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培优点5

极值点偏移问题专题一

函数与导数极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有构造对称函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色.例(2021·启东模拟)已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1，x2.证明x1＋x2>2.所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，由于x1，x2是方程g(x)＝0的实根，不妨设0<x1<1<x2，方法一(对称化构造函数法)要证x1＋x2>2，只要证x2>2－x1>1.由于g(x)在(1，＋∞)上单调递减，故只要证g(x2)<g(2－x1)，由于g(x1)＝g(x2)＝0，故只要证g(x1)<g(2－x1)，因为x<1，所以1－x>0,2－x>x，所以e2－x>ex，即e2－x－ex>0，所以H′(x)>0，所以H(x)在(－∞，1)上单调递增.所以H(x1)<H(1)＝0，即有g(x1)<g(2－x1)成立，所以x1＋x2>2.方法二(比值代换法)设0<x1<1<x2，由g(x1)＝g(x2)，得

，取对数得lnx1－x1＝lnx2－x2.所以当t>1时，g(t)单调递增，所以g(t)>g(1)＝0，故x1＋x2>2.能力提升跟踪演练证明f′(x)＝lnx＋1，方法二f(x1)＝f(x2)即x1lnx1＝x2lnx2，

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