2023届高考数学特训营第4节-直线、平面的垂直判定与性质

第七单元第4节直线、平面的垂直判定与性质2023届1《高考特训营》·数学课程标准解读命题方向数学素养1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题1.线面垂直的判定与性质数学抽象直观想象逻辑推理2.平面与平面垂直的判定及性质3.垂直关系综合应用0102知识特训能力特训01知识特训知识必记拓展链接对点训练1．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的________一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．任意

相交

l⊥al⊥ba∩b＝O

a，b⊂α

平行a⊥αb⊥α[探究]

空间中任一直线m，在平面α内是否存在无数条直线与m垂直？提示：存在．

直二面角垂线l⊥α

l⊂β[探究]

若平面α⊥β，且α∩β＝l，若直线m⊥l，则m与平面β一定垂直吗？提示：不一定，当m⊂α时，m⊥β.交线α⊥βα∩β＝al⊥a

l⊂β

3．空间角(1)直线和平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在______________所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角．平面上的射影(2)二面角

①定义：从一条直线出发的______________所组成的图形叫作二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作____________的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．③二面角的平面角的范围：____________．两个半平面垂直于棱[0，π]4．空间距离(1)点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段叫作这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫作这个点到该平面的距离．(2)直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫作这条直线到这个平面的距离．(3)两个平面间的距离如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫作这两个平行平面间的距离．1．[知识拓展]与垂直相关的重要结论(1)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(3)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(4)垂直于同一条直线的两个平面平行．(5)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．【例】(2022·安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(

)A．α⊥β且m⊂αB．m⊥n且n∥βC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β解析：由结论3可知C正确．C2.[知识外延]求二面角的常用方法(1)定义法：以棱上任一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，则形成二面角的平面角，有时可借助于特殊图形(等腰三角形、等腰梯形等)作出平面角．(2)定理法：在二面角α—l—β的面α上取一点A，作AB⊥β于B，过B作BC⊥l于C，连接AC，由三垂线定理可知AC⊥l，则∠ACB为二面角α—l—β的平面角．该种作法的优点在于∠ACB所在的三角形为直角三角形，便于求角．(3)垂面法：过棱上一点作棱的垂面，与两个面的交线即构成二面角的平面角．(4)面积射影法：在一个平面α上的图形的面积为S，它在另一个平面β上的投影面积为S′.这两个平面的夹角为θ，则S′＝Scos

θ.此法对无棱二面角的求解效果较好．3．[数学模型]鳖臑模型(1)“鳖臑”模型的由来《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以蓁，其形露矣．”刘微注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云．中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得．”具体来说，取一长方体，按下图斜割一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称之为堑堵．

如图，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到一个四棱锥和一个三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．(2)“鳖臑”模型的判定与性质判定：在三棱锥A­BCD中，只要满足下列条件之一，则均为“鳖臑”：(1)AB，BC，CD两两垂直；(2)AB⊥平面BCD，且BC⊥CD；(3)AB⊥平面BCD，且AC⊥CD；(4)AB⊥平面BCD，且平面ABC⊥平面ACD.性质：在“鳖臑”A­BCD中：(1)异面直线垂直(一组)：AB⊥CD.(2)线面垂直(两组)：AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC.(3)面面垂直(三组)：平面ABC⊥平面ACD，平面ABC⊥面BCD，平面ABD⊥平面BCD.【例】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有________个．答案：4解析：由题意，因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC，PD⊥BC，又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，所以四面体PDBC是一个鳖臑．因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.因为PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑．同理，四面体PABD和FABD都是鳖臑.1．[易错诊断](2022·海南三亚模拟)设α和β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法不正确的是(

)A．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βB．若m⊥α，n⊂β，α∥β，则m⊥nC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥nA解析：m∥α，n∥β，m∥n，并不能推出α∥β，这时α和β可能相交，故A错误；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊂β，则m⊥n，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，则α⊥β，C正确；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，则m∥n，D正确．【易错点拨】混淆空间垂直与平行关系判定与性质的有关定理致误．2．[教材改编]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．3．(多选题)[模拟演练](2022·浙江省衢州高三模拟)已知AC为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N，则下列选项正确的是(

