3.3 垂径定理 初中数学北师版九年级下册课件

第三章圆3.3垂径定理合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习2.它的对称轴是什么?是圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线1.圆是轴对称图形吗？复习回顾：●O合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习探究一：垂径定理合作探究：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.

问题1：该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？●OABCDM└是，对称轴是直径CD合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习问题2：你能从图中找出哪些等量关系？说一说你的理由.解：连接OA,OB,则OA=OB.●OABCD└在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,M⌒⌒AC和BC重合，⌒AD和BD重合⌒⌒⌒∴AC=BC⌒⌒

AD=BD合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习归纳总结：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AM=BM，⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．●OABCDM└推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习练一练：1.判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBA××√BOCDAOCDE注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习探究二：垂径定理的推论如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证：①CD是直径②CD⊥AB，垂足为E③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒证明猜想合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习·OABCDE（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.证明举例AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）⌒⌒⌒⌒合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习归纳总结：思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习垂径定理及推论●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.即“知二推三”合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习2.如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______________.C

DCBOADOAB图a图b2cm或12cm练一练：合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法OABC·方法归纳：ABCDOhrd合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为

.5cm合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.合作探究当堂检测学习目标课堂总结自主学习3.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．解：∵弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高，∴OE⊥AB于F，∴AF=AB=3m，∵设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m，∴AO=r，OF=r-2，在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=32+（