考研数学一多维随机变量及其分布

考研数学一多维随机变量及其分布

1.【单项选择题】设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N(0,1)与

N(l,1),则().

1

A(江南博哥).P{X+YW1}=2

1

B.P{X+YW0}=2

1

C.P{X-YW1}=2

1

D.P{X-Y<0}=2

正确答案：A

参考解析：由X,Y相互独立,X〜N(0,1),Y〜N(L1),知X+Y〜N(O+L

1+1)=N(1,2),

1

所以X+Y的概率密度曲线关于u=l对称，故P{X+YW1}=2

2.【单项选择题】设二维随机变量(X”X2)的概率密度为f।(X“xj,Y尸2X”

X2=3X2,则(Y“Y2)的概率密度f2(y”y2)=().

A.A⑵1,3y2)

B.

Cy/i<2y,.35r;)

D,"G".)

正确答案：D

参考解析：

解记（X〃X?）的分布函数为片（八.八），（匕,匕）的分布函数为E（y,则

F»（yi•W）=P{Yi<>1,Y2<>,}=P{2X&yi,3X：<y2}

=P{X|<[1,X2<^-yt>=Ft（4-yi'

4J\»M/

故

=9・打阳，卜j="(聂+z)•

3.【单项选择题】设随机变量X,Y均服从N(0,1),且X与Y相互独立，则

（）.

1

A.P{X—YNO}=4

1

B.P{X+Y20}=4

1

C.P{min{X,Y)20}=4

1

D.P(max{X,Y)20}=4

正确答案：C

参考解析：令A尸{X20),A2={Y^0),则考与A2相互独立,且

L,1

P(A1)=P(A2)=^(x)dx=—•

其中小外为N(0.1)的概率密度.故

P<min{X,Y)》0}=P{X2O・Y2O}=P(A}AZ)=P(AQP(&)=J,

4

c正确.

由X,y相互独立且均服从N(O.l),知X+Y.X-y服从N(0.2),故

p{x+y>0}=p{x-y2o)=),

£»

P{max{X,Y}》0}=P(A,U4)=1-P(A,UAz)

——a

=1-P(A))P(A2)=y,

选项A,B,D错误.

3.【单项选择题】设随机变量X,Y均服从N(0,1),且X与Y相互独立，则

().

1

A.P{X—Y20}=4

1

B.P{X+Y20}=4

1

C.P{min{X,Y)20}=4

1

D.P(max{X,Y)20}=4

正确答案：C

参考解析：令A尸{XNO),A2={YN0),则人与A2相互独立，且

P(A1)=P(A2)=^(x)dj=—•

其中小外为N(0J)的概率密度.故

P<min{X,Y)》0}=P{X2O・Y2O}=P(AA)=P(AQP(&)=J,

}Z4

c正确.

由X,y相互独立且均服从N(O.l),知X+Y.X-y服从N(0.2),故

p{x+y>0}=p{x-y2o)=),

£»

P{max{X,Y}》0}=P(A,U4)=1-P(A,UA)

——az

=1-P(A))P(A2)=y,

选项A,B,D错误.

4.【单项选择题】设A,B,C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相

互独立，则A-B与C相互独立的充分必要条件是

A.A与B相互独立.

B.A与B互不相容.

C.AB与C相互独立.

D.AB与C互不相容.

正确答案：C

参考解析：A-B与C独Z即P((Ap)C)=P(A-B)P(C).

而P((A-B)C)=P(ABC)=P(ACB)=P(AC-B)=P(AC)-P(ABC).

又P(A-B)P(C)=[P(A)-P(AB)]P(C)=P(A)P(C)-P(AB)P(C)

=P(AC)-P(AB)P(C),

所以A-B与C独立的充分必要条件是P(AC)-P(ABC)=P(AC)-P(AB)P(C),即

P(ABC)=POB)P(C),就是AB与C相互独立.选(C).

5.【单项选择题】

问

A.-1.

B.0.

1

c.2.

D.1.

正确答案：C

参考解析：

显然,我们需由等式P{X+Y&I)=:确定分为此需要知道x+y的分布.

