考研数学二（线性方程组）模拟试卷1（共282题）

考研数学二（线性方程组）模拟试卷1

（共9套）

（共282题）

考研数学二（线性方程组）模拟试卷第

1套

一、选择题（本题共/。题，每题1.0分，共/o分。）

1、某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为

1-123-4

10015-2.

L0°°2°.则自由变量可取为⑴X4,X5.⑵X3,X5.⑶X],

X5.（4）X2»X3.那么正确的共有（）

A、1个.

B、2个.

C、3个.

D、4个.

标准答案：B

知识点解析：因为系数矩阵的秩r（A）=3,有n—r（A）=5—3=2,故应当有2个自由

1-121

I001,

变量.由于去掉X4,X5两列之后，所剩三阶矩阵为100°」因为其秩与r（A）

不相等，故X4,X5不是自由变量.同理，X3,X5不能是自由变量.而XI，X2与

-12313-4

015与05-2

X2,X3均可以是自由变量，因为行列式002020

都不为0.所

以应选B.

2、已知ai,a2,a3；2匕方程组Ax二b的三个不同的解，那么卜列向里ai一

于(♦F)

a2，ai+a2—2a3,,aj—3a2+2a3中能导出方程组Ax=O解的向量共有

()

个

A、4•

个

B、3•

个

、•

C2个

D、1•

标准答案：A

知识点解析：由Aai=b(i=l,2,3)有A(ai—。2尸Aai—Act2=b—b=0,A(ai+a2—

2a3)=Aai+Aa2—2Aa3=b+b_2b=0»

A[--(«2-a.)]=9%-"9=0,

13」3SJJA(ai—3aa+2a3)=Aai一

2_z_a)

3Aa2+2Aa3=b—3b+2b=0,那么，ai—az，aj+a2—2a3，321,ai—*

3a2+2a3均是齐次方程组Ax=0的解.所以应选A.

3、已知ai=(l,1,—1)La2=(l，2,0)丁是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么

下列向量中Ax=0的解向量是()

A、(1,一1,3尸.

B、(2,1,一3)二

C、(2,2,一5)二

D、(2,—2,6)二

标准答案：B

知识点解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解.因此选项A、

D均不是Ax=0的解.由于ai，a2是Ax=0的基础解系，那么ara2可表示Ax=0

的任何一个解1亦即方程组xiai，+xia2=n必有解，因为

11:221n1：221n1：22_

12：12-*0H-1o—oH-10

L-10：-3-5」L0H-1-3」Loo：o-3」可见第二个方程

组无解，即(2,2,一5)T不能由⑴,a2线性表示.所以应选B.

4、设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r,则Ax=0有非零解的充分

必要条件是()

A、r=n.

B、r>N.

C、r<n.

D、r>n.

标准答案：C

知识点解析：将矩阵A按列分块,A=(ai,a2……痴)，则Ax=O的向量形式为

x)a।+X2«2+...+xnan=O,而Ax=O有非零解Oai,a2.......3】线性相关

or(5，a2,…,a.)<nw(A)<n,所以应选c.

5、已知4阶方阵A=(ai,012,(x3,04),山,012,(x3,04均为四维列向量,其中内陋线性无

关，若ai+2a2—ay邛,a1+012+(13+04=(3,2ai+3a2+a3+2cu=p,kj,k2为任意常数,

那么Ax=p的通解为()

标准答案：B

4=(a,,a2,a},a4)

■1

知识点解析:由ai+2a2——(13=。矢口L。」

Yl=(l,2,-1,0)T是Ax邛的解.同理丫2=(1，L1,1)、73=(2,3,1,2)T也

均是Ax邛的解，那么口=71一丫2二(。，1，一2,一1)T,r|2=Y3-Y2=(1，2,0,

1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关.于是Ax=0至少有两个线性无关的解

向量，有n—r(A巨2,即r(A£2,又因为cqg线性无关，有

r(A)=r(a1,02,03,04)>2.所以必有r(A)=2,从而n—r(A)=2,因此中，脸就是Ax=0

的基础解系，根据解的结构，所以应选B.

6、已知削，的是非齐次线性方程组Ax二b的两个不同的解，如，(12是对应的齐次

线性方程Ax=0的基础解系，匕，k2为任意常数，则方程组人、二15的通解是()

ii<rt♦&（%+/）+-

A、2

必+

5k2（a,-a2）♦⑸；6匚

B、2

）k,a,♦A：（〃“：）♦叁-J；

D、人必…⑶用）+^4^.

