高中数学复习专题33 直线、平面平行的判定与性质6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

专题33直线、平面平行的判定与性质6题型分类1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊄α,b⊂α,a∥b))⇒a∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b2．面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))⇒β∥α性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b常用结论1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.（一）直线与平面平行的判定与性质(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．题型1：直线与平面平行的判定1-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，分别为的中点，连接．当为上不与点重合的一点时，证明：平面.1-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，，，，．求证：平面.

1-3．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是菱形，，分别是，的中点．求证：平面.1-4．（2024高三·全国·对口高考）已知正方形和正方形，如图所示，、分别是对角线、上的点，且．求证：平面．

1-5．（2024·陕西安康·三模）如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点．

(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离.1-6．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱台的底面是菱形，且，平面，，，.

(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.题型2：直线与平面平行的性质2-1．（2024高三·全国·专题练习）已知四棱锥，底面为菱形，平面平面，证明：.

2-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点，平面平面，平面.证明：.

2-3．（2024高三·全国·专题练习）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．若平面平面，证明：.2-4．（2024高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．

(1)平面平面，证明：．(2)当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积．（二）平面与平面平行的判定与性质(1)证明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线．题型3：平面与平面平行的判定3-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点．求证：平面平面.3-2．（2024高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD=60°，M，N分别为AD，PA的中点，证明:平面BMN//平面PCD.3-3．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．(1)求证：平面平面PCD；(2)求三棱锥的体积．题型4：平面与平面平行的性质4-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：.4-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．求证：.

4-3．（2024高一·全国·课后作业）如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：．（三）解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法．题型5：探索性问题5-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.5-2．（2024高三·全国·专题练习）如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点．当为多少时，直线平面？5-3．（2024高二上·安徽合肥·阶段练习）已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且．（1）求证：平面；（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．（四）平行关系的综合应用证明平行关系的常用方法熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．题型6：平行关系的综合应用6-1．（2024高二上·山西朔州·期中）如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形.(1)求证：平面；(2)若，，求四边形周长的取值范围.6-2．（2024·福建泉州·模拟预测）如图所示的几何体是由圆锥与圆柱组成的组合体，其中圆柱的轴截面是边长为2的正方形，圆锥的高，M为圆柱下底面圆周上异于A，B的点．(1)求证：∥平面；(2)若，求直线与平面所成角的正切值的取值范围．6-3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，，，，分别是，上的点，且，现将四边形沿向上折起成直二面角，设.(1)若，在边上是否存在点，满足，使得平面？若存在，求出；若不存在，说明理由.(2)当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离.6-4．（2024·河南·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，的中点分别为，点在上，.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)求二面角的大小.一、单选题1．（2024高一·全国·课后作业）已知直线和平面，那么能得出//的一个条件是（

）A．存在一条直线，//且B．存在一条直线，//且C．存在一个平面，且//D．存在一个平面，//且//2．（2024高三·全国·专题练习）设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（

）A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线3．（2024高一·全国·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2024高一下·江苏常州·期末）若、是两个不重合的平面，①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；②设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；③若外一条直线与内的一条直线平行，则.以上说法中成立的有（

）个.A．0 B．1 C．2 D．35．（2024高一下·四川成都·阶段练习）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，则6．（2024高一下·全国·课后作业）如图，已知立方体ABCD－A′B′C′D′，点E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是（）A．0 B．2C．4 D．67．（2024高一·全国·课后作业）如果，表示直线，，表示平面，那么下列说法中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则8．（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点，平面，则的长度为（

）

A． B． C． D．29．（2024高一·全国·课后作业）直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有（

）A．无数条 B．0条 C．1条 D．以上均不对10．（2024高三·全国·对口高考）过直线l外两点作与l平行的平面，那么这样的平面（

）A．不存在 B．只有一个 C．有无数个 D．不能确定11．（2024高一·全国·课后作业）如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是（

）A．相交 B．b∥α C．b⊂α D．b∥α或b⊂α12．（2024高一·全国·课后作业）是平面外的一条直线，下列条件中可得出的是A．与内的一条直线不相交B．与内的两条直线不相交C．与内的无数条直线不相交D．与内的所有直线不相交13．（2024·全国）设，为两个平面，则的充要条件是A．内有无数条直线与平行B．内有两条相交直线与平行C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一平面14．（2024·浙江）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线相交，直线平面D．直线与直线异面，直线平面15．（2024·全国）在正方体中，E，F分别为的中点，则（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面16．（2024高一下·四川成都·期末）在底面为等边三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中点，M是四边形内的动点，若平面ABD，则线段长度的最小值为（

