3.3 垂径定理 北师大版数学九年级下册课件

垂直定理九年级下册数学北师大版

如右图所示，“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为☉O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为多少?【问题】

当弦AB⊥CD时,你能得出哪些相等的线段?相等的弧?相等的角?新知讲解●OABCDM└如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.

（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由.连接OA,OB,则OA=OB.●OABCD└在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,理由：M⌒⌒

AC和

BC重合，⌒

AD

和BD重合⌒⌒⌒

AC=BC⌒⌒

AD=BD垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧(2)(1)(3)(4)(5)●OABCDM└CD⊥AB,∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.几何语言垂径定理判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBA注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦××√BOCDAOCDE③CD⊥AB,垂径定理的逆定理●OCD由①CD是直径②AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？OCDBA垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.不成立“知二推三”(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(1)(3)时,应对另一条弦增加”不是直径”的限制.温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,几种条件要相互转化,形成整体,才能运用自如.21cnjy21cnjy垂径定理的几个基本图形EODCF1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点O是CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.⌒⌒⌒解这个方程，得R=545.EODCF解：连接OC，设弯路的半径为R

m,则OF=(R-90)m.∵OE⊥CD根据勾股定理，得

OC²=CF²+OF²即R²=300²+(R-90)².所以，这段弯路的半径为545m.1.如图所示，☉O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB(包括端点A,B)上移动，则OM的取值范围是(

)A.3≤OM≤5

B.3≤OM＜5C.4≤OM≤5

D.4≤OM＜5解析:当M与A或B重合时，OM达到最大值，即圆的半径5；当OM⊥AB时，OM取最小值，为=3.故OM的取值范围是3≤OM≤5.故选A.A2.如图所示，在☉O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是

.

解析:∵OC⊥弦AB于点C，∴BC=AC=AB=×4=2，在Rt△OBC中，OC=1，BC=2，∴OB=.故填.巩固练习3.如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若CD=8，OP=3，则☉O的半径为

.

解析:连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴PC=·CD=×8=4，在Rt△OCP中，∵PC=4,OP=3，∴OC=故填5.54.如图(1)所示，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，求截面上有油部分油面高CD.解析:根据垂径定理,易知AC,BC的长,连接OA,根据勾股定理即可求出OC的长,进而可求出CD的值.解:如图(2)所示，连接OA.根据垂径定理,得AC=BC=12cm.在Rt△OAC中，OA=13cm，AC=12cm.根据勾股定理，得OC==5cm，∴CD=OD-OC=8cm.∴油面高CD为8cm.通过本节课你学到了什么？课堂总结直径平分弦直径垂直于弦=>

直径平分弦所对的弧直径垂直于弦直径平分弦（不是直