考研数学二向量

考研数学二向量

1.【单项选择题】设A是mXn矩阵，B是nXm矩阵，且满足AB=E,则

A.A的列向量组线性无关，B的行向量组线性无关.

B.A的列向量组线性无关,B的列向量组线性无关.

C.A的行向量组线性无关,B的列向量组线性无关.

D.A的行向量组线性无关,B的行向量组线性无关.

正确答案：C

参考解析：因为人13=£是皿阶矩阵，所以r(AB)=m.那么r(A)Nr(AB)=m,又因

r(A)Wm,故r(A)=m.

于是A的行秩=r(A)=m,所以A的行向量组线性无关.同理，B的歹秩=r(B)=m,

所以B的列向量组线性无关.

1.【单项选择题】设A是niXn矩阵，B是nXm矩阵，且满足AB=E,则

A.A的列向量组线性无关，B的行向量组线性无关.

B.A的列向量组线性无关，B的列向量组线性无关.

C.A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关.

D.A的行向量组线性无关，B的行向量组线性无关.

正确答案：C

参考解析：因为AB=E是m阶矩阵，所以r(AB)=m.那么r(A)2r(AB)=m,又因

r(A)Wm,故r(A)=m.

于是A的行秩=r(A)=m,所以A的行向量组线性无关.同理，B的列秩=r(B)=m,

所以B的列向量组线性无关.

2.【单项选择题】设a”a2,a3,a4是三维非零向量，则下列命题中正确

的

是

若

a1,a2线性相关，a3,a4线性相关,Maa3,a2+a」必线性相关.

A.若

a1,a,a3线性无关，则—+*,a+a,a3+a《必线性无关.

B.若224

C.a4不能由aI,a,a3线性表示,则a”a,a3必线性相关.

D.若22

a4能由a1,a2,a3线性表示，则a「a2,a3必线性无关.

正确答案：C

参考解析：

因为a「a"，a是四个二维向量,知％,a，aa一定线性相关.

若以必,a线性无关，而a.aaa线性相关,那么a,必可由a：a,a线性表示.现

(C)中a不能由a-a，a线性表示，那班,a2a肯定线性相关•故(C)一定成立.

而当a可由s.a,a线性表出时a.aa既可能线性相关,也可能线性无关,故(D)不

TT

正确,例如珀=(1,0,0儿曲=(0,l,0),a5=(0,0,0),at=(1,1,0)、

有4=■-l-aj.fiai，如,随线性相关.

T

关于(A),若％=(l,0,0).a2=(2,0,0儿乩=(0,1,0)”=(0,3,0)、

T

则有％a线性相关“M线性相关，但at+n=(l,l,0)T,曲+良=(2,3,0)线性无关,

故(A)不正确.

如忆=一①，可知(B)不正确，

3.【单项选择题】设向量组(I):a„a2,…，as；向量组(H)：a”a

2,…，as,as+1,•••,as+t,则正确命题是

A.(I)相关可推导出(II)相关.

B.(I)无关可推导出(II)无关.

C.(II)无关可推导出(I)无关.

D.(II)相关可推导出(I)无关.

正确答案：D

TT

参考解析:若ai=(L0,O),a2=(0,1,O),则a”a2线性无关。当a3=(l,

1,(J)，时,a”a2,a?线性相关，当a3=(0,0,1)，时候,a”a2,a?线性无关。

可知当⑴线性无关时，(H)既可能线性无关亦可能线性相关，所以D正确。

4.【单项选择题】已知仇=(4,-2,a)T,匹=(7,b,4尸可由5=(1,2,3)T,

a2=(-2,1,-1尸线性表示,则

A.a=2,b=-3.

B.a=-2,b=3.

C.a=2,b=3.

D.a=~2,b=-3.

正确答案：A

参考解析：

四,艮可由6,a线性表示

-2：47

5i-106-14

0a—2-6-3

5.【单项选择题】设A为mXn矩阵，C是n阶可逆矩阵，r(A)=r,矩阵B=AC

的秩为n,则

A.r>ri.

