2024-2025学年北师大版数学七年级下册压轴题

-2025学年北师大版七年级数学下学期压轴拔高卷一、解答题1．【问题初探】（1）在数学活动课上，张老师提出如下问题，如图1，三角形和，，，求证：．①小创同学从“内错角相等，两直线平行”出发，延长交于点，将问题转化为证明．②小新同学从“同旁内角互补，两直线平行”出发，连接，将问题转化为证．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；也可以利用图1用不同于上面两位同学的方法进行解答．【变式探究】（2）张老师发现之前两名同学都是在两条平行线间搭建“截线”，将问题转化，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师接着提出如下问题，请你解答．如图4，，点，分别在直线和上，，点在上，，平分，求证：．【拓展延伸】（3）如图5，，平分，，．若平面内有一点，且，，请用含有的式子直接写出的度数．2．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．(1)如图①，，E为AB，CD之间一点，连接，DE，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由．(2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，已知，，点E在上，，请你说明；（把下面的解答补充完整）解：因为所以（

）因为（

）又因为所以（

）即所以由（1）知∴(3)【拓展延伸】如图3，平分，平分，．若，请直接写出的度数为．3、问题情境：如图1，是一副三角尺，三角尺中，，三角尺中，∠D＝90°，．数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系．

已知：直线．（1）如图2，若三角尺按如图2摆放，当平分时，求的度数．智慧小组的解法如下：解：过点作．．

（依据1）平分又（依据2）反思交流：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：；问题拓展：（2）如图3，若三角尺，三角尺按如图3摆放，求的度数；问题探究：（3）如图4，若将图3中三角尺固定，三角尺中的点位置不动，重新摆放三角尺，当线段与三角尺的直角边平行时，请直接写出的度数．4．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题：如图1：在△ABC中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．【问题初探】：第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长至E．使得，连接．利用三角形全等将线段转移到线段，这样就把线段，，集中到中．利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围，第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作的平行线交的延长线于点F，利用三角形全等将线段转移到，同样就把线段，，集中到中，利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围．（1）请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程【方法感悟】当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题【类比分析】（2）如图4：在△ABC中，∠B＝90°，，是的中线，，且．求的长度．【思维拓展】（3）如图5：在△ABC中，于点F在右侧作，且，在的左侧作，且，连接，延长交于点O，证明O为中点．5．【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系．【应用】（1）如图1，，，分别在，上，平分交于点，为点右侧的直线上一点，平分交于点．①当，，求和的度数；②如图2，过点作，垂足为，设度，度，请求出与的关系式；【拓展】（2）中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即．连结AB，且．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线BD自BM顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至AB的过程中，与BD互相垂直时，请求出此时的值．6．【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：．证明：如图2，过点作，∴，∵，，∴，∴，∴．即．可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】(1)如图3，已知，已知，，求的度数；(2)如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由．【拓展应用】(3)如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数．7．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，，.（1）若，则______；（2）的余角是______；（3）与的数量关系是______，依据是__________________；（4）图中互余的角有______对，互补的角有______对；【类比探究】（5）如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，，并且，；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么______度才能保证黑球准确入袋；【学科融合】（6）小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似.光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图①，为一镜面，为入射光线，入射点为点，为法线（过入射点且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，、是两块可以分别绕、两点转动的镜面，点是激光发射装置．由点发出的激光照射在点和点处，、是两束反射光线．、处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角______°；通过调节的角度，当______°时，反射光线和平行．8．【动手操作】在数学活动课上，范老师引导同学们探究画平行线的方法，小明经过折纸等动手操作，探究出一种画平行线的方法：步骤一：如图1，在纸上画出直线与交于点，在线段上取点，过点折叠纸片，使折痕交于点，点在线段的延长线上．步骤二：用量角器测量出和的度数，计算．步骤三：再以点为顶点画出，点在点的右侧，就得到直线．（1）如图1，，求证：．【问题初探】小明继续折纸操作，探究与的数量关系：步骤四：如图2，再次将纸折叠两次，使与重合，与重合，折痕直线，交于点．（2）如图2，猜想与的数量关系，并证明．【类比探究】（3）①小明发现按照步骤一操作时，将“在线段上取点，点在线段的延长线上”改为“在线段的延长线上取点，且点在线段上”，其他条件不变；再按照步骤二、三进行操作，他发现若点的位置发生改变，，，的数量关系也发生改变，仍能画出直线．请画出图形，直接写出当，，满足什么数量关系时，直线．②如图3，在步骤四的操作中，过点分别折叠，使折痕分别落在和中，且交于点，若，，请直接写出与的数量关系．（用含有的代数式表示）9．综合与实践问题情境：如图1是一副三角尺，在三角尺中，，在三角尺中，，．数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系．