标准答案：B

,（叼旦）=/（%-9）

知识点解析：对于A、C选项，因为:万（。3=0所以选项人、

C中不含有非齐次线性方程组Ax二b的特解，故均不正确,对于选项D,虽然（仇一

次）是齐次线性方程组Ax=O的解，但它与⑴不一定线性无关，故D也不正确，所

以应选B.事实上，对于选项B,由于ai，（ai—a2）与3，a2等价（显然它们能够

互相线性表示），故ai，（囚一a〉也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由

会他+飒）

|距+，2

=~2（b^b）=b可知，2是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，

由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确.

黄♦2y+1=I,

2x♦3》♦I=3

7、三元一次方程组x-y-L=。329,所代表的三个平面的位置关系为（）

B、

C、

标准答案：C

知识点解析：设方程组的系数矩阵为A,对增广矩阵A作初等行变换，有

而r(A)=3,方程组尢解，即三个平面没有公共交点.又因平面的法向量，m=(l,

2,1),n2=(2,3,1),n3=(l,—1,一2)互不平行.所以三个平面两两相交，围

成一个三棱柱.所以应选C.

8、设A是mxn矩阵，Ax=。是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程

组，则下列结论正确的是()

A、若Ax=0仅有零解，则Ax二b有唯一解.

B、若Ax=O有非零解，则Ax=b有无穷多个解.

C、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=O仅有零解.

D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=O有非零解.

标准答案：D

知识点解析：因为不论齐次线性方程组Ax=O的解的情况如何，即r(A户n或!XA)V

n,以此均不能推得r(A)=r(A；b)所以选项A、B均不正确.而由Ax=b有无穷多个

解可知，r(A)=r(A；b)<n.根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，

此时Ax=O必有非零解.所以应选D.

「0

0

2

9、要使一」都是线性方程组Ax=O的解.，只要系数矩阵A为()

A、[—2111.

20

B、0I

[-102

C、101-1

0I-I

4-2-2

D、-0।>

标准答案：A

知识点解析：由题意，白、及与A的行向量是止交的，对于选项A,因(一2,1,

1)41=0,(—2,1,1)自2=0，而逐一验证可得，其他三个选项均不满足正交条

件.所以应选A.

10、设A为n阶矩阵，A1"是A的转置矩阵，对于线性方程组⑴Ax=0和

(H)ATAX=0,必有()

A、⑴的解是(口)的解，(II)的解也是⑴的解.

B、⑴的解是(口)的解，(5的解不是⑴的解.

C、(口)的解是⑴的解，⑴的解不是(口)的解.

D、(11)的解不是(1)的解.，(【)的解也不是(11)的解.

标准答案：A

知识点解析:如果a是⑴的解，有Aa=0,ATAa=AT(Aa)=AT0=0,即a是(D)

的解.故⑴的解必是(口)的解.反之，若a是(II)的解，有ATAa=0,用/左乘可

得/(A】Aa)=(aAr)(Aa)=(Aa)T(Aa)=al()=O,若设Aa=(bi，b?，…，bn)»那么

T222

(Aa)(Aa)=bj+b2+...+bn=0^bj=0(i=1,2,…，n)即Aa=0.亦即a是⑴的解.因

此(n)的解也必是⑴的解.圻以应选A.

二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)

11、设A为3x3矩阵，且方程组Ax=0的基础解系含有诙个解向量，则

r(A)=.

标准答案：1

知识点解析：由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于

未知数的个数，且本题系数矩阵为3x3阶，因此r(A)=n—r=3—2=1.

12、设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若中1］是齐次线性方程组Ax=0

的两个线性无关的解，则r(A*)二.

标准答案：0

知识点解析：m，m是齐次线性方程组AX=O的两个线性无关的解.因此由方程组

的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，Wn-r(A)>2,即r(A)$3.又

因为A是5阶矩阵，而r(A)W3,因此IAI的4阶子式一定全部为0,因此代数余

子式Aij,恒为零，即A*=O,所以r(A*)=0.

.3x)♦&x2一盯=0.

4X2-x,=0,

13、方程组L必.5=0有非零解，则1<=.

标准答案：一1

知识点解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对

3左-1

4-1

04-1=3=12(4+1)=0

4k

应的行列式等于零，即04k因此得k=—l.

11r

A-20I.

14、设L-1I。」，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是.