B.r<ri.

C.r=r,.

D.r与n和C有关.

正确答案：C

参考解析：秩的公式，如果C可逆则r(AC)=r(A),r(BC)=r(B).

n=r(B)=r(AC)=r(A)=r

6.【单项选择题】设a2,cu线性无关，Bi可由a”a2,a3线性表示，

B2不可由a”a2,a3线性表示，对任意的常数点有().

A.aa2,a3,kBi+Bz线性无关

B.a1,a2,a3,kBi+02线性相关

C.a1,a2,a3,Bi+k也线性无关

D.a1,a2,a3,Bi+kB?线性相关

正确答案：A

参考解析：因为，可由a”a2,a3线性表示，B2不可由a”a2,a3线性表

示，所以志B1+B2一定不可以由向量组aI,a2,(13线性表示，所以a"a2,

a3,是k3+02线性无关,选(A).

7.【单项选择题】设竹阶矩阵A=(a”a2,an),B=(P„32,B

n)oAB=(Y!,y2,…，yn),记向量组(I)：a”a2,…，an；(H)：B”

B2,…，Bn；(III)：y,,丫2,…，丫”若向量组QII)线性相关，则().

A.(I),(H)都线性相关

B.(I)线性相关

C.(H)线性相关

D.(I),(H)至少有一个线性相关

正确答案：D

参考解析：若a”a2,…，叫线性无关。32,…，Bn线性无关，贝U

r(A)=n,r(B)=n,于是r(AB)=n.因为y”丫2,…,Yn线性相关。所以

r(AB)=r(y1,丫2,…，Yn)<n,故a”a2,…，a.与火，匹，…，至少

有一个线性相关，选(D).

8.【单项选择题】设向量组(I):a”a2,a,的秩为口，向量组(II)：

Bl,B2,…，Bs的秩为n,且向量组(II)可由向量组(I)线性表示，则

().

A.ai+Bi,a2+B2,…，a$+Bs的秩为n+n

B.向量组a旦Bi,a2-B2,…，As-Bs的秩为nF

C.向量组加，a2,•••,as,B”匹，…，的秩为门+n

D.向量组ai,a2,•••,as,B”即，…，Bs的秩为n

正确答案：D

参考解析：因为向量组Bi,匹，…，Bs可由向量组a2,a,线性表

示，所以向量组a”a2,•••,a,与向量组a2,…，as,B”32,…，

3等价,所以选(D).

9.【单项选择题】若向量组a“a2,a3,a।线性相关，且向量a,不可由向

量组a”a2,a3,线性表示，则下列结论正确的是().

A.aj,a2,a3线性无关

B.a”a2,a3线性相关

C.aj,a2,a4线性无关

D.a),a2,a4线性相关

正确答案：B

参考解析：若a2,as线性无关，因为&不可由a”a2,as线性表示，所以

at,a2,a3,a」线性无关，与已知矛盾，故a2,a?线性相关，B正确。

10.【单项选择题】设矩阵A=(a1,a2,a3,aJ经初等行变换化为矩阵

B=(Bi,B2,B3,34)>且ai,a2,a3,a4线性无美，a”a2,a3,a4线

性相关，则().

A.①^不能由氏，日2,3线性表示

B.3能由3，62,B3线性表示，但表示法不唯一

C.3能由储，62,B3线性表示，且表示法唯一

D.64能否由防，P2,B3线性表示不能确定

正确答案：C

参考解析：

因为2a线性无关，而降.a.a.g线性相关，所以a可由a：1,a唯一线性表

示，又A=0a・%.%)经过有限次初传行变换化为B=(RJ)/)所以方程组

工山］+工2a?+工：。=%与/也+i：p，+工：/1=人是同解方程组，因为方程组ig+

乙/+i3a=%有唯一解，所以方程组工乩+i*+i”='有唯一解.即小可由人，

%。唯一线性表示,选(C).