如图，将一副三角尺如图摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数．

智慧小组的解法如下：解：如图2，过点作．∵，∴（依据1）．∵，∴．又，∴（依据2）．∴．∴．反思交流：(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：_________________________________________________________；依据2：_________________________________________________________；(2)如图，将两个三角尺如图摆放，使点与点重合，点在上，点在上，与相交于点，请用平行线的知识求的度数；

(3)如图，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点也在直线上，与相交于点，当时，探究与的位置关系，并证明．

10．阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知点分别在上，．求的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”小华：“∵如图4，也能求出的度数．”(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．11．问题情境：已知：，于点，，点在直线上，点，在直线的同侧．（）如图，过点作于点，则与的数量关系是______，此时，，之间的数量关系是______．探究证明：（）如图，在直线上取点，使，猜想与的数量关系，并说明理由．拓展延伸：（）在直线任取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角三角形，作于点，写出在图，图中，，之间的数量关系，并说明理由．12．在中，，，点O是的中点，点P是直线上的一个动点（点P不与点C、O、B重合），过点P的直线经过点A，过点C作于点E，过点B作于点F，连接．

【问题探究】如图1，当P点在线段上运动时，延长交于点G．（1）求证：；（2）线段与相等吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图2，当P点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点G，通过分析发现的大小是一个定值，请直接写出的度数：（4）的延长线交直线于点G，若，，则的面积为__________．13．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________．这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________．【方法感悟】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决．【问题解决】（2）如图，在△ABC中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：．【拓展应用】（3）如图3，△ABC中，∠B＝90°，，是△ABC的中线，，，且，直接写出的长．14．【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系．【方法应用】（1）如图1，正方形是由长为，宽为的4个全等小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系，请你写出这个等量关系；【方法迁移】（2）如图2，长方形是由8个长为，宽为的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题：①求a，b之间的数量关系；②若长方形的宽，求小长方形的面积．【拓展应用】（3）如图3，在△ABC中，是△ABC三条角平分线的交点，求点到边的距离．15．请阅读下列材料，完成相应的任务．【认识“倍长”】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法．如图1，在中，是边上的中线，延长到点．使．连接，易证（依据），进一步可得到等结论．任务：（1）上述材料中的依据是_____________；（2）如图2，在△ABC中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，求证：．【启发拓展】如图3，爱思考的小轩受到启发，把和边的中点和连接起来，得到线段，线段叫做三角形的中位线．下面是小轩的证明方法：延长到点，使，连接易证，得到，即，进而得到，因此可知，最终得到．通过推理，小轩总结得到这样的结论：如果点和点分别为和边中点，那么是△ABC的中位线，且．“几何语言”：和分别为和的中点是△ABC的中位线．【旧知新论】已知△ABC和，，，，连接和，点是线段的中点，连接交于点．请直接应用【启发拓展】中的结论，合理猜想与的数量关系？并证明你的结论．16．【问题背景】在四边形中，，，，分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______．【探索延伸】在四边形中如图，，，分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离是______海里．若此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时的速度前进并尽快汇合，最短需要______小时．17．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：项目主题：测量某水潭的宽度．问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：方案方案①方案②测量示意图图①图②测量说明如图①，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出的长度如图②，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D、E两点之间的距离测量结果，，，，请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度．18．问题发现：学习三角形全等的知识时，小明发现重合两个等腰直角三角形的顶点会产生一对新的全等三角形．如图1，中，，，点在边上，连接，以为边作△ADE，使，，请连接图中标有字母的点，补全图形，直接写出一对全等三角形和的度数．问题探究：小明想，如果将上图中的等腰直角三角形换成等边三角形，那么这组全等三角形是否还存在？如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点，，在同一直线．（1）证明：．（2）探索线段，，三者间的数量关系，写出结论并说明理由．问题拓展：经过上面的探究，小明联想到几天前一道不会的题，请你帮小明再想一想，是否有新的发现．如图3，边长为的等边△ABC中，D是中点，，是线段上一动点，连接，在右侧作等边，连接，求周长的最小值（用含，的代数式表示），并直接写出取最小值时的度数．