标准答案：ki(l,2,一0,1)T

知识点解析：A是一个3阶矩阵，由已知得|A|=0,且r(A尸2,因此r(A*尸1,

那么可知n—r(A*)=3—1=2,因此A*x=0有两个基础解系，其通解形式为

k]r)]+k2r|2.又因为A*A=IAIE=0,因此矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解

TT

是k|(l,2,­l)+k2(b0,1).

•2x|+AX2一3=瓦.

AX|-Xj♦ij«b2,，

15、已知方程组+5盯-5)=8总有解，则人应满足的条件是

4

A#1且入#"7"

标准答案：$

知识点解析：对于任意的b|,b2,b3,方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A

的秩为3,即IAI#),由

2A-12A-1

IAI=A-I1A-11=(5A+4)(人-1)#0,

45-55A+400

4

可知入/1且入X-彳.

3X(-*2-6x}xa♦2,

16、已知方程组t♦llx,=a+3有无穷多解，那么a=

标准答案：3

知识点解析：线性方程组Ax二b声解的充分必要条件是:"4)而有无穷多

解的充分必要条件是「(A)=「(')＜匕对增广矩阵作初等行变换，有

22

3-1-6a+20-412-2a

-1411a+3-93

1212

0303

2-2a-006-2a-

-0由于r(A)=2,则可以推出

6—2a=0,因此方程组有无穷多解的充分必要条件是a=3.

«i--<»巧=3,

2«|-3«j=1,

17、已知川，C12是方程组-2斫+5♦10。=4的两个不同的解向量，则

a=.

标准答案：一2

知识点解析：因为ai，(X2是方程组的两个不同的解，因此该方程组有无穷多解,

即系数矩阵和增广矩阵的秩相等，且均小于3,对增广矩阵作初等行变换有

-1-a11-3

0-3002-5

.—2a10\4.JI。a-210—2a：10Lo0(2a—7)(a4-2)：—5(a♦2)-

因此a=-2时，系数矩阵和增广矩阵的秩相等且均为2.故a=-2.

18、四元方程组Ax=b的三个解是ai,a2,a3，其中ai=(l,1,1,1)1，。2+&3=(2,

3,4,5了，如果r(A)=3,则方程组通解是.

标准答案：(1,1,1,l)T+k(0,1,2,3)T

知识点解析：根据®2+a3)—2a]=(€(2—川)+(012-川)=(2,3,4,5)T—2(1,1,

1,l)T=(0,1,2,3儿因此可知(0,I,2,39是Ax=0的解.又因为r(A)=3,n

—r(A)=l,所以Ax=b的通解为(1,1,1,l)T+k(0,1,2,3)T.

19、设ai攻6,一1,1)1与a2=(—7,4,2)T是线性方程组为+5〃+4=8

的两个解，那么此方程组的通解是__________.

标准答案：(6,-1,I)T+k(13,-5,一l)T(k为任意常数)

知识点解析：一方面因为四，s是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，因此

一定有r(A)=r(A)<3.另一方面由于在系数矩阵A中存在2阶子式

13

-1>0.

25因此一定有r(A巨2,因此必有r(A)=r(A)=2.则n一r(A)=3-

2=1,因此，导出组Ax=0的基础解系由一个解向量所构成，根据解的性质可知四

T

—a2=(6,-1,1)-(―7,4,2)T=(13,-5,-1)T,是导出组Ax=0的非零

解，即基础解系，那么由非齐次线性方程组解的结构可知(6,-1,l)T+k(13,一

5,-1)丁代为任意常数)是方程组的通解.

三、解答题(本题共万题，每题1.0分，共万分。)

设A二E一凄T,其中E是n阶单位矩阵，q是n维非零列向量，三是《的转置.证

明：

20、A?=A的充分条件是《?=1；

标准答案：A?=(E—殳D(E—匡—2法T+4自丁&纥T九一(2一&")坛丁因此

A2=A—E—(2—九一］低TR因为导o,所以比丁翔，因此

A?二A的充分条件为彳%=1.

知识点解析：暂无解析

21、当时，A是不可逆矩阵.

标准答案：当时，由A=E一比丁可得一坛一片0,因为#0,因

此Ax=O有非零解，BPIAI=0,所以A不可逆.

知识点解析：暂无解析

A

22、设已知方程组Ax=b有无穷多解，求

a的值并求其通解.