11.【单项选择题】假设A是n阶方阵，其秩(A)=r〈n,那么在A的n个行向量

中().

A,必有r个行向量线性无关

B.任意r个行向量线性无关

C.任意r个行向量都构成极大线性无关向量组

D.任何一个行向量列向量均可由其他r个列向量线性表示

正确答案：A

参考解析：因为矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩相等，所以由r(A)=r

得A—•定有r个行向量线性无关，应选(A).

12.【单项选择题】设向量组(I)：a„a2,…,可由向量组(II)：氏，B

「队线性表示，则().

2J若

a1,a2,•••,a「线性无关,则rWs

A.若

B.aa2,…，a,线性相关，贝ljr<s

C若

Bi,以，…，Bs线性无关，则rWs

若

D.

Bi,02,…，B.线性相关，则rWs

正确答案：A

参考解析：因为(I)可由(II)线性表示，所以(I)的秩W(H)的秩，所以若a

1,a2,…，叫线性无关，即(I)的秩=r,则rW(II)的秩Ws,应选(A).

13.【单项选择题】向量组a”a2,a,线性无关的充要条件是().

A.a1,a2,…，a,均不为零向量

B.a),a2,…，a,中任意两个向量的分量不成比例

C.ai,a2,…，a$中任意一个向量均不能由其余sT个向量线性表示

D.a］，a2,…，a$中有一部分向量线性无关

正确答案：C

参考解析：若a”a2，…，a,线性无关，则a1，a2,•••,a,中任一个向量都

不可由其余向量线性表示；反之，若a”a2,…，a,中任一个向量都不可由

其余向量线性表示，则a”a,，…，a.线性无关，应选(C).

14.【单项选择题】设ai=(a”a2,a3)\a2=(bi,b2,b3)\a3=(ci,c2,c3)1,

其中4+5wO(i=l,2,3),则三条直线aiX+biy+Ci=O(i=l,2,3)恰好仅交于

一点的充要条件是().

A.r(a；,a2,a3)=3

B.r(a],a2,a3)=1

C.r(aj,a2,a3)=r(a,,a2)

D.r(a),a2，a3)=r(aa2)=2

正确答案：D

三会农线交f一点.等价于育唯一的工~满足方程组

参考解析："

写成向量形式,即有唯一的7使得F列等式成①,

b,1

b.1=-

1-i1>aaa,比以a可由a-a或性表示•★人示法看•.从而a.a.a仪性相关，

而a«a-线性无关.故ria.a.a)r(a.a)--2.

15.【单项选择题】设a1,a2,a均为3维向量，则对任意常数k和u,向

量组ai+ka3,a2+Ua3线性无关是向量组a1,a2,a3线性无关的().

A.充分必要条件

B.充分非必要条件

C.必要非充分条件

D.既非充分又非必要条件

正确答案：C

■r°〕

idP~=aka>=a+/。•则（p・'）-（at>a.a>10].

参考解析：ku

10

若Ch・a：a线性无关•则矩阵（a：.a：,a.）可逆.故r（R喝）=r（01）=2,所以

kn

ai+ka>at+fa线性无关.

反之，若a-a；线性无关,取a=0,则对任意机〃,必有④+妞a+加线性无关,但

6，…线性相关，故6+如・图+加,线性无关是4。.a线性无关的必要非充分条件.

16.1单项选择题】设向量组a”a2,a「2az+a3线性无关，则下列向量组

线性无关的是（）.

A.a|+a2,a2+a3,a3-a1

B.a1,a2,a3

C.a-a2,a2-a3,a-2a2+a3

D.a,+a2,a2+a3,a[+2a2+a:j

正确答案：B

参考解析：依题意，a1,a2,&3与&1,a2,a^2a2+a3o可互为线性表示，

故其秩相同，所以a”a2,a3线性无关.