由题设x与y独立知x+丫〜N(2〃.i),所以由正态分布概率密度对称性知

P(X+Y42〃)=y,

得到2/=:，选择(C).

6.【单项选择题】一

设相互独立的两随机变艮X和丫,其中X〜8(1.3),而Y具有概率密度函数

4)=｛：：•则P[X+Y<T的值为

1

A..

1

B.3.

1

C.」.

1

D.2.

正确答案：A

参考解析：X〜B(l,2),X取值只能X=0或X=l,将X=0和X=1看成完备事件

组，用全概率公式有

PX+y《!|=P(X=O}PlX+Y(］|X=o|+P{X=l}PX+Y&J|X=1

uj\0jIJ

=1.PX=O|+1・PU+Y《〈Ix=U

L3IL|J

4-pby|+rpiY<4|

=—X—+—xo=—

2326,

7.【单项选择题】设相互独立的两随机变量X,Y均服从［0,3］上的均匀分

布，则P{l〈max(X,Y)W2)的值为

A.1/6

B.1/4

C.1/3

D.1/2

正确答案：C

参考解析：P{l<max(X,Y)W2}=P{max(X,Y)W2}-P{max(X,Y)W1}

=P{XW2,YW2}-P{XW1,YW1}

=P{XW2}P{YW2}-P{XW1}P{Y

Wl}

=2/3X2/3-l/3Xl/3=l/3

8.1单项选择题】

101i

设随机变量X,〜111(i=1.2),且满足P(X|X2=0)=1,则P(X1=X?)等

'777'

T().

(A)O(B)4(C)4-(D)l

42

A.A

B.B

C.C

D.D

正确答案：A

参考解析：由题意得

P(X1=-1,X?=-1)=P(X|=-l,X2=l)

=P(X]=1.X2=-1)=P(XI=LX2=1)=0.

P(X1=-l,X2=0)=P(X,=-l)=7，P(X,=1,X2=O)=P(X1=1)=1，

44

P(X,=O,X,=-1)=P(X,=-1)=-,P(X1=O,X2=1)=P(X,=1)=5，

44

故P(X1=0,X2=0)=0,于是

P(X1=X2)=P(X1=-1,X2=-1)+P(X1=O.X2=0)4-P(X,=l.X2=1)=0,

选(A).

4

9.【单项选择题】设X,Y为两个随机变量，P(XW1,YW1)=9,P(XWl)=P(y

5

Wl)=9,则P(min(X,Y)W1)=().

4

A.9

20

B.SI

c.3

D.3

正确答案：c

参考解析：

令A={X{1},B={丫&1}.则P(AB)=9.P(A)=P(B)=*|j

P{min(X,y)<l}=l-P{min(X.y)>l)=l-P(X>l.r>l)=l-P(AB)

=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=［，iS(C).

10.1单项选择题】设(X,Y)服从二维正态分布，则下列I说法不正确的是

().

A.X,Y一定相互独立

B.X,Y的任意线性组合LX+合(L,B不全为零)服从正态分布

C.X,Y都服从正态分布

D.P=0EftX,Y相互独立

正确答案：A

参考解析：因为(X,Y)服从二维正态分布，所以(B),(C),(D)都是正确的，只

有当P=0时，X,Y才相互独立，所以选(A).

11.【单项选择题】设随机变量X,Y都是正态变量，且X,Y不相关，则

().

A.X,Y一定相互独立

B.(X,Y)一定服从二维正态分布

C.X,Y不一定相互独立

D.X+Y服从一维正态分布

正确答案：C

参考解析：只有当(X,Y)服从二维正态分布时，X,Y独立才与X,Y不相关等

价，由X,Y仅仅是正态变量且不相关不能推出x,Y相互独立，(A)不对；若

X,Y都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但X,Y不一定

相互独立，(B)不对；当X,Y相互独立时才能推出X+Y服从一维正态分布，(D)

不对，故选(C).

12.【单项选择题】设随机变量X,Y相互独立且均服从参数为1的指数分布，

则().