标准答案：由题干可知，线性方程组Ax二b有无穷多解R")(八对线性

方程组Ax=b的增广矩阵作初等行变换，

!21I2TI2I：I

A=23a*230-—0I-a；-1

0-1L02-3I--00(<J-3)(a*l);a-3-

当a=3时.有r(A)=r(4)=2<3.

那么

7

-3

0

故方程邠4r=。的通M为(3.・1.0尸**(-7.3.1)\

知识点解析：暂无解析

23、设aim……as为线性方程组Ax=O的一个基础解系，p产tg+t2a2，

02=Uai+t2a3，…，Bs=tia1+t2ai，其中11，12为实常数.试问U，12满足什么条件

时，P1P2……又也为Ax=O的一个基础解系.

标准答案:因为仇(i=1,2,s)是ai,a2.......as的线性组合，且ai,ct2........as是

Ax=O的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知限日，2,s)均为Ax=O的

解.由ai,a2.......as是Ax=O的基础解系,知s=n—r(A).以下分析。鱼...氏线性

无关的条件：设kiBi+k2B2+…+ksBs=O,即

(tiki+t2ks)a\+(t2ki+tik2)a2+(t2k2+Uk3)a3+…+(t2ks"+t|ks)as=O,由于cq,(»2.......四线

性无关，因此有

。即♦，内=。，

=0,

+，禹=0,(•)

114,-0.

又因系数行列式

<.00…0G

t2t|0•••00

0t,-00=«；♦(-

•・••

••••

000•••41(

当tj+(—l)s+lf2s和时,方程组(*)只有零解k产k2i.=ks=0.因此当S为偶数,

tl#tt2,或当S为奇数，t|声一t2时，PlP2.......Ps线性无关.

知识点解析：暂无解析

24、已知平面上三条不同直线的方程分别为1］：ax+26y+3c=0,h：

bx+2cy+3a=0,I3：cx+2ay+3b=0,试证这三条直线交于•■点的充分必要条件为

a+b+c=0.

标准答案：方法一：必要性：设三条直线h，12,13交十一点，则其线性方程组

3♦2by=-3c,

bx+2cy=-3a,(I)

火.lex♦2ay=-3b,

2ba2b-3c

有唯第，故系数矩防人1c与增广矩阵AbA■儿的次均为2,手足|4|-0.

2a-■c2a-36

a26-3c

因为A|=b2c-3a=6(a♦分♦c)(a:♦b♦r*-ab-ac•be)

Ie2a-3b

=3(a♦6+c)[(a-6)"+(b-e)，+(c-a)，].

但根据题设可知(a-6)'+(6-c)‘♦(c-a)'#0.故a+c=0.

充分性：

由a=0.羯从必要性的证明中可知"Zl=0.故，(彳)<3.由尸

;■2(ac-62)・■2[(a♦・；4)+■!■&[■0,

故「(/)=2.于是.

r(A)=r(A)=2.

因此方程组(I)行蟀一解.即三A：线八*，、交于一点-

知识点解析：暂无解析

Xi-8巧+10xj+2X4=0,

(1)2xj+4X2+5xj-x4=0,

3xt+8X2+6X3-2X4=0；

r2x,-3X2-2xy+x4=0,

(2)3h+5X2+4X3-2X4=0,

25、求下列齐次线性方程组的基础解系:Rxi+7x,+6r3-3X4=0；

(3)nxi+(n-l)X2+...+2xn-i+xn=0.

2]r040

1-810

一

/=2451s0I-f-J

标准答案：(1)方程组的系数矩阵386-210000J所以

r(A)=2,因此基础解系所含向量的个数为4—2=2,又原方程组等价于

X4=5,得x尸一4,X2=2；取X3=0,得X|=0,

O-

I

0

[4‘(2)方程组系数矩阵

X2=l.因此基础解系为

,2-3-2

A=354.147,

8761919

ooo」得「(人)=2,基础解系所含向量的个数为

4—2=2.又原方程组等价于19’19’取*3=],X4=2得X[=0,X2=0：取

7

0

X3=o>X4=19,得X|=l,X2=7.因此基础解系为19(3)i己A=(n,n

一1,…，1),可见r(A)=L从而有n—1个线性无关的解构成此方程的基础解

系，原方程组为Xs=-nxi—(n―1)x2—…一2xn“.取X]=l,X2=X3=...=xx.i=0,

­-

得Xn=­n；取X2=l,x।=X3=X4=...=xx.i=0,xn=(n1)=—n+1：........MXxn.