17.【单项选择题】设A是mXn矩阵，at,a2,•••,a,是n维列向量，向量

组（I）aI,a2,…，ai,（II）Aa1,Aa2,…，Aat,则正确的是（）.

A.若（I）线性无关，则（II）线性无关

B.若（II）线性相关，贝hl）线性相关

C.若（II）线性无关，贝1）（1）线性无关

D.（I）与（II）具有相同的线性相关性

正确答案：C

参考解析：

什/项CJH反证法•阀4a.a线件和X在不全为零的数5二.…」

。•便华A+自《：+♦”-/*=0.II

工式两边同乘以.4.切

A（ka+Q■ka）/'\ak\a,itAa0.

放Ur.4a.••••ta线性相关.即（D）战住相关.与条件利t•防鼠（I）线性无关.

取小的▲=。.如A.B不正确,而【）3,然人正■.

18.【单项选择题】设向量a1,a2,a3满足kia】+k2a2+k3a3=0,ki,k2,k3为

常数，且khWO,

则（）.

等

价

忐

aa、

AR.3

与

等

aaaa价

：213

与

等

C2价

aa2aa3

与

等

aaaa价

D.”323

正确答案：c

参考解析：两个向量组等价是指这两个向量组可以互相线性表示.

由已知条件-ka1向是否为零不能■定，/不能小定・良哲

可由a«我性表示,排除BJh同样也不能确定a与a处否等价,A不正峥.

对于C.由4A了0.知0可由a.a线性表示.即a=-%a1a.同理,d可由

*1<1I

a«a或件衰/K•乂。a1•aa•a.Hla.rrLia.a'，价.

19.【单项选择题】设n维向量组（I）a”a2,…，ak（k〈n）线性无关，贝|n

维向量组（II）Bi,P2,Bk也线性无关的充要卷件是（）.

A.31,以，…，Bk可由a1，a2,—,ak线性表示

B.a】，a2,•••,dk可由Bi,B2,…，Bk线性表示

C.向量组（I）与向量组（H）等价

D.矩阵（a”a2,•••,aj与（Bi,日2,…，BJ等价

正确答案：D

参考解析：

对于A：在造项A的条件下•可得N口）4r（I）.不能保证「（口）=NI）.故不能

推得（II）线维无关.

对于B：由A2r（U）r（I）=h得NU）=K故6邛.….，线性无关,选项B的条

件是充分条件,但不是必要条件,如（I）（：）•（口）（；）,均线性无关,但（1）不能由（II）线性

表示.

时于3由（I）与（n）等价.即（I）与《n>可互为线性表示•故c不是必要条件.

对于D：小叶A=<aa.•♦•・&，与H“，…A》等价是指N经过有限次初写史

貌化为8.故即阵A与B等价的充分0叁条件通—A）=rlB.

住D的条件下,可知rM）r<6、,又aa,-.a.线性无关.故P”.…/”件无关.

反之•若［/•线性无关•故”U）r（1）h即r（A）riB*•所以A：

B等价.

20.1单项选择题】设A,B均是mXn矩阵，则Ax=0与Bx=0同解的充要条件

是（）.

A.A,B的列向量组等价

B.A,B的行向量组等价

C.A,B是等价矩阵

D.ATX=0与BTX=0同解

正确答案：B

对于B：若Ax=0与Bx=()同解,考虑方程组

I

（）.（n）'<in=o.

参考解析：Bx=0.

则(I)(D)<1D)同解.故NA)=「［卜八8),即A.B的行向城组等价,反之.若A.8的行

向量组等价•记

A=

即列向量组行,0，…./与“,皮•…/等价,故存在矩阵P.。•使得

(a'.a'.a,1)=-p-p)P.

0•…，解)=(cr.a')Q.

所以A=PB,B=Q",故由Ax=0得Bx=QTAX=0.反之,由Bx=0.得

Ar=PBx=0.

即Ax=0与8x=0同解.

对于A,由B的证明知显然不正确.