19．【操作发现，激发兴趣】如图1，把两个大小不同的等腰直角三角形纸板△ABC和如图放置，连接．我们发现：和的关系是______．【猜想论证，深入再探】如图2，将绕着点旋转．①以上发现是否依然成立？若成立，请借助图2证明；若不成立，请说明理由；②在旋转过程中，始终有______（填“”或“”或“”），请说明理由．【拓展探究，特殊位置】如图3，将沿着直线水平移动得到，点在平行于的直线上，所在的直线与所在的直线相交于点，连接、，与的延长线相交于点.在水平移动过程中，若，在备用图中用无刻度的直尺和圆规画出点，补全图形并证明此时．20、按照下列要求作图．（保留作图痕迹）(1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短；(2)(3)(4)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小；(5)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）(6)(7)(8)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置．21、探究（一）如图①，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离相等？请通过尺规作图表达你的观点．

探究（二）如图②，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离和最短？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法．探究（三）如图③，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，最大？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法．

拓展应用如图④，△ABC中，，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________；22、【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置．（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，∴，，∴．在中，∵，∴．∴，即最小．（2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为．【拓展应用】（3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)．1．（1）见解析

（2）见解析

（3）或【难度】0.65【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线转化角是解题的关键．（1）利用平行线的性质解题即可；（2）延长交于点Q，利用平行线的判定和性质得到，然后根据角平分线的定义证明即可；（3）过点E作，则可根据平行线的判定和性质得到，即可得到，然后分两种情况作图计算即可．【详解】（1）证明：①如图2，延长交于点，，，，，；②如图3，连接，，，即，，即，；（2）延长交于点Q，，，，，，，，，，平分，，；（3）解：∵，∴，又∵平分，∴，过点E作，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，如图，当点在下方时，∵，∴∠HEF=90°，∴；如图，当点在上方时，∵，∴∠HEF=90°，∴；综上所述，的度数为或．2．（1）依据1：两直线平行，内错角相等；依据2：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）；（3）【难度】0.65【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、平行公理的应用、两直线平行同旁内角互补【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．（1）利用平行线的性质与性质判断即可；（2）过点作，如图所示，利用两直线平行内错角相等求出，再求出，再根据同旁内角互补求解即可；（3）分在直线上方和下方两种情形讨论求解即可．【详解】解：（1）依据1：两直线平行，内错角相等；依据2：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行．故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；（2）过点作，如图，