1=1,Xi=X2=...=Xn-2=0>得Xn=-2.所以基础解系为

10-0'

0I-0

出,6•・・£G-：：：•

00-I

L-n-n♦I-2」

知识点解析：暂无解析

26、求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为&=(0,1,2,3)^^=(3,2,

1,0)T.

标准答案：设所求齐次方程为Ax=0,0，〃是4维列向量，基础解系含有2个向

量，因此r(A)=4—2=2,即方程的个数大于等于2.记B=(&,&2)，即有AB=0,且

r(A)=2即BTAT=0Kr(AT)=2.所以A1"的列向量就是BTx=O的一个基础解

3।23

8,=(&e=L-61h0-I-2

得基地解系7

二；：；卜

对应其次线性方程终为

X]-2x,♦x,«0.

(x

系.I2x-3x,♦t=0.

知识点解析：暂无解析

i：'，n：|1，'

[x

设四元齐次线性方程组一/二0；2-x3+x4=0,求:

27、方程组I与n的基础解系；

标准答窠：求方程组I的基础解系：系数矩阵为

[II00卜[]001]

10I0-l010-lJ

分别取[[=[J和IT，箕基础解系可取为

求方程II的基础第系：

系数乐阵为

P-110|sp00I]

loI-Il01-IlJ

分别取「[=和[;)],其基础解系可取为

0

£=：e=

0

知识点解析：暂无解析

28、i与n的公共解.

标准答案：设X=(X],X2,X3,X4)T为I与II的公共解，用两种方法求X的一般表达

式：方法一：x是I与II的公共解，因此X是方程组HI的解，方程组DI为I与n联

立的方程组，即

X,+Xj=0,

Xj-x4=0,

x2-x,♦x4=0.

方法二:以1的通解x=(c,.-cj，代人n得

Cj=-2c(.

这表明I的饼中所有形如(q,-C,t-2q・-C)T的解也是11的*.从而是I与II的公共解.因

此I与口的公共解为

,AeR

2

知识点解析:暂无解析

■1-1-inr-r

A=-11i-

设0-4-2・-一2・

29、求满足A及=&,A2片自的所有向量々，&3；

标准答案：对增广矩阵(A：0)作初等行变换，则

0-4-2匚2」Lo00：0」得Ax=0的基础解系(1,一1,

2)1和Ax=。的特解(0,0,19.故々二(0,0,l)T+k(l,-1,2/或々=(k,

2201

4'=—2—20

2k,2k+l)T,其中k为任意常数.由于440J，对增广矩阵（A?；&）作

I

2200:

2

-2-20

000：0，

4400」得A2x=0的基础解

初等行变换，有00oi

系（一1,1.0）T,（0,0,1）T.又A2X=.有特解（-亍°'°）.故

麻=（一。,0,0『•”-1,1.0）1+，40.0,1）丫或£,二（・}―，出山）‘，计43…

'21'2，其中U，12为任思

常数.

知识点解析：暂无解析

30、对⑴中任意向量回和自3,证明自，々，3线性无关・

\_

-Ik-y-1|o°-T

=

I却却却I=]-i（1I-A

-22A+Il2-22A+Ih

2

标准答案：因为l-2

所以，国，

42»之线性无关.

知识点解析：暂无解析

A1I]Ca-

4=0A-10/:1

设L14」L」已知线性方程组Ax=b,存在两个不同的解.

31、求人，a：

标准答案：由已知可得，线性方程组Ax=b有两个不同的解，则

'⑷="4）＜儿.故IAI=0,即

A1I|

0A-I08(A-1)=(A>l)(A-I)2=0

可得A=I或A=-I.

当入=I时.有"人）=!.r（4）=2,此时线性方程组无解.

当人=・1时.

1：a*irii-：

A•0\I-0-20

-1H-I1。ooa2-

若a=-2.则r（A）=r（A）=2,方程组Ax=b有无穷多解.

故入=-1,a--2.

知识点解析：暂无解析

32、求方程组人*$的通解.

标准答案：当X=-1,a=—2时,

3_

0I

A_±

2

00i0J

所以方程组・5的通解为（；，-y.0）♦&（1.0,1）'.其中£是任意常收

知识点解析：暂无解析

33、已知齐次线性方程组

>x)+2X2+3x3=0,

X,+bx2+cx3=0,

(I)lx,+3X+5x=0,和（U）

232x,+b2x+(c+1)x=0.

l23

X|+x2+ax3=0.