对于C,相当于r(A)=r(B).它是必要条件而非充分条件.

/I00\(200\

对于D,举反例.如A=(2°°J.

显然，Ax=0,Bx=0同解，但A，X=0与口*=0不同解.

T

21.【填空题】已知向量组ai=(a,0,b)a2=(0,a,c),a3=(f,b,0),线

性相关，则a,b,c必满足.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：abc=0

【解析】

"个〃维向hta,a2*,•••«,线性相关=6I=0.

a0c

a}«a_>«aI=0<z6=­abc-abc=-2al)c.

hcQ

22.【填空题】已知ai,a2,a3线性无关，ga；+2a2+a3,a,+aa2,3a2+

a3线性相关，则a=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：T

【解析】

因为a+2她+窗，3+%，3r+。3线性相关，故有不全为。的©，电5使

Ji(a:+2—+a)+12(4+32)+4(3的+如)=0

即(为+xt)a：+(2xt+az：+3曲)a；+(z(+x3)a,=0

由于saa线性无关,故必有

Ji+的=o

<2j|+皿+34=0

Xi+©=0

因为©N5不全为0,所以上述齐次方程组有非零解.系数行列式必为0,于是

110100

2a3=2a—23=a+1=0

1011-11

从而a=—1.

23.【填空题】已知向量6=(1,a,-1尸可以由ai=(a+2,7,1)T,a2=(1,一

1,2)T线性表出，

则a=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：3或-4

【分析】因为对任何a.aa分量不成比例,故线性无关,所以P可由©a线性表出的

充分必要条件是①a4线性相关,又因aaJ是3个:.维向址.故a.a/线性相关的充分

必要条件是行列式地通，川=0.

由于

。+211

%,&,川=7-1a

12-1

a+2-2a-3a+3

=7-15a+7=—2(a2+a—12)

100

所以a=3或a=-4.

TT

24.【填空题】已知向量组6=(1,0,1,2),a1=(1,1,3,1),a2=(2,-

1,a,5尸线性相关，则2=.

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正确答案:

参考解析：0

【解析】

a、a线性相关=齐次方程组（6,a.,.内）x。有非零解

0秩r(ai»a2•«()<3

'112"_112'

01—101-1

1'U\=-A

13a00a

_2_15.,000.

25.【填空题】设％=「［。1J「•则和矩阵A可交换的矩阵是

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案:

-Z任意常数

参考解析：L。

【解析】

与A可交换,则

耳+4=

+/=©+q㈤一工=

即0

%3=/I/=0

=Na+JCi

26.【填空题】

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案:

参考解析：

111

a，…线性相关的充分必要条件是20—1=0,从而a=

-1a3

27.【填空题】设向量组a1，a2,a3线性无关，＞aa2+4a3,2aa2-a

3,a2+a3线性相关，则a=

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正确答案：

参考解析：

/I20、

(at-Faa,+«2«i4-a，—a.a,H-aJ=(«j.a.a.)a11.

因为/,aq线性无关，而电+*a+la,如+aa.a+a%性相U以

J20、120

ra11<3,即a11=0,解得a=5.

'4-1V4-11

28.【填空题】

八3山+2，

设a一二2=a+1.Y=a—4,且a,八y两两正交，则a=,b=

T1''9'

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正确答案:

参考解析:

3+2“+2+3=0.

因为a./hy正交，所以，+2+2a—8+27=0,解得a=-4力=-13.

3Z>+6+a"—3a—4+9=0,

29.【填空题】

T021

1203

设a1=.a?=«a।=,则明,a2,a；•a1的一个极大线性无关组为

2133

2,5.-1，7

，其余的向届用极大线性无关组表示为.

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正确答案:

参考解析：

1021110211021

120302-2201-11

|(a；«a,,a.a,)=—►—►

213301-110000

25-17,04-440000

at=2a,-a2,

则向量组a-%,a：,明的一个极大线性无关组为。「a?,且，

%=%+%.