∴∵∴∴∵∴∵∴即又∴∴；（3）①在直线上方时，当时，设与交于点，延长，交于点如图，

由（2）知∵∴∵，∴又∴∴∴∴又；当时，延长交于点，延长交于点，如图，

则∵∴又∴∴；②当在直线下方时，当时，延长，交于点，如图，

∵∴∵∴∴∴∴∴∵∴；当时，延长交于点，如图，

则又∵∴∴，综上，的度数为：3．(1)，理由见解析(2)见解析(3)【难度】0.65【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质求解即可；（2）根据平行线的性质和判定求解即可；（3）根据平行线的性质得出，再由角平分线及（1）中结论求解即可．【详解】（1），理由如下：过点E作，如图：∵，∴，∴，∴，即；（2）因为所以（两直线平行，同旁内角互补）因为（平角的定义）又因为所以（等角的补角相等）即所以有由（1）知：所以．（3）∵∴，∵即，∴由（1）可知，，∵平分，平分，∴，又∵，∴∴，∵∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键．4．（1）见解析（2）16（3）见解析【难度】0.4【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等、确定第三边的取值范围【分析】（1）选择第一个小组的解题思路：延长到点，使，证明，得到，再根据在中，，即，求解即可；选择第二个小组的解题思路：过点B作的平行线交的延长线于点F，先证明，得到，，则，再根据在中，，即，求解即可；（2）延长到点F，使，连接，先证明，得到，，再证明E、C、F三点共线，得到，然后证明，得到解决问题；（3）过点E作交延长线于M，先证明，得到，再证明，得到，即可得出结论．【详解】解：（1）选择第一个小组的解题思路：如图2，延长到点，使，是的中点，，，，，中，，，；选择第二个小组的解题思路：如图3，过点B作的平行线交的延长线于点F，是的中点，，，，，∴，∴，，∴，在中，，，；（2）延长到点F，使，连接，如图4，∵是的中点，，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴E、C、F三点共线，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（3）证明：过点E作交延长线于M，如图4，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∴O为中点．【点睛】本题考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握倍长中线，构造出“平行八字型”全等三角形是解题的关键．5．（1）①，；②y=2x；（2）【难度】0.4【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用)、垂线的定义理解【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义；（1）①根据平行线的性质可得，，进而可得，根据角平分线的定义可得，求得②设，，根据角平分线的定义，以及垂直的定义，得出y=2x；（2）分三种情况讨论，①当BD，未相遇时，设射线交于点，射线BD交于点，②当返回时，③当BD第次从出发，与垂直时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．【详解】解：（1）①，平分，，．．又平分，②平分，平分．，设，；，则，（）①当BD，未相遇时，设射线交于点，射线BD交于点，与BD互相垂直时，解得：②如图所示，当返回时，解得：③当BD第次从出发，与垂直时，如图所示，解得：综上所述，时，与BD互相垂直6．(1)(2)，理由见解析(3)【难度】0.65【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、平行公理推论的应用【分析】（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得；（2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得；（3）设，，先根据角平分线的定义可得，，再根据（2）的结论可得，根据材料的结论可得，然后代入计算即可得．【详解】（1）解：如图，过点作，∴，∵，，∴，∴，∴，即．（2）解：，理由如下：如图，过点作，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，即．（3）解：设，，∵平分，平分，∴，，∴，由（2）可知，，由材料的结论可知，，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．7．（1）30；（2），；（3）相等，等角的补角相等；（4）4，4；（5）40；（6）；【难度】0.65【知识点】根据平行线判定与性质求角度、同(等)角的余(补)角相等的应用【分析】此题主要考查了平行线的性质，理解反射角等于入射角，准确识图，熟练掌握平行线的性质及角度的计算是解决问题的关键．问题初探：（1）（2）（3）（4）根据余角和补角的概念，结合图形解答即可；类比探究：（5）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后求出，即可得到的度数；（6）过点作，过点作，依题意得，，，，，则，再由，得，再根据可得，进而得，据此可得的度数；设，则，进而得，则，然后根据得，则，由此解出即可得的度数．【详解】解：问题初探：由题意得，，，，（1）若，则；故答案为：30；（2）的余角是：，；故答案为：，；（3）与的数量关系是相等，依据是等角的补角相等；故答案为：相等，等角的补角相等；（4）图中互余的角有______对，互补的角有______对.和、和、和、和互为余角，和、和、和、和互为补角．∴图中互余的角有4对，互补的角有4对；故答案为：4，4；类比探究：（5）如图，过点作，由题意可得：，，，，，，．答：等于40度时，才能保证黑球能直接入袋．故答案为：40；（6）过点作，过点作，如图所示：根据反射角等于入射角得：，，依题意得：，，，，，，，，，，，，，，，；设，则，，，，，，当时，，，．即．故答案为：；．8．（1）见解析；（2）猜想：，证明见解析；（3）①或；②【难度】0.65【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、折叠问题【分析】（1）由三角形外角的定义及性质结合已知推出，即可得证；（2）由折叠的性质可得：，由平行线的性质可得，根据三角形外角的定义及性质即可得出答案；（3）①由三角形内角和定理结合邻补角即可得出答案；②由平行线的性质可得，由，结合三角形外角的定义及性质分别表示出与，即可得解．【详解】（1）证明：，，，；（2）解：，证明如下：由折叠的性质可得：，由（1）可得，，，，；（3）①关系为：或，证明如下：根据题意画出图如图所示：，由题意得：，，，，，；②由（1）可得，，，，，．【点睛】本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理、平行线的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．9．(1)两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行(2)；(3)，理由见解析【难度】0.65【知识点】根据平行线判定与性质证明【分析】（1）根据平行线的性质解答即可；（2）过点作，根据两直线平行，内错角相等求解即可；（3）过点作，根据两直线平行，内错角相等求解即可．【详解】（1）解：依据1：两直线平行，内错角相等；依据2：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；（2）解：如图，过点作．