）A． B．2 C． D．17．（2024高二上·浙江杭州·期中）如图,四棱锥的底面是平行四边形,、分别为线段、上一点，若,且平面，则

A． B．C． D．18．（2024高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（

）A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线，直线，则a∥αD．若直线a∥b，，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线19．（2024高一·全国·课后作业）已知A、B、C、D是不共面四点，M、N分别是、的重心．以下平面中与直线平行的是（

）①平面；

②平面；

③平面；

④平面．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④20．（2024高三下·湖南岳阳·开学考试）a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：①，，则；②若，，则；③，，则；④若，，则；⑤若，，则；⑥若，，则.其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1重难点专题04空间直线平面的平行-【同步题型讲义】）如图，点、、、、为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（

）A．

B．

C．

D．

22．（2024高一上·广西崇左·期末）过直线外两点，作与平行的平面，则这样的平面（）A．不可能作出 B．只能作出一个C．能作出无数个 D．上述三种情况都存在二、填空题23．（2024高一下·山东东营·阶段练习）以下四个命题中，真命题是（只填真命题的序号）.①若a，b是两条直线，且，则a平行于经过b的任何平面；②若直线a和平面满足，则a与内的任何直线平行；③若直线a，b和平面满足，，则；④若直线a，b和平面满足，，，则.24．（2024高二上·江西赣州·阶段练习）已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E，F，G分别为PA，PD，CD的中点，则BC与平面EFG的位置关系为.25．（2024高三·全国·对口高考）如图所示，已知是平行四边形，点P是平面外一点，M是的中点，在上取一点G，过G和作平面交平面于，则与的位置关系是．

26．（2024高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别为线段上一点，若，且平面，则.

27．（2024高一上·全国·专题练习）正方体中，为的中点，则与过，，三点的平面的位置关系是．28．（2024高一下·全国·课后作业）在中，，，，是重心，过的平面与BC平行，，，则．三、解答题29．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面为正方形，E为PB的中点.证明：平面.

30．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，为线段的中点，平面与棱相交于点.求证：.31．（2024高三·全国·专题练习）四棱锥中，底面为矩形，平面与平面的交线为，求证：直线平行于平面.32．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，为棱的中点.证明：平面.

33．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，分别为的中点，平面与底面的交线为.证明：平面.

34．（2024高三·全国·专题练习）在如图所示的圆柱中，分别是下底面圆，上底面圆的直径，是圆柱的母线，为圆上一点，为上一点，且平面.求证：.35．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，若截面为平行四边形.求证：平面.36．（2024高三·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面与平面所成角的正切值为．证明：.37．（2024高三·全国·专题练习）在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，．求证：平面平面.

38．（2024高三·全国·专题练习）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.点在线段上，且平面，试确定点的位置.39．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．设平面与平面相交于直线，求证：.40．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，点是的中点，点在上，平面与平面相交于直线，∥，证明：是的中点．41．（2024高三·全国·专题练习）直四棱柱中，，求证：平面.

42．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，为点在平面上的射影，为的中点．证明：平面.

43．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点．证明：平面.

44．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，底面，，，，、分别为棱、的中点，，．求证：平面.

45．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点，为的重心.求证：平面.

46．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，求证：平面；47．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，E、F分别是、的中点.求证：平面.

48．（2024高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，为的中点.求证：平面.

49．（2024高一·全国·课后作业）长方体中，是矩形的中心，是矩形的中心．证明：平面.50．（2024高三·全国·专题练习）在多面体中，四边形是正方形，为的中点，求证：直线平面.

51．（2024高三上·陕西汉中·期末）如图，在三棱柱中，平面，且，点是棱的中点.

(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.52．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，点D是棱的中点．求证：∥平面.

53．（2024高三·全国·专题练习）在如图所示的三棱锥中，已知为的中点，为的中点，为的中点.证明：平面.

54．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．求证：直线平面ABCD.

55．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正四棱锥中，底面ABCD的中心为O，PD边上的垂线BE交线段PO于点F，．证明：平面PBC.

56．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，点为的中点．求证：平面.

57．（2024高三·全国·专题练习）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2.证明：平面.

58．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，为边的中点，异面直线与所成的角为．在直线上找一点，使得直线平面，并求的值.

59．（2024高二·全国·专题练习）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.求证：平面；

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