TT

30.【填空题】已知向量ai=(l,2,3),a2=(2,-1,1),a3=(-2,k,4尸线

性相关，则1<=

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正确答案：

参考解析：.于3个3维向量线性相关性的问题，用行列式或秩.本题用秩进

行计算.

1314]|0-510J|006T

由a,a.a线桂相关.则r(A)V3.故A6.

31.【解答题】已知a"a2,…，明是齐次方程组Ax=0的基础解系，B不是

Ax=0的解，证明B+a”P+a2,•••,6+—线性无关.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参芟解析：(用定义法)

设九(#+。|)+白覃+。2)+，”+儿般+缶)=0(1)

即出+A+…+儿)0+6必++…+6&=0(2)

因a.a.",.a.是Ar=()的解,有，切,=0(/=12…/),又月不是Ar=。的解,有Afi*0.

用A左乘式(2),并把加,=0代人，得

出+A?+…+L)那=°(3)

由加W0知

卜+6?+…+丸=0(4)

把式⑷代人式⑵，有

尢3+6?a?+”,+儿酊=0(5)

因3a，…a是Ax=0的基础解系,知sa,…a必线性无关.

由式(5),按线性无关定义.知必有

.—0,—=0.…血=0

从而P+g,p+a,J+a线性无关.

32.【解答题】设向量组(I)a”a2,a3,(II)Qt,a2,a3,a4,(HI)a

I,a2,a3,a5,且r(I)=r(II)=3,r(111)=4,证明：向量组a”a2,a3,

a5-&i的秩为4.

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参考解析：法1依题意，只要证a”a2,a3，aa”线性无关，用定义.

设lta：+儿(。-«,)=0.

由r(I)r(||>=3.知aa.a级性无关.a>a-a>>a线性相关,故a可由a.aa线

性表示.

谀4=1a+Aala,将其代人(I式,用

(k4/ja,<<,；X：k.,IQ(kAktta-k,a=0.

由r(IU)=•!.知a.a.a-a线性Jt关•故

内一&儿=0.

kj一船4—0«

k-A.*.-0.

川得AAA：=A=0且解唯一，所以a.a,a,aa线性无关•即秩为4.

证法2利用向量组的帙证明.

由r(U)=r(a*a(a-a)=r(1)—r(a.a：,a)=3・kla,口J由cr-a.a―性友示.

又r(UI)=r<a.a.a@，4.知a不能由aa>a线竹表示.故aa也不能由

a.a-a缎性及示(4、则由•可由a-a.ad,作，示•可得a也能曲Qa.a”件&示)《

故rla.a.a.aa)r(a.a.a)-13-1L

33.【解答题】设A是3阶方阵，ai,a2为A的分别属于特征值-2,1的特征

向量，KAa3=a2+a3,

证明：a”a2,a3线性无关.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：法1由特征值的定义，有人。尸-2(11,Aa2=a2

设t・i+A：a：+蜀a"0.

用A左集I式.利2ka+*,«**,(at+aI0.

12aka0.由于a.a出4的属于不同特征值的特征向M.故a.a线

性无关.所以£3—<1.代人式Q得Aa=0.乂aW0(aR将征向M)•故£；0.从而

aaa及fl尢关.

由M--3-(AE)a=-3«h.

4a=a：>(A£>a—0.

Aa-a+a—(AE)a—a♦

设ii«i+ii«j=0.①

用A-E左乘①式.得一33&+Aa=0.由6.a线性无关,知相=A=0,代人①式.

得A=0,从而%，a.&线性无关.

/1000]\

=<a«a>a«a.)>0=02005.

34.【解答题】to030J

(I)求向量组ai,a2,a3,a4的一个极大线性无关组;

(II)求可逆矩阵P3X3,Q.X4,使得PAQ=B.

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参考解析：(I)对A进行初等行变换，得

1

•向M组a.a.aJi1a.a.a.a的一1、极大线付无左组.