∴．∴；（3）解：．证明：如图，过点作，则．

∵，∴，．∴．∵，且，∴．∵，∴．∴．∴．∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角．10．（1）过点作；（2）30；（3）．【难度】0.65【知识点】两直线平行同位角相等【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点作，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；（3）设，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据角的和差关系即可得答案．【详解】（1）由图中虚线可知PQ//AC，∴小明同学辅助线的做法为过点作，故答案为：过点作（2）如图2，过点作，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案为：30（3）如图，设，过点作，∵，即．【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．11．（1），；（2）；（3）；．【难度】0.4【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、同(等)角的余(补)角相等的应用【分析】（）由余角性质可得，进而由即可证明，得到，进而得到，，据此可得；（）过点作于点，如图，同理（）可得，得到，由等腰三角形三线合一得到，即得；（）如图，作于点，作，作于点，作于点，可得四边形和四边形是长方形，得到，，同理（）可得，，得到，，即得，进而得到；如图，作于点，同理（）得到，，即得，，进而可得；本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：（）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，即，故答案为：，；（），理由如下：过点作于点，如图，同理（）可得，∴，∵，，∴，∴；（）如图，作于点，作，作于点，作于点，则四边形和四边形是长方形，∴，，同理（）可得，，∴，，∴，∴，即；如图，作于点，同理（）可得，，∴，，∴，即．12．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）9或25【难度】0.4【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题．（1）根据证明三角形全等即可；（2）结论：，证明，推出，利用全等三角形的性质证明即可；（3）结论．证明是等腰直角三角形，可得结论；（4）分两种情形分别求解即可．【详解】（1）证明：，，，，，，，在和中，，；（2）解：，理由：，，，，是的中点，，在和中，，，，，，．（3）解：①同（1）可证，，，，，，，，，，，，，，，，即，，；②当P点在线段上运动时，延长交于点G．∵由（1）知，，∴，，∴由（2）知，∴，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴；当P点在线段的延长线上运动时，延长交于点G．同理可得，，则的面积为9或25．13．（1）；（2）详见解析；（3）8【难度】0.4【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论；（2）根据点是的中点，延长到点，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到中的两个角相等，然后用等角对等边证明等于．（3）延长交于，证明，则，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长．【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，∵是的中点，，，，，在中，，，，故答案为：；（2）证明：如图，延长到点，使得，连接．∵是边上的中线(已知)，∴，在和中，，，又，，，，，即：，．（3）解：如图3，延长交于点，∵，∴，∴，∵是中线，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是的垂直平分线，∴．14．（1）；（2）①；②；（3）2【难度】0.65【知识点】多项式乘多项式与图形面积、角平分线的性质定理、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，三角形面积的计算，角平分线的性质，解题的关键是数形结合熟练掌握整式混合运算法则．（1）根据正方形的面积公式和大正方形可以看作四个长方形和中间一个小正方形面积之和，得出等量关系即可；（2）①用两种方法表示长方形的面积，得出等式，即可得出a，b之间的数量关系；②根据长方形的宽得出，结合，求出a、b的值，然后得出小长方形的面积即可；（3）设点到边的距离为h，根据点P是三条角平分线的交点，得出点P到边的距离为h，到边的距离为h，求出，根据得出，求出h即可．【详解】解：（1）大正方形的边长为：，面积为；小正方形的边长为，面积为，4个长方形的面积之和为，∴；（2）①∵长方形的面积为：，小长方形面积为，∴，即，∴，即，∵，∴，∴；②∵，∴，∴，解得：，∴，∴小长方形的面积为；（3）设点到边的距离为h，∵点P是三条角平分线的交点，∴点P到边的距离，到边的距离都等于点到边的距离，即点P到边的距离为h，到边的距离为h，∵在中，，∴，∵，∴，解得：，即点到边的距离为2．