福建省南平市2024-2025学年高一上册第一次月考数学学情检测试题（含解析）

福建省南平市2024-2025学年高一上学期第一次月考数学学情检测试题第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A B. C. D.2.在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（）A. B. C. D.3.“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若正数，满足，则的最小值为（）A.2 B. C.3 D.5.已知集合，，则（）A. B. C. D.6.下列命题中真命题的个数是（）①命题“，”的否定为“，”；②“”是“”的充要条件；③集合，表示同一集合．A0 B.1 C.2 D.37.已知函数，若在区间I上恒负，且是减函数，则区间I可以是（

）A. B.C. D.8.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（）．A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列四个结论中正确的是（）A.B.命题“”的否定是“”C.“”的充要条件是“”D.“”是“”的必要不充分条件10.已知函数，则下列说法正确是（）A.函数的定义域为RB.函数的值域为C.D.函数在区间上单调递增11.设函数的定义域为，满足，当时，，若对于任意的，都有，则实数的取值可以是（）A.3 B. C. D.6第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试人数.若面试人数为60，则该公司拟录用人数为____.13.已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________14.已知关于不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.15.设集合，（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.16.设，已知集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.17.我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶.（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.18.已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根.（1）若，求出实数的值；（2）若，求实数的取值范围.19.已知函数．（1）当时，判断的单调性；（2）若在区间上的最大值为．（i）求实数a的值；（ii）若函数，是否存在正实数b，使得对区间上任意三个实数r，s，t，都存在以，，为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．福建省南平市2024-2025学年高一上学期第一次月考数学学情检测试题第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据集合交集运算求解即可.【详解】,故选：C.2.在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用函数的定义一一判定选项即可.【详解】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应，显然A、B、C符合题意，而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义.故选：D3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】解出不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】不等式等价于等价于，所以，即，解得或，故能推出成立，但是成立不一定有，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.若正数，满足，则最小值为（）A.2 B. C.3 D.【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】由正数，满足，得，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．故选：B5.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】讨论的奇偶，可得集合可化为，由此判断，的关系.【详解】当时，，，当时，，所以，所以.故选：A.6.下列命题中真命题的个数是（）①命题“，”的否定为“，”；②“”是“”的充要条件；③集合，表示同一集合．A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】B【分析】根据命题的否定的定义、充要条件的定义、集合的定义判断各命题．【详解】①全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定为“，”，正确；②且，则，反之，如，但此时，因此不是充要条件，错误；③集合，不是同一集合．错误，正确的命题只有一个．故选：B.7.已知函数，若在区间I上恒负，且是减函数，则区间I可以是（

）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】作出函数的图象，观察图象即可得解.【详解】函数，如图所示：所以在区间I上恒负，且是减函数，区间I可以是，.故选：C.8.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（）．A. B. C. D.【正确答案】A【分析】代入后利用基本不等式可求的得最大值．【详解】令，则，代入得，由基本不等式：所以，可得，当且仅当时取等号，所以时，面积取得最大值．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列四个结论中正确的是（）A.B.命题“”的否定是“”C.“”的充要条件是“”D.“”是“”的必要不充分条件【正确答案】ACD【分析】根据等式性质判断A，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断CD.【详解】对于A，，解得，即，正确；对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：命题“”的否定为：，错误；对于C，若，则，反之若，则，所以“”的充要条件是“”，正确；对于D，若，则不一定成立，如，但，反之，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，正确.故选：ACD10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的定义域为RB.函数的值域为C.D.函数在区间上单调递增【正确答案】AC【分析】分离常数，即可判断函数的单调性，即可求解DB,代入求解C.【详解】，故定义域为R，A正确，由于，故，故B错误，，C正确，由于在单调递增，所以在单调递减，D错误，故选：AC11.设函数的定义域为，满足，当时，，若对于任意的，都有，则实数的取值可以是（）A.3 B. C. D.6【正确答案】AB【分析】根据∀x∈R,fx=2fx−2，且当时，【详解】由函数的定义域为，满足，当时，可得，当时，，fx=2fx−2当时，，fx=2fx−2作出函数的部分图象如下图所示：由类周期函数性质可知，当时，恒成立；解方程4x−46−x=3可得或又因为对于任意的，都有，利用图象可知，因此选项AB符合题意.故选：AB第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试人数.若面试人数为60，则该公司拟录用人数为____.【正确答案】25【分析】根据分段函数的性质，令y＝60，分类讨论求出x即可.【详解】令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意.故该公司拟录用25人.故答案：25.13.已知关于不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________【正确答案】【分析】对进行和分类，再结合不等式的解集为讨论求解即可.【详解】当时，，与客观事实矛盾，故此时不等式的解集为，符合；当时，为一元二次不等式，若此不等式解集为，则有，综上，实数m的取值范围是.故答案为.14.已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为__________.【正确答案】【分析】解一元二次不等式并对参数的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解即可求得的取值范围为.【详解】由，得或，所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解.当时，的解集为，此时，即，满足要求；当时，的解集为，此时不满足题设；当时，的解集为，此时，即，满足要求.综上，的取值范围为.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.15.设集合，（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【正确答案】（1）或；（2）.【分析】（1）把代入，利用并集、补集的定义求解即得.（2）利用给定交集的结果，借助集合的包含关系，列式求解即得.【小问1详解】当时，，而，因此，所以或.【小问2详解】由，得，当时，则，解得，满足，因此；当时，由，得，解得，所以实数的取值范围是.16.设，已知集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）分别解不等式求出集合A，B，然后由并集运算可得；（2）根据集合包含关系，对m分类讨论即可.【小问1详解】，解得，当时，得，所以.【小问2详解】若“”是“”的必要不充分条件，所以AB，解方程得或，当时，，不满足题意；当，即时，，因为AB，所以，解得；当，即时，，显然不满足题意.综上，的取值范围为.17.我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶.（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.【正确答案】（1）（2）当每瓶售价元时，下月的月总利润最大为万元【分析】（1）设提价元，则每瓶饮料利润为元，由此算出月销量，得到总利润表达式，根据月总利润不低于原来的月总利润得到关于的不等式，即可求出的范围，进而求解；（2）由题意可得每瓶利润为元，得出月销量，从而得到月总利润的函数解析式，最后利用基本不等式求解.【小问1详解】设提价元，由题意知每瓶饮料利润为元，则月销量为万瓶，所以提价后月总销售利润为万元，因为原来月销售总利润为万元，且要求月总利润不低于原来的月总利润，所以，即，解得，所以售价最多为元，故该饮料每瓶售价最多为元；【小问2详解】由题意，每瓶利润为元，月销售量为万瓶，设下月总利润为，，整理得：，，，当且仅当，即时等号成立，，当且仅当时取等号，故当售价元时，下月的月总利润最大为万元.18.已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根.（1）若，求出实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出；（2），故，结合方程的两根得到不等式，求出.【小问1详解】因为，故，又的两根分别为，故，故；【小问2详解】因为，故，又的两根分别为，故，解得，故实数的取值范围是.19.已知函数．（1）当时，判断的单调性；（2）若在区间上的最大值为．（i）求实数a的值；（ii）若函数，是否存在正实数b，使得对区间上任意三个实数r，s，t，都存在以，，为