(II)对C作初等列变换，得

C=>200—*0200=6.

1003—3,!0030!

the(1)£1：(-2)AE,(1)8.其中E(u)表示单位矩许第j行(成第，列)乘以a加也

第，行(或第/列)上周

他。PAQ0.

TT

35.【解答题】设向量组a尸(1,0,1),a2=(0,1,1),a3=(l,3,5尸不能

T

由向量组3=(1,1,1尸,3=(1,2,3),33=(3,4,aL线性表示,求a的

值，并将Bi,Bz,B3用a1，a2,a3线性表示.

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参考解析：

I个3维向)"tP.«.</-定线性相关.若6.6f飞件无关制

O'1.^.，可由ppn或绊太小.41肚」千小.iPpfl”竹相关.从而

，得“3•此时•向整组aaa不能由少邛/线件表示.

令A(a・。・5谓.，.，)•对A进行初等行变换.

(101I131()002

故«=2<i+4aa•P=a2a.fi=aI>a加.

T1

36.【解答题】设A=(a”a2,a3),其中a尸(1,0,1),a2=(l,1,2),

TT

a3=(1,2,以)'，B=(Bi,匹)，其中Bi=(T,2,1),日2=(1,0,6).

(I)问a,b为何值时，Bi,匹不能同时由a1,a2,a3线性表示；

(II)问a,b为何值时，Bi,B2可同时由a”a2,a3线性表示，并求表达

式.

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参考解析：(I)对增广矩阵(A|B)施行初等行变换有

1111.-1111Il1]>111-11

|0]22。一<*|01220*01220).

12aIb|OIa-126-11!00a-306-11

当a=3/工1时,AX-H无解.即，.，不能同时也q.aa线性&示.

(D)当。声3.对任。儿AX8有曜f•记X，(耳.耳).则,MB的幅为

(-3.2»0):..li|=’的解力(1+J'V二1)•即友达式为

f'iaA2a..0•a•

A/l+㈡篙-邈二4十J.

当a=35=1时.AX=B有无分多X.，W=p的*为

*(1♦-2.1)T4-(—2»0,l)T»

W=fi的X为/<】・一2・1〉+(1.0.0)：・故全部鳏力

[4-21+(

X--2k-21(k,l为任意常数)・

li+lI|

表达式为夕=a2)%—2Aai+&+Da•p=(/+l)a24+/a・

K中h/为任盘常数.

37.【解答题】设n维向量组ai,a2,•••,c(k(k<n)线性无关，且ak-尸入ia什

入2a2+…+入kdk,入i#0,i=l,2,­••,k,证明：a1，a2,•••,ak,a卜+i中

任何k个向量都线性无关.

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参考解析：证法1

(用定义)由已知条件,未证阚从a.a••••・<1..a中工仲个后•刷下的£

个是线性无关的.不失一般性,不妨设去掉a.即需证明aa.….a,,a级件无关.

设夕:叫+加。<+…+〃4h—।

将a,-Aa,-Aa-”•+14代人①式,倭理得

A；。”<fXi+小A»2a>u.

由a・a：•….a线性无关,故…却…=出4儿=0.

又入土0（i=1.2.…J）.得内.ft。•故a.a.•••.a,.a线性无关.

不失•般性.g表向丁扭（I・a.…a・<HS.….a0.

由已如条件・（I）与（U）可互为线性表示.所以r（1）=r（U）=*.即（II）中2个向就

是线性无关的.

去3（反证法）

毁设a.a.线件相关,而已知a线件无关.故a可由a.….a线件会

示•设+a,a.•

X-4a一•••一入皿.

②一①,得a：la.+•••+(A«—a.a♦

其中至少4"工仇这表明a.Q.…a线件相关.勺已知条件于牖,故a.….aa线性无关.

38.【解答题】设A是3阶方阵，A的特征值为人尸1,入2=2,入3=3,对应的特

Tr

征向量分别为a.=(1,1,1),a2=(1,2,4)i,a3=(l,3,9),另一向量B

=（1,h3）r.