15．（1）（2）见解析（3），证明见解析【难度】0.4【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题【分析】（1）根据题意，证明即可得解；（2）延长到点．使．连接，证明．利用等腰三角形的判定和性质证明即可．（3）延长到点．使．连接，构造运用三角形中位线定理，证明即可．【详解】（1）∵是边上的中线，∴．∵．∵，∴，∴，，∴．故答案为：．（2）延长到点．使．连接，∵是边上的中线，∴．∵．∵，∴，∴，，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴．（3）．理由如下：延长到点．使．连接，∵是的中点，∴，∵，，∴直线是线段的垂直平分线，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，平行线的判定和应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理的应用是解题的关键．16．初步探索：；探索延伸：结论仍然成立，理由见解析；结论运用：，．【难度】0.65【知识点】全等三角形综合问题【分析】【初步探索】延长到，使连接，先证明，再证明则可得到结论；【探索延伸】延长到，使，连接，证明，再证明则可得到结论；【结论运用】连接，延长交于点，利用已知条件得到四边形中，且符合具备的条件,则；本题主要考查了四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．【详解】【初步探索】延长到，使连接，如图，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，故答案为：；【探索延伸】结论仍然成立：，证明：延长到，使，连接，如图，∵，，∴，在△ABE和△ADG中，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；【结论运用】连接，延长交于点，如图，∵，，∴，∵，，∴四边形中，，且∴四边形符合探索延伸中的条件，∴结论成立，即（海里），此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时的速度前进并尽快汇合，最短需要（小时），故答案为：；．17．见解析【难度】0.85【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的关键；选择方案①：先证明，结合，，可得，再利用全等三角形的性质可得结论；选择方案②：直接利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论；【详解】解：选择方案①；∵，∴，∵，，∴，而，∴，∴水潭的宽度为；选择方案②：∵，，，∴，而，∴，∴水潭的宽度为；18．问题发现：，；问题探究：（1）证明见解析；（2），理由见解析；问题拓展：周长的最小值为，此时．【难度】0.4【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段问题(轴对称综合题)、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质【分析】问题发现：由，，得到，可证明，推出，由中，，，可得，得到，即可求解；问题探究：（1）由和是等边三角形，得到，，，推出，即可证明；（2）由可得，推出；问题拓展：证明，得到，由于是定值，所以为定值，在一条固定的线段上运动，延长至点，使得，推出点在线段上运动，以直线为对称轴，作点的对称点，得到，，根据三角形的三边关系可得，令与交于点，则有，根据全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质推出，得到，可求出周长的最小值；延长交于点，由可求出此时的度数．【详解】解：问题发现：，，，即，在和中，，，，中，，，，，；问题探究：（1）和是等边三角形，，，，，即，在和中，，；（2），理由如下：，，，；问题拓展：连接CF，和是等边三角形，，，，，即，在和中，，，由于是定值，所以为定值，在一条固定的线段上运动，如图3，延长至点，使得，点在线段上运动，以直线为对称轴，作点的对称点，，，，令与交于点，则有，，，，，，，，，，为等边三角形，，，，又，，；，，延长交于点，，，为等边三角形，，，又，，，综上所述，周长的最小值为，此时．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握相关的知识．19．操作发现，激发兴趣：，；猜想论证，深入再探：①成立，理由见解析；拓展探究，特殊位置：见解析【难度】0.4【知识点】全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定【分析】操作发现，激发兴趣：延长交于，证明，得出，，再求出，即可得证；猜想论证，深入再探：①令、交于，、交于，证明，得出，，再证明，即可得证；②作交的延长线于，交于，则，证明得出，结合，，即可得证；拓展探究，特殊位置：作的角平分线交于，证明，得出，，求出，由作图可得：，再证明，得出，推出，即可得证．【详解】操作发现，激发兴趣：，，如图，延长交于，，∵、都是等腰直角三角形，∴，，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；猜想论证，深入再探：①令、交于，、交于，，∵、