)A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面PABC．平面PAB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面PACACD解析：∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC，故D正确；∵B为圆周上不与A，C重合的点，AC为直径，∴BC⊥AB，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC，故C正确；∵AB⊥BC，BC⊥PA，又PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AN，又∵AN⊥PB，PB∩BC＝B，∴AN⊥平面PBC，又AN⊂平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，故A正确；因无法判断PB⊥AS(或PB⊥NS)，故B不正确．故选ACD.4．[真题体验](2021·全国乙卷(文))如图，四棱锥P­ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD.(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P­ABCD的体积．解：(1)因为PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PD⊥AM，又PB⊥AM，PB∩PD＝P，所以AM⊥平面PBD，而AM⊂平面PAM，所以平面PAM⊥平面PBD.(2)由(1)可知AM⊥平面PBD，所以AM⊥BD，从而△DAB∽△ABM，设BM＝x，AD＝2x，02能力特训特训点1特训点2特训点3考向1直线与直线垂直典例1已知正方体ABCD­A1B1C1D1.求证：A1C⊥B1D1.证明：连接A1C1(如图)．∵CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1.∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.特训点1线面垂直的判定与性质【多维考向类】又∵CC1∩A1C1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C⊂平面A1C1C，∴A1C⊥B1D1.判定直线与直线垂直的方法(1)定义法：若两条直线所成的角为直角，则这两条直线互相垂直；(2)利用直线与平面垂直的性质：l⊥α，a⊂α⇒l⊥a；(3)若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条直线．考向2直线与平面垂直的判定典例2如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B.(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．[解题指导](1)根据直棱柱中及特殊平面图形中的垂直关系应用线面垂直的判定定理证明；(2)先通过条件验证，确定条件①③，构建线面垂直模型，结合判定定理进行证明．解：(1)证明：∵ABC­A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面AA1B1B.∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)选①③能证明AB1⊥平面C1DF.如图，连接DF，A1B，易知DF∥A1B，∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.∵DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.证明线面垂直的问题(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②平行、垂直间的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．考向3直线与平面垂直的性质典例3如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.[解题指导]应用线面垂直的判定定理证明AE⊥平面PCD及MN⊥平面PCD，从而根据线面垂直的性质定理证明AE∥MN.证明：∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.点拨：应用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．考向1平面与平面垂直的判定典例4在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P­BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P­BCDE的体积；(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.特训点2平面与平面垂直的判定及性质【多维考向类】[解题指导]由面面垂直的性质得出线面垂直，从而求得四棱锥的高，然后应用体积公式求体积；取DE，BC的中点M，N，先证BC⊥平面PMN，从而证得BC⊥PM，结合PM⊥DE证得PM⊥平面BCDE，从而证得面面垂直．解析：(1)如图所示，取DE的中点M，连接PM，由题意知PD＝PE，∴PM⊥DE，又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P­BCDE的高．在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，(2)证明：取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，∵PB＝PC，∴BC⊥PN，∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN，∴BC⊥平面PMN，∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知PM⊥DE，又BC，DE⊂平面BCDE，且BC与DE是相交的，∴PM⊥平面BCDE，∵PM⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE.利用判定定理证明面面垂直的一般方法先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明．考向2平面与平面垂直的性质典例5

(2022·广东高三模拟)如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.[解题指导]根据面面垂直的性质定理证得PG⊥BG，根据菱形条件证得BG⊥AD.根据线面垂直的判定证得线面垂直，由线面垂直得到线线垂直，然后推得AD⊥平面PBG，根据线面垂直的性质从而证得AD⊥PB.证明：(1)如图，连接PG，BD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，又BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG.又四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG，∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.面面垂直的性质定理的应用思路在空间图形中，如已知条件中有面面垂直，一般需要作辅助线，考虑应用面面垂直的性质定理得到线面垂直，继而可得线线垂直．在运用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是关键．典例6

(2022·红河州模拟)如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)证明：AE∥平面BDF.(2)若M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．特训点3垂直关系的综合应用【师生共研类】[解题指导](1)根据线面平行的判定条件通过证明面外一线平行于面内一线，证得AE∥平面BDF；(2)先假设存在并确定特殊点位置，然后结合面面垂直关系构建线面垂直模型，应用线面垂直的性质加以证明．解：(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OF，如图①.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点．又F为EC的中点，∴OF∥AE.又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)当点P为AE的中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE的中点H，连接DP，PH，CH，如图②.∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB.又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面BCE.