（I）将B用aI，a2,a3线性表示;

（11）求川8（n为正整数）.

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参考解析：（I）

a-；a•则，

4x,+9x

对方程组的增广矩阵A作初等行变换.得

[11111111111100：2

=1231120—►0120010：—2

|o

49338200220011

解得唯一解.口=2=1.故夕=2a-2a+小・

（II）

由SAaaA'a(I1.2.3).故

~a-+a,)JAaaAa

9_9*,

?+3*

39.【解答题】设A是mXn矩阵，a।与a2是非齐次线性方程组4*加的两个不

同解.

（I）证明：a„a「a2线性无关;

(II)若B是Ax=O的一个非零解向量，r(A)=nT,证明：B,a”a2线性相

关.

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参考解析：(I)

用定义法，设

3%-a：)=0.1

①式两边同时左票得

(la-,AaAa)0.

f9W+h(bb)>。,即•.因卜W•.可用M=Q.

将A：-0代人Q式•有3(a—a)=0.ifija；-a工0.故*=0•所以a.a—a,线

性无先

(II)

由，与a-a都是Ax=0的非平解•且NA)=”1,即位-0只有个线性

无关的解•所以Paa：线性相关,即存在不全为零的瓦.瓦.使得

/尾(q—a.)=0,

可知乐工0(若瓦=0.由a1一a：W。,得尢=0.与瓦麋：不全为零矛盾)，故

所以夕可由a：.a线性表示,即/La-a线性相关.

40.【解答题】设A是3阶矩阵，aKi=l,2,3)是3维非零列向量，且Aa.

ai(i=l,2,3),a=aj+a2+a3,证明：a,Aa,A2a线性无关.

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参考解析：由Aa|=ci],Aa2=2a2,Aa3=3a3,且a2,a3是非零列向量，

知a”a2,a3是不同特征值对应的特征向量，故a1，a2,线性无关.设

乩。-&M+A.4a0.

乂laA(a+a)。；•

AaA(a4-2a-；S)av4a+9a•

将上两式代人①式•傅

i：(aa)+tia4-2a.-3a>+A<a-<a+"a)0.

即(Ai+-+-)。+出+2kt+%>o：+(*+3k：+/).-0.

fllai.aa线性无关,加

由于齐次线性方程组系数行列式为范德蒙德行列式且不为零.故只有零解A=八=

ki=0.从而(1..*!..4€1线件无关.

41.【解答题】⑴设向量组a1(1,1,1,2)T,a2=(3,a+4,2a+5,a+7)T,

a3=(4,6,8,10)r,a4=(2,3,2a+3,5)「，a=(0,1,3,6)T.

(I)求向量组a1，a2,a3,a,的秩及其一个极大线性无关组；

（II）若口不能由a1，a2,&3,a4线性表示，求a,b的取值.

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参考解析：对（。1，02，a3,a."a）作初等行变换，有

1342013420

1a+46310a+l211

・一

(aq«aa:12a+582a+3302a+242a+13

2a+7105b0a4-121b

1342：0

0a+1211

0002a-11

0000:b-1

（J）当.工J时，八a.a:.a）=3.a1,aa是一个极大线性无关组；

当a=1•时,r（Qi.a.a；）=2.a•a是一个极大线性无关组.

（II）由于a不能由a.,a.a线性表示,即方程组

a+工。』+jr3a-a

无解•故a=•或641.

42.【解答题】设向量组a”a2,a3线性无关，证明：a1+a2+a3,a42a

2+3a3,a1+4a2+9a3线性无关.

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参考解析：方法一

令A।(aaa)(i(a,2aaJa))AJa+la-M,)、0.即

(k*k+A])a+(A।*24•\k)a**+3+，9A1)a0«

因为a.a.a线件无关•所以。A-2k-U

k।+3A.+9£

而“；-n