A.P{X=Y）=1

B.P{X<Y}=0

C.P{X=Y}=0

D.PX-T

正确答案：C

参考解析：依题设，X,Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，则

（eJ\J>Oi|ey>01

X-/）（!）=Y~A（y）=

|0,140,|0,

故（X.Y）的概率密度为

x>O.j>0.

=/|（工）/式山=i；

工《。或y40,

知联合概率密度/Cr，y）关于直线9=工对称,由对称性，事件{XCY}所覆盖区域后好为联合摄串

密度正概率定义区域对称轴的一帆所以有P{X〈Y）=$■,知（B）不正确.

又由于（X,Y）正概率密度区域为（（{3）］工>0,），>0邛件4十丫<0闱盖区域不在该区域

内，则P（X+Y〈O）=。,知（D）不正耽

另外，概率P（X=y间表示为定义在直线5=1上的二歪积分,即有P{X=Y）=0,%（A）

不正确，故选（C）..

13.【单项选择题】

已知随机变址（X1,X?）的机率密度为人但.工）,设匕=2X,,y?=9x?,则随机变位

（Y..YJ的概率密度上（加,贝）=（）.

A.力信・3山）

B.4Zl（^,：b，2）

c.3）

D.9专）

正确答案：B

参考解析：

设（X「X?）的分布函数为卜；（为・q）.（匕,丫_）的分布函数为F?（y「s）,则

=P(XI<^,X2<3J2UF1(^3J2),

所以

'*)='合；=f/'(方'3北).

14.【单项选择题】设随机变量X〜N(l,1),Y〜N(-1,1),且X,Y相互独

立，则下列结论不正确的是().

A.(X,Y)服从二维正态分布

B.2X+Y服从正态分布

「P2XT>1>=J

D.2X+Y与X+2Y相互独立

正确答案：D

参考解析：由题意，(A),(B)正确

对于(C),

E(2X+Y)=2EX+EY=2Xl-l=l,

于是2X+Y〜N(l,小乂。〉。)，

故P{2X+Y41}==1,

即P(2X+Y>1}=1-P(2X+Y41)=1,(C)正确,由排除法,选(D).

事实上，

Cov(2X+Y.X+2y)=Cov(2X.X)+Cov(2X,2D+Cov(y.X)+Cov(y,2y),

因x.y相互独立，则Cov(x,y)=o,于是

Cov(2X+Y,X+2Y)=2DX+2DY=2X1+2X1=4工0,

故2X+Y,X+2丫相关,一定不独立.

15.【填空题】设X与Y相互独立且均服从参数为人的指数分布，则Z=min{X,

Y}的分布函数F“z)=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

1-c"♦;>0.

参考解析：3J-0.

【解析】

依题设・X与、'的分布函数均为F(jjn

10.工生U・

F/(x)■PminX♦Yw；:}=1—P'minX・Y>*1

1P\'〉/'\.・，》•；

«1-[1-F(r)?-l~e-,e]?'

10>t&o.

可见min{X,Y)服从参数为2人的指数分布.

16.【填空题】设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为入=1的指数分布，Y

服从参数为0.6的0—1分布，则P{X+YN1.6}=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：0.4”+。.Ge'"

【解析】

应用全概率公式，有P{X+Y21.6}

=P{Y=O}・P{X+Y21.6|Y=O}+P{Y=1}・P{X+Y21.61Y=l}

=0.4P{X21.61Y=0}+0.6P{X20.61Y=l}.

由于X与Y相互独立，故

P{X21.6|Y=O}=P{X2L6}=1-P{X<1.6}=e-16.

同理，可得P{X20.6|Y=l}=e-°",故

P{X+Y2L6}=0.4eL6+0.6e-0-6.

1

17.【填空题】设随机变量X与Y相互独立，X服从二项分布B(4,2),Y服

从人=1的泊松分布，则概率P{l〈max{X,Y)W3)=.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

15

参考解析：、<」

【解析】

记U=max{X,Y),依题设，有

P1VmaxiA）《

而

18.【填空题】设X,Y相互独立且都服从(0,2)上的均匀分布，令2=01N。,

Y},则P(0〈Z〈l)=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：由X,Y在(0,2)上服从均匀分布得

0,z<0»0,y<0,

Fx(r)=«5,04I<2,Fy(y)=«白。4y<2,

ww

LI》2,1，y22.

