山东省淄博市第十一中学2024-2025学年上学期高一数学期中测试题2

第1页/共1页2024级高一上学期期中教学质量检测数学试题2024．11一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合交集的运算可得.【详解】，故选：A2.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性一一分析即可.【详解】根据幂函数奇偶性知和为奇函数，故BD错误；对C，，当时，，此时单调递增，故C错误；对A，根据幂函数的性质知其为偶函数且在上单调递减，故A正确.故选：A.3.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式进行判断即可．【详解】由得，是的必要不充分条件，，故选：B．4.若正数，满足，则的最小值为（）A.27 B.81 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式结合指数函数的单调性求解最小值.【详解】因为，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以.故选：B5.已知定义域为的函数不是偶函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的概念得是假命题，再写其否定形式即可得答案.【详解】定义域为R的函数是偶函数，所以不是偶函数．故选：D．6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得出函数关系，求出h，然后即可得出答案.【详解】由题得，，代入得，求得，所以，当时，解得，所以选：B.7.已知函数，若，则（）A.-7 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式以及条件，可得，代入即可求解.【详解】因为，所以，即，.故选：B8.已知是上的增函数，那么a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调性定义，保证每一段单增，注意分界点对应函数值的大小关系即可.【详解】要使函数是上的增函数，需，解得，故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下面命题为假命题的是（）A.若，，则B.函数的单调减区间是C.的最小值是D.与是同一函数【答案】BCD【解析】【分析】对A：由不等式性质可得，，即可得；对B：由函数单调性定义即可得；对C：举出反例即可得；对D：分别计算两函数定义域即可得.【详解】对A：若，，则，，故，故A正确；对B：函数单调减区间是、0,+∞，故B错误；对C：当时，，故C错误；对D：的定义域为，的定义域为，故D错误.故选：BCD.10.关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（）A.B.不等式解集为C.的最大值为D.关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得，进而可判断ABC，根据二次函数零点分布即可求解D.【详解】不等式的解集为或x≥4，故和是方程的两个根，所以，解得，故A正确，对于B，可变为，解得或，故B错误，对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，C正确，对于D，的不等式可变为，记由于，故0是的一个整数解，由于对称轴，要使不等式解集中仅有两个整数，则，故，故D正确，故选：ACD11.已知定义在上的函数满足，当时，，，则（）A. B.为奇函数C.上单调递减 D.当时，【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法结合抽象函数的性质一一判定选项.【详解】A选项，中，令得，故A正确；B选项，中，令得，解得，中，令得，所以，故为奇函数，故B正确；C选项，中，令，且．故，即，当时，，故，即，故在上单调递增，C错误；D选项，，解得，则，又，故，是的增函数，所以，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设函数，则＝______．【答案】0【解析】【分析】根据分段函数解析式可求出结果.【详解】由已知得，，所以.故答案为：.13.若幂函数在上单调递增，则实数________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义和单调性求得.【详解】是幂函数，所以，解得或，当时，在上单调递减，不符合题意.当时，在上单调递增，符合题意.所以的值为.故答案为：14.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．（1）请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式______；（2）利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则______．【答案】①.（答案不唯一）②.【解析】【分析】（1）由定义知，将奇函数向左平移2个单位即可得到的解析式；（2）根据定义，得出恒成立，即可解出.【详解】（1）由定义知，因为关于点成中心对称，则有为奇函数.则函数可以看作由向左平移两个单位得到.可令，则；（2）函数的图象关于点对称，根据定义可得，函数应为奇函数，，有奇函数定义知，，则有，恒成立，所以，解得所以，.故答案为：（答案不唯一）；4.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知合，或．（1）当时，求；（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入化简集合，再利用集合的交集运算，结合数轴法可得结果；（2）利用集合与充要条件的关系得到是的真子集，结合数轴法即可求得m的取值范围.【小问1详解】因为，所以或或x≥1，又因为，所以.【小问2详解】因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，又因为，或，所以或，故或，故实数m的取值范围为.16.已知，，．（1）求最小值；（2）求的最大值．【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）由“1”的代换有，利用基本不等式求最小值，注意取值条件；（2）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件.【小问1详解】因为，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为6．【小问2详解】因为，所以，当且仅当，即，时取等号，所以最大值为．17.若函数为定义在上的奇函数.（1）求实数的值，并证明函数的单调性；（2）若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围.【答案】（1），证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由求得a的值，运用函数单调性的定义证明即可.（2）由在上的奇函数可得，由在上单调递增可得，成立，进而可得，成立，令，运用换元法将问题转化为，，进而求在上的最小值即可.【小问1详解】因为函数为定义在上的奇函数，所以，解得，经检验符合题意，所以，证明：任取，，且，则因为，所以，所以，，，所以，即，所以函数在上单调递增.【小问2详解】因为，在上的奇函数，所以，由（1）知函数在上单调递增，所以，成立，即，成立，设，则，所以，，所以，，设，，则在上单调递增，在上单调递减，又，，所以，所以.18.已知函数．（1）解关于的不等式；（2）若，当时，的最小值为1，求的值．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）化简得，然后结合含参一元二次不等式的解法求解即可；（2）对进行分类讨论，结合二次函数的性质来求得的取值范围.【小问1详解】不等式，即，当时，，解得；当时，，①若时，则，解得或，②若时，则，解得，③若时，则，解得，④若时，则，解得.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【小问2详解】，，对称轴，当时，即，此时在上单调递增，所以，即；当时，即，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，即（舍去）.综上所述，．19.若函数在定义域的某区间上单调递增，而在区间上单调递减，则称函数在区间上是“弱增函数”.（1）判断和在上是否为“弱增函数”（写出结论即可，无需证明）；（2）若在上是“弱增函数”，求实数的取值范围；（3）已知（是常数且），若存在区间使得函数在区间上是“弱增函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）不是上的“弱增函数”；是上的“弱增函数”（2）（3）.【解析】【分析】（1）根据“弱增函数”的定义直接判断即可；（2）根据“弱增函数”定义可知在上单调递增，在上单调递减，然后利用二次函数与对勾函数的图象及其性质求解参数的范围即可；（3）由于函数是分段函数，我们需要分，及三种情况，分别根据“弱增函数”定义结合二次函数、对勾函数图像及其性质分别求解参数的取值范围，最终得到的范围.【小问1详解】由于在上单调递增，且也在上单调递增，不是上的“弱增函数”；由于在上单调递增，但在上单调递减，是上的“弱增函数”.【小问2详解】若在上是“弱增函数”，则在上单调递增，在上单调递减.图象的对称轴为直线，∴在上单调递增，满足题意；令，∵，∴为对勾函数，当时，，由对勾函数性质知：在单调递减，∴当时，即