同解，求a,

b,c的值.

标准答案：由于方程组（口）中“方程个数V未知数个数”，所以方程组（口）必有非零

解.那么方程组⑴必有非零解.⑴的系数矩阵行列式为0,即

I23

235s2-a=0.得a«2.

对方程组⑴的系数矩阵作初等行变换，有

I23123101

2350-1-I011

2-・0-I-I・000则方程组⑴的通解是k（一1,一1,1）丁.由已

知，则(一1,一1,1)T也是方程组(口)的解，则有

-1-6♦c=0.

I-2**c♦I-0.

得6=1.c=2或6MO.c»I.

当b=\,c=2时.方程组(D)为广+/+2x,=0,其通解是H-l,-I/)'.所以方程组

(I)与(H)同解.

当6=0.c=I时,方程组(U)为+"=°・由于«D)=］而”|)=2.故方程绡

i2X|♦2x,=0.

(I)与(。)不同解,则6=0,c=I应含去♦

练上,当a=2,6=l.c=2时,方程组(I)与(II)同解.

知识点解析：暂无解析

34、已知A是mxn矩阵，其m个行向量是齐次线性方程组Cx=0的基础解系，B

是m阶可逆矩阵，证明：BA的行向量也是齐次方程组Cx=0的基础解系.

标准答案：由已知可得A的行向量是Cx=0的解，即CAT=O.则

CCBA^CA'B^OB^O.可见BA的行向量是方程组Cx=0的解.由于A的行向量

是基础解系，所以A的行向量线性无关，于是m=r(A尸n—r(C).又因为B是可逆

矩阵，r(BA)=r(A)=m=n-r(C),所以船的行向量线性无关，其向量个数正好是n—

r(C),因此是方程组Cx=0的基础解系.

知识点解析：暂无解析

考研数学二(线性方程组)模拟试卷第

―♦▲

一、选择题(本题共10题，每题上0分，共70分。)

1、非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4,A是4x6

矩阵，则()

A、无法确定方程组是否有解。

B、方程组有无穷多解。

C、方程组有唯一解。

D、方程组无解。

标准答案：B

知识点解析：由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解

的充要条件，且方程组的未知数个数是6,而系数矩阵的秩为4,因此方程组有无

穷多解，故选B。

:二卜的则线性方程组。

2、设A是n阶矩阵，a是n维列向量，若

A、Ax=a必有无穷多解。

B、Ax=a必有唯一解。

Aax

0

0

C、ay仅有零解。

Aax

=0

D、a0必有非零解。

标准答案；D

知识点解析：齐次线性方程必有解(零解)，则选项C、D为互相对立的命题，且其

正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除A、B。又齐次

[A。『卜0

线性方程组0r0y有n+l个变量，而由题设条件知,

Aai\,.、

I=r(A)宓n<n+t1

ar0J/。所以该方程组必有非零解，故选D。

3、设A为mxn矩阵，齐次线性方程组Ax=O仅有零解的充要条件是()

A、A的列向量线性无关。

B、A的列向量线性相关。

C、A的行向量线性无关。

D、A的行向量线性相关。

标准答案：A

知识点解析：Ax=O仅有零解-r(A)=n-A的列向量线性无关。故选A。

4、设A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则线性方程组(AB)x=O()

A、当n>m时,仅有零解。

B、当n>m时,必有非零解。

C、当m>n时,仅有零解。

D、当m>n时,必有非零解。

标准答案：D

知识点解析:因为AB是m阶矩阵,Jir(AB)<min{r(A),r(B)}<min{m,n),所以

当m>n时，必有r(AB)Vm,根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，

选项D正确。

5、设A是mxn矩阵，Ax=O是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程

组，则下列结论正确的是()

A、若Ax=O仅有零解,则Ax=b有唯一解。

B、若Ax=O有非零解，则,1=1>有无穷多个解。

C、若人乂力有无穷多个解，则Ax=O仅有零解。

D、若Ax=b将无穷多个解，贝ijAx=O有非零解。

标准答案：D

知识点解析：因为不论齐次线性方程组Ax=O的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)V

n,以此均不能推得r(A)=r(A；b),所以选项A、B均不正确。而由人*=1)有无穷多

个解可知，r(A)=r(A；b)Vn。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可

知，此时Ax=O必有非零解。所以应选D。

6、非齐次线性方程组Ax=b中未知量的个数为n,方程个数为m,系数矩阵的秩

为r,则()