因为X,丫相互独立，所以

Fz（z）=P（Z4z）=l-P（Z>z）=l-P（min{X,y）〉z）=l-P（X>z.y〉z）

=i-p（x>c）p（y>z）=i-[i-p（xCZ）][I-P（Y<2）]

=1—[1—FX（N）][1—Fy（z）J♦

3

于是P(O<Z<1)=FZ(1)-F2(O)=J.

19.【填空题】

设二维随机变量(XI)在区域D=卜可)；l4'r&e：上服从均匀分布,则(X

Y)关于X的边缘概率密度fx(x)在点x=e处的值为.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

J_

参考解析：参

【解析】

区域D如图阴影部分所示，它的面积

S=|-dx=Inx=2.

Jixi

所以（X・Y）的概率密度为

Io.其他.

20.【填空题】设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间［0,3］上的均匀分

布，则P{max{X,Y)WD=

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

J_

参考解析：9

【解析】

由题设,随机变址X与丫相互独立,且均服从区间［0,3］上的均匀分布,则它们的

联合分G服从二维均匀分布.正概率密度区域是由确定的正方形区域,而枳为9.

其中事件{maxXZ4〕表示随机变址X与丫巾出大的小于等于1,等价于X与丫均小于等于I.即

{maxIXY}41；=X41)邛件覆盖正概率密度区域面积为1.所以P(max{XM41=1,

21.【解答题】设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为"

\XI

.X01

(1)求2乂+丫,max{求Y},min{X,Y}的分布律;

(II)求P{min{X,Y}20}；

(m)问X与y是否相互独立?说明理由.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：(I)随机变量取值情况如下：

(X.Y)(0.-1)(0.1)(1,-1)(1.1)

h3193

16161616

2X+Y一1113

max{X.Y}0111

min{X.y)—10-11

故

2X4-Y-113

33

Pv16816

max{X.Y0j

-

1"T"-n

p1616

minX•Y10i

P

(II)

Pmin(X.y>—2+㈢.

161641

(IIDX与Y的边缘分布律分别为

X01YI-I

|1§IS

PI*TPI了

显然满足P.=P.••故x与丫相互独立.

22.【解答题】设随机变量(X,Y)的概率密度为

1Aa|

’1♦J*1,yJT・

0,B他.

(I)求边缘概率密度fx(x),fv(y)；

(II)求条件概率密度fxiv(x|y),fY|x(y|x);

(III)

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：(I)

/(jr,y)d_y=""0<x<1,

10,其他

l2x.0<x<

1o・其他.

0<><1,

f(.x»y)dx—

<y<0.

其他，

I>l<1.

比他.

--.IjKx<1,

yI

其他.

IyIVhV1.

其他.

(III)

PX>\Y>0]

4

23.【解答题】设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

/“-I伙。其J-他>.0,V>0.

(1)求常数女的值，并判别X与Y是否相互独立，说明理由;

(11)求2=乂+丫的概率密度fz(z).

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：(I)由

C-

LJ/(♦■y〉cLrdy■

m■12♦故

x>Q.y>0«

其他

又由于/M(X)—f/(x»y)dy-|】2b'•e"d_y=4ex>0.

可得介3・1e”・连。•显然’7)

具IE.共但・

八。)・/,心).故X与Y相互发立.

(ID

由卷枳公式•盯/z<x)=II)/Y(W-jr)dj.

当nVO时=0：当时.

/,(:)=[123“・<dx-12|\-dx-11

24.【解答题】设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为

/X(X)=/y(j)=',

|O.z&O.|0«y40,

,iXVY

其中为>0•心>0为常数,令Z=八v求Z的分布律和分布函数.

AC

请查看答案解析后对本题进行判断：.答对了滓错了

参考解析：由X与Y相互独立，有

/(x.y)-/x(x)-My}-(0其他.

fla

P{Z-1)-P(X<Y)=|AAeT/"(Lrdy

=AtAjIe'4|*cLrIe*iydy=--:丁.

