133，EF=故平面D1EF截正方体所得的截面周长为213+2，故D错误.]11.BD[f(x)和g(x)存在“分渐近线”的充要条件是当x→+∞时，f(x)-g(x)→0，f(x)>g(x).对于A，f(x)=x2，g(x)=x，当x>1时，令F(x)=f(x)-g(x)=x2-x，由于F'(x)=2x-12x所以F(x)为增函数，不符合x→+∞时，f(x)-g(x)→0，所以不存在“分渐近线”；对于B，当x>1时，f(x)=10-x+2>2，g(x)=2x-3x=2-所以f(x)>g(x)，f(x)-g(x)=10-x+2-2x-3x=1因为当x>1且x→+∞时，f(x)-g(x)→0，所以存在“分渐近线”；对于C，f(x)=x2+1x，g(x)f(x)-g(x)=x2+1x-xlnx+1lnx=x+1x当x>1且x→+∞时，1x与1lnx均单调递减，但1所以当x→+∞时，f(x)-g(x)会越来越小，不会趋近于0，所以不存在“分渐近线”；对于D，f(x)=2x2x+1，g(x)=2(x-1-e当x→+∞时，f(x)-g(x)=2x2x+1-2x+2+2e-x=2x且f(x)-g(x)>0，因此存在“分渐近线”.]12.14解析Tk+1=C7k(2x3)7-k-x-12k=(-1)k·2令21-72k=0，得k=6，则展开式中的常数项为(-1)6×2×C13.(x-10)2+y2=64解析根据题意，设圆心坐标为a，因为圆的半径为8，且与直线4x-3y=0相切，则圆心到直线4x-3y=0的距离为4a42+3解得a=10或a=-10(舍去)，则圆心的坐标为10，所求圆的方程为x-102+y14.10解析如图1，作PM⊥平面ABCD，垂足为M，再作MN⊥AD，垂足为N，连接PN，CM，则α=∠PNM，β=∠PCM，由α=β，则∠PNM=∠PCM，又MN，MC⊂平面ABCD，故PM⊥MN，PM⊥MC，则MN=MC，由抛物线的定义可知，M的轨迹是以C为焦点，以AD为准线的抛物线的一部分，所以P的轨迹是以C1为焦点，以A1D1为准线的抛物线的一部分，当点P到直线B1D1的距离最短时，△PB1D1的面积最小，即三棱锥P-BB1D1的体积最小.以C1D1的中点O1为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则C1(1，0)，D1(-1，0)，B1(1，3)，则直线B1D1的方程为y=31+1(x+1)即3x-2y+3=0，抛物线的方程为y2=4x(0≤x≤1)，即y=2x(0≤y≤2)，则y'=1x由题意，令1x=32，得x=49，代入y=2x，得y所以点P的坐标为49，43，所以点P到直线B1D1的最短距离为d=因为B1D1=22+3所以V三棱锥P-BB1D1=V三棱锥B-PB所以三棱锥P-BB1D1体积的最小值为10915.解(1)因为A，B，C为△ABC的内角，所以sin(B+C)=sinA，因为sin2A2=1-cos所以sin(B+C)=23sin2A2可化为sinA=3(1-cosA)即sinA+3cosA=3，即sinA+π3因为A+π3∈π解得A+π3=2π3，即A=(2)由三角形面积公式得12bcsinA=12×3217a，将b=3代入得12×3csinπ3所以a=72c由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=74c2得c2+4c-12=0解得c=2或c=-6(舍去)，则a=7，所以△ABC的周长为5+7.16.解(1)由题意知f(x)=ln(x+m)的图象与x轴的交点为P(1-m，0)，又f'(x)=1x∴在点P处的切线的斜率k=11-m∴在点P处的切线方程为g(x)=x-1+m，∵g(1)=1，∴m=1，即切线方程为g(x)=x.(2)由(1)知f(x)=ln(x+1)，∴h(x)=2ln(x+1)-1+4x+1x∴h'(x)=2x+1-21+4令h'(x)=0得x1=0，x2=2，x，h'(x)，h(x)的变化情况列表如下，x-1-0(0，2)2(2，+∞)h'(x)-0+0-h(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴h(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为-14，0和(2，h(x)极大值=h(2)=2ln3-2，又h-14=2ln34+1=2ln3-4lnh-14-h(x)极大值=3-4ln2=lne316≈ln∴h-14>h(x)∴h(x)的最大值为2ln3-4ln2+1.17.(1)解记Ai=“第i次是甲答题”，B=“甲积1分”，则P(A1)=12，P(B|Ai)=4P(B|Ai)=1-45=1P(B|Ai)=1-p，P(B|Ai)=则35=124则35=3p+15，解得(2)解由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由(1)可知P(X=1)=35P(X=0)=12×15×P(X=2)=12×45×X的分布列为X012P234X的数学期望E(X)=0×215+1×35+2×415(3)证明由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为x甲，乙的积分为x乙，则x甲-x乙=2，且x甲+x乙=n，所以甲晋级时n必为偶数，令n=2m，m∈N*，当n为奇数时，Pn(A)=0，则P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)=P2(A)+P4(A)+…+Pn(A)=350×415+351×415+352=4153=23所以当m≥1时，P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)随着m的增大而增大，所以415≤P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)<218.解(1)已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点(1，2)，所以22=4=2p，所以抛物线C的方程为y2=4x，直线AB斜率不可能为0，否则直线AB与抛物线没有两个交点，故可设直线AB：x=my+n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立抛物线C的方程y2=4x，可得y2-4my-4n=0，Δ=16(m2+n)>0，由根与系数的关系有y1+y2=4m，y1y2=-4n，因为OA⊥OB，所以OA·OB=x1x2+y1y2=(y1y2)216+y1y2因为A，B为C上不同于原点O的两点，所以n≠0，所以n=4，经检验符合题意，即直线AB：x=my+4，所以直线AB过定点(4，0).(2)显然F(1，0)，由(1)得，y1+y2=4m，y1y2=-4n，因为AF⊥BF，所以AF·BF=(1-x1)·(1-x2)+y1y2=1+y1y2+(y1y2)216-(my1+n+my2+n)=1-4n+n2即n2-6n+1=4m2成立，而Δ=16(m2+n)=4(n2-6n+1)+16n=4(n2-2n+1)=4(n-1)2>0，所以首先有n≠1，其次n2-6n+1=4m2≥0，解得n≥3+22或n≤3-22，因为n为直线AB：x=my+n在x轴上的截距，且A