A、r=ni时，方程组Ax=b有解。

D>r=n时,方程组Ax=b有唯一解。

C、m=n时，方程组Ax=b有唯一解。

D、rVn时，方程组有无穷多个解。

标准答案：A

知识点解析:对于选项A,r(A)=r=m。由于r(A；b)>m=r,且r(A：b)<min{m,

n+l}=min{r,n+l)=r,因此必有r(A；b)=r»从而r(A)=r(A；b),此时方程组有

解，所以应选A。由B、C、D选项的条件均不能推得“两秩”相等。

7、己知ai,a2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，那么

113

a,-3a2,--(2a.+%),彳5+彳。中，仍是线性方程组Ax-b特解的共有

()

个

A、4o

个

B、3o

个

C、2o

个

D、1O

标准答案：C

4(4。］-3a2)=4人必-3Aa2=b,

A

知识点解析:由于Aa尸b,Aa2=b,那么^°'，7%)=7杭‘了一瓦可

知刎-3a2,产+产均是Ax=b的解。而

4(%-%)…心如+司=部，可矢产-2%/(阴+%)不是A、二b的

解。故应选C。

8、设aigg均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中

-羽+3.-4%可以作为导出组A、、。的解向量有

()个。

A、4„

B、3。

C、2o

D、lo

标准答案：A

知识点解析：由于Acq=Aa2=Aa3=b,可知A(ai-012尸Aai—Aa2=b—b=0,A(ai—

2a2+a3尸Aa।-2Aa2+Aa3=b-2b+b=0

AR(6一％)]=4-(Aa]-Xa3)=~b)=0,

14J44A(ai+3a2-4a3)=Aa)+3Aa2—

4Aa3=b+3b-4b=0o这四个向量都是Ax=0的解，故选A。

9、已知四,a2,a3是非齐次线性方程组Ax二b的三个不同的解，那么向量

2

加万(％・%)&-3%♦兄中，是对应齐次线性方程组A*、。

解向量的共有()

A、4o

B、3。

C、2o

D、lo

标准答案：A

知识点解析：由Aai=b(i=l,2,3)有A(oq—a2)=Aaj—Aa2=b一b=0,A(ai+a2—

2a3尸Aai+Aot2-2Aa3=b+b-2b=0,

A[^-{a2-aj]=/口--rAaj=。-yb=0,

I3J3333A(ai-3a2+2a3)=Aai—*

3Aa2+2Act3=b—3b+2b=0,即ai—(12，ai+az—2a3,3包2一a。，ai—3a2+2a3均

是齐次方程组Ax=0的解。所以应选A。

a1r

4=1a11

10、设L1Q」方程组Ax=0有非零解。a是一个三维非零列向量，若Ax=0

的任一解向量都可由a线性表出，则a=()

A、lo

B、—,2o

C、1或一2。

D、一1。

标准答案：B

知识点解析：由于Ax=0的任一解向量都可由a线性表出，所以a是Ax=0的基础

解系，即Ax=0的基础解系只含一个解向量，因此r(A)=2。由方程组Ax=0有非零

解可得，IAI=(a-•l)2(a+2)=0,即a=l或-2。当a=l时，r(A)=l,舍去；当a二

一2时，r(A)=20所以选B.

二、填空题（本题共10题，每题上。分，共10分。）

3xt+kx2-Xj=0,

4X-X,=0,

{2

4x,+kx、=0有非零解，则k=o

标准答案：一1

知识点解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的

13-1

4-1

04-1=3i=\2（k+1）=0

4k

行列式等于零，即104Al因此得k=-l。

阳+lx2-Xj+3X4=I,

2X1+x+4«j+3%=5,

（2

工、匚网致压力悻组K+2*L*,=-6.无解，则a=

标准答案：,1

知识点解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得

12-1311T12-13I-

21435-01-21-1,

-6」Lo02(1+a)-(1+a)。・6」因为线性方程组无

-0a2-1

解，所以系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以户一1。

,2%,+AX2-z3=6,,

Ax1-x2+X)=b2t

13、已知方程组4X,+5/-50=8总有解，则九应满足的条件是

*1且人/

标准答案:

知识点解析：而于任意的b|,b2,b3,方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A

的秩为3,即

2-1

\A!=(5A+4)(A-1)#0,

4