J•J•A|+Aj

P(Z-0>=1-P{Z-1)-.乱.

Ai+Ai

[0«z<0>

分布函Be为F/(r)---•04tV1♦

Ai+2*

[ita?I.

25.【解答题】设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

.1v•11*'r*v'*'«

/(“♦y)n(一一

'•10.其他.

(I)求X与Y的边缘概率密度，并判别X与Y是否相互独立；

(II)求(X,Y)的分布函数F(x,y)；

(皿)求Z=X+Y的概率密度fz(z).

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：(I)

〃(幻=「八3曲=JLe山，x>0,

10,x<0

_/xe*«z>0,

10,x<0,

rtf

/•/、f'rt\JJxe->dx.y>0,

/y(y)=/<x,y)dx-<Jo1

J-*lo,

=Jy>0・

IO,y<0,

由于/-(x.v)fAx)•八(y),故X与Y不相互独立.

(II)F(x,y)=F{XWx,YWy).

专电一点(z・y)的分布函数.

当JTVO或yVO时，F(j*.y)-0s当O《yV«rV+5时•如图18*2(A)所取.

F(x«y)-P{X«jr.Y4y),dy|xe-,cLr■1-(/V+y+1)e"1

y

(a)(b)

B18-2

当04工VyV+8时•如图182(b)所示.

F(i.y)=PXx.Y>=|dxfjrc-1—(x4-1)e*—

J0』”

(in)求fz(z)用卷积公式.

/z(z)。f/(x>z-x)<Lr.

当£V0时•//(£)-01当0V/<t—/时♦/(r•:.r)不为0・

即0VXV个•故当w20时•如图183所示.

，z(t).J.J—5/也1.e"+(彳一1)e十.

n11-3

26.【解答题】设随机变量X与Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为

2

**r•2，

/(x)=

.0・其他.

求z二f的分布函数和微率密度］

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：由X与Y相互独立，知(X,Y)的概率密度为

,jr>2,y>2.

/(x.j)=<x2y2

lo,*其他.

用定义法,Fz(？)=P{Z^z}=尸{令az}.

当zV0时,Fz(z)=P(0)=0»

当04zV1时•如图18-4所示.

Fz(?)=P{y<«}=P<(X.Y)6G}

当z》1时,Fz(z)=P{y<«}=l-P<(X.y)eD}

nix-4

0«

故分布函数为

假率密度为

27.【解答题】设随机变量X与Y相互独立，X〜N（0,。与，丫服从[-a,

a]（a〉0）上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度（可用①（x）表示）.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：依题意，Y的概率密度为

io.其他，

X的微率密度为/M(X)=rL-e5.-oo<x<4-«.

v2x(y

由于X与丫相互独立•由卷积公式•得

广’r*1“川’1

=|/x(z~y)/V(y)dy—|—rzzre.•r-dy

JFJrv2*0

为将箕化为标准正态分布的分布函数3(1).令匚3人则dy-故

28.【解答题】在区间［0,1］上随机地掷两点，求这两点间距离的概率密度.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：设x和y分别表示两点的坐标，则(X,Y)服从均匀分布，

其微率密度为人工.山。瀛:

所求问题归靖为求Z=X1Y的M率密度.

用定义法.FJz)=PZ&z}=F(IX-Y|&Q

(T

=1|/(工沙)业“・

..

其中D：I］一y星•如图18-8所示.

当*V0时•F/(z)9():当0<£41时・

nr1

F/(z)=I/(jr♦y)dLrdy11一2•—(1-z)J-24—z:i

*

当w>l时.D为•故FI(£>=1♦即

/OfzV0.

Fz(Z)=<2彳一0<*vI.

I［■z>］•

所以Z-IX-Y的概率密度为

//K匚，/、'2(1—z)•04zVl,

=FZ")=IQ.其他.

明18-8

29.【解答题】设二维随机变量(X,丫)在口={6,y)|0WxW2,OWyWl)上服从

p.X<Y.)0,X42Y,

均匀分布，令-'1.'4.，求(U,V)的联合分布律，

并判别U与V是否相互独立.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：(U,V)可能的值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),依题设，

(X,Y)的概率密度为

rt、I—«04jr42・04yWl.

lo,箕他.

号虑到/Q・y)的非零取值为常数去•可直接利用面枳进行求解.如图

189所示•格区域D划分为三个三M形区域R.R.R,其面积分别为

§・S：.S区域D的面根RS=S+S：+S,=2.用面枳求法.科

同理,得P{X>2Y]=)・P{yVX《2Y)=J.故

p{U=o.v=o}=p(x<y,x42y}=P{x<y)=),

p{u=o.v=n=p{x<y.x>2Y>=o,

P(U=l.V=0}=P{X>y,X<2Y}=P{Y<X^2Y}=g.

4

P(U=l,V=l)=l-4--O-4-=4-»

442

故

'01IU的边缘

---------------

,।—

4

1T

v的边域4

显然PijWpi.•p.j,故U与V不相互独立.

30.【解答题】设随机变量X和Y都在[a,b]上服从均匀分布，且X与Y相互

独立.

(I)求Z]=max{X,Y}和求=min{X,Y}的概率密度;

(II)求(Z”Z2)的联合概率密度.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：(I)依题设，X与Y的分布函数分别为

JTVae

F、(H)=f/(z)d/=<£­—-,a&JT<Zb.

J—b-a

、1•工,b.

Oty<a

P.v—a

FY(v)=/(r)d/・<+------♦a£yVb.

J.。一.

'19y，b.

乙的分布函数为Fz(?)=PZ[W工=Pmax(火・Vz1,

Z的分布函数为

FZ|(t)0Pz

P{X>z.Y>：f-1-[1P：X<

f0**Va♦

Jl-a^t<h.

\b-aI

】♦上)6«

(24b-z)//z

、「，,、IT；------rr•aW工W

)・F。(h)=<(6—a>

10，其他.

(II)⑵，ZJ的联合分布函数为

F(ti.z：)=P{ZiC必2C5}

=PmaxX.Y石Z\•minX•Yl45.

当©V孙时・F(说用)=0$当：>t时.

F(，i•%)=P<(max^X.y(©)fl1。一(minXtY>z)])

=P<(max*!X.Y)W句)一(max：X.Y；&)Q(minX・Y

・Pmax(X・Y)&)—Pi(maxX.H(孙)A(miniX•Y

=FZ91-P(X<5・Y《Z|>f)<X>rl>Y>xl)J

■F[](£[)-PM】VX《N]♦5<Y4孙》•

由(I)的结果：可褥

故(乙.Z?)的联合概率密度为

tZ：)_JJr-------r•a<:

/(€|•<>)——5~~~z------.<(6—a)”

!o.苴劭

31.【解答题】

设(X,Y)的微率密度为=<4''

0,"他.

(I)求X和Y的边缘概率密度，并判别X与Y是否相互独立；

2

(II)记Zi=X2,Z2=Y,求Z“Z2的分布函数及⑵，求的联合分布函数.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：(I)当|x|〈l时，X的边缘概率密度为

f111

石

fx(.r)=Jf(jrty)dy=|—(14-xy)d1y=।

当I1I》1时JxQ)=。.故

同理.可阳y的边缘微率密度为

io.iyi

显然・/(1・3H/、(J)•/v(y)•故X与丫不相互独立.

(II)设ZFX2与Z2=Y2的分布函数分别为R(x)与Fz(y),(Z1,Z2)的分布函数为

F(x,y).

当工V0时.RQ)=P{X2=0；当O&zV1时.

F,(x)=P{X24/}=P{-vGr&X&vGr)=

当工>1时，BGr)=1,所以

[0.arV0.

F|(x)=<0<J-<1,

11.

f0»1yV0.

同理

，可得F?(1y)=[6，0<>><1,

求

下F(.x,y).

当N

oV0或yV0时.F(z.y)=0)

当《zV1‘》>】时.

F(x,>)=P{X2<x,Y2<v}=P；X24

当o

&yVl,z>I时.

当OF(J,>)=P{X-<x.yJ&y}=PiY24

V1.04yV1时.

当10l・y)1

32.【解答题】

0

设随机变KN相互拽立・X的做率密度为八(r)，的分布

箕他,

卜,xw/，

函数为A(y),令Z=<,求Z的分布函数Fz(z).

|x,X>1.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：用定义法.

FAZ')=P{Z4,=P(Z&z.X=44+P(Z-z.X>：］

4J(L\

=p{y<z.x<lkpx<2*x>Il

lZJiZJ

=p{x《i"卜P(Y-p{x《z,x>:)

33.【解答题】设随机变量x和y相互独立，X〜N(0,1),Y-U[O,1],

Z=X+Y,求Z的概率密度函数fz(z).

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：X〜N(0,1),记X的分布函数为6(x),概率密度为9(x).

,(工).-8<工<+8,0<y<1,

(X,Y)的分布函数/(i,y)=fx(工)"(y)=

0,其他.

方法一用卷积公式：

大0什8ft

/z(z)=/(z.z—x)dz—/y(z—x)dj=^(x)d.r=0(z)—0(z—1).

J"'CX)J-8Jf-J

方法二

1*4oo

/z(z)=/(n->y・y)dy=/x(z—jOfy()，)dy

J-eoJ-oo

•1fr-l

=g(N-y)dy=^>(z)d(—/)

<p(t)&=0(Z)—0(Z—1).

X

Z〜Fz（z）=P{Z&z}=P（X+Y&n}

=1fx（.j?）fY（.y）dxdy

/x（工）/Y（y）d.rdy+||/x（z）/Y（«y）d/dy

AI）

e-lrir»卜

（p（x）dxdy+dr替（jr）dy

JoJ«-iJo

=0(z-1)+(z-jr)^?(jr)d.r.

fz(z)=Fz(z)=—1)—p(z—1)+p(/)d.r=Mz)一。(之1）.

34.【解答题】设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

/Xz,_y)=-8VzV+8,—8VyV+00

求⑴常数A；

(2)条件概率密度fvix(y|x).

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参考解析：(1)

方法一二维正态分布(x.y)〜N(w，〃?；^^；p)的密度为

J]「八)5i(厂”■-

f(z，y)=----------.e~^T7；L~?v：~+~T~」，—8v<+8

2M①/TV

对比本题所给密度fCr.y)=Aed-『'不难看出题给分布为二维正态分布:

(；，；

(X.Y).\0,0•]■()

\44

方法二

1=Aj、A=&

42兀

(2)

显然x,y是相互独立,因为°=o,所以

X〜N(O,9).y〜N(O,5)./(3)=fx(^fY(y)

fx(工)—J——8vnV+8

fy(y')—-8V丁<4-8

/；.\(yI/)=号，R)="H")=&6)="，—8v7<+oo,

35.【解答题】二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),-oo<x<+oo,-oo

<Y<+°°.

已知X的密度

一(It0<x<1

fX(工)='

10,其他

当0V/V1时,条件概率密度

0<y<x

其他

求/(/，))，-8V/<H-oo,—OO<5»v+co,

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：

当0VzV1时,也就是AO>0时,I-T)=4尹2

当0VzV1时,fx(z)=1,所以/(z，3)=/x(<r)/rx(yI当=fyx(yx).

我们得到，当OVzVl时，/(z，y)=《—z■0V'vVi.

0,其他

但应该是定义在全平面上，且f(x,y)dxdy=1.

J-ocJy

显然在OViVl时.d.r[/(j-.j)dj?=ctr—d,y=d.r=1.

J0J"'oo~040JCJ0

所以•可以理解erV0时或z>1时f(xty)=0.

即可将f(工、y)=[z'°V>VJ,0<x<1.

Io,其他

改写为

f(3)={工).

.0,其他

36.【解答题】设X,Y相互独立，且X〜B(3,2),Y〜N(0,1),U=max{X,

Y),求P{1<UW1.96)(其中①(1)=0.841,①(1.96)=0.975).

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：P(UWu)=P(max{X,Y)Wu)=P(XWu,YWu)=P(XWu)P(YWu),

P(U41.96)=P(X41.96)P(Y4L96)=[P(X=O)+P(X=D]U(Y4L96)