高中数学竞赛训练题集大全

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高中数学竞赛训练题一选择题

1.当0cx<1时，f(x)=—9则下列大小关系正确的是()

1gX

A.f\x)<f(x2)<f(x)B.f(x2)<f2(x)<f(x)

C./(x)</(x2)</2(x)D.f(x2)<f(x)<f2(x)

2.设/(x)在[0,1]上有定义，要使函数。)+/(%+。)有定义，则。的取值范围

为()

A.(-00,-1)；B.[-另]；C.(-,+<»)?D.(-co,-l]u[p-Hx))

3.已知P为三角形ABC内部任一点(不包括边界)，且满足

(PB-PA)(PB+PA-2PC)=0t则4ABC一定为()

A.直角三角形；B.等边三角形；C.等腰直角三角形；D.等腰三角形

4.已知/(力=/+(/+从一1卜+42+2必一从是偶函数，则函数图象与y轴交点

的纵坐标的最大值是()

A.V2B.2C.2>/2D.4

5.已知函数/(%)=/-4%+3,集合M={(x,y)"(x)+f(y)40},集合

N={(x,y)\f(x)-f(y)>0]t则在平面直角坐标系内集合Mp|N所表示的区域的

面积是()

A.—B.—C.7TD.27r

42

6.函数〃x)=+J12-3文的值域为()

A[1,问B.[1,G]C.1,|D.[1,2]

7.设/(X)有反函数广।(x),将y=/(2x-3)的图象向左平移2个单位，再关于X轴对

称后所得函数的反函数是()

A.£Vx)z!B.上次包C.上山D.八吐1

2’222

八包一cos4x+sin4x+sin2xcos2x科出山,、

8.化简二角有理式------------------r-----「的值为()

sinx+cosx+2sinxcosx

A.1B.sinx+cosxC.sinxcosxD.1+sinxcosx

9.设Z,5为两个相互垂直的单位向量c已知源=3,OQ=h,赤=r£+kB.若APQR

为等边三角形，则k,r的取值为()

-1±V31土石1土石

=r=---------，1二------

1±V31土6

.k=-=-----

2~Y~

10.设{q},也}分别为等差数列与等比数列，且4=4=4,%="=1，则以下结论

正确的是()

A.%>&B.a3<b3C.a5>b5D.a6>b6

IL若X£R+,则(1+2%产的二项式展开式中系数最大的项为()

A.第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项

12.®/(X)=COsf,«=/(10ge1),b=/(10gx-),C=/(log,-ly),则下述关系式正

57ie-n"

确的是()o

A.a>h>cB.b>c>aC.c>a>bD.h>a>c

13.已知一lVa+〃V3,且2Va-〃V4,则2a+34的范围是()

,1317、n/711、c/713、n/913、

A.(---,—)B.(--,——)C.(------,——)D.(—,——)

22222222

14.若函数y=log”(x2-ar+l)有最小值，则。的取值范围是().

A0<tz<lB0<〃<2,〃工1c\<a<2Da>2

22

15.已知a>b,ab=l,则幺上乌二的最小值是().

A2j2BV2D1

16.已知cosx+cosy=1,贝IIsinx—siny的取值范围是().

A[-1,1]B[-2,2]C[O,句D[-百，石]

17.函数/(x)是(0,+8)上的单调递增函数，当〃时，f5)wN*,且

f[f(n)]=3n,则/⑴的值等于().A1B2C3D4

18.设集合知={-2,0,1},N={12345},映射使得对任意的xeM,都

有x+/(x)+V(x)是奇数，则这样的映射/的个数是

()

(A)45(B)27(O15(D)11

19.设函数/(x)=lnx,g(x)=〃x+2,它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则

x

当X>1时，/(幻与g(x)的大小关系是()

(A)f(x)>g(x)(B)f(x)<g(x)(C)f(x)=g(x)(D)/㈤与g(x)的大小不

定

20.已知正方体ABCD—AiBiJDi，过顶点4在空间作直线/,使直线/与直线AC和BJ

所成的角都等于60。，这样的直线/可以作()

(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条

21.从1至169的自然数中任意取出3个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法

有()

A.89种B.90种C.91种D.92种

22.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的

两个

多面体的内切球的半径之比是一个最简分数上，那么积"2•〃等于()

n

A.3B.4C.6D.12

23.圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形

所占的比为()

A84-1、2

A-21BD-21C126D-7

24.把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有()种.

A4B6C8D16

25.(4+5)2川的小数表示中，小数点后至少连续有()

(A)2〃+1个零(B)2〃+2个零(C)2〃+3个零(D)2〃+4个零

X2y2

26.设AB是椭圆=+J=1的长轴，若把AB100等分，过每个分点作

ab

AB的垂线，交椭圆的上半部分于Pl、P2、…、P99,F1为椭圆的左焦点，则

怩川+|“㈤+阳图+…+忻％|十恒网的值是()

(A)98a(B)99a(C)lOOtz(D)101a

高中数学竞赛训练题一选择题答案

2/\2

1.解：当o<x<i时，/（X）=—<0,y（x2）=-^-<o,f\x）=—>0o

IgxIgx（IgxJ

又因为高一卷=障42谭皿所以小)<"<小).选以

2解：函数/(工一。)+/("+4的定义域为[a,l+a]c[_a,l-a]。当时，应有

aKl—。，即一；当。工0时，应有—〃41+4,即—。因此，选Bo

22

3解：因为厢-序=而，丽+西-2元=丽+画，所以已知条件可改写为

AB(CB+CA)=0o容易得到此三角形为等腰三角形。因此选Do

4解：由己知条件可知，/+/-1=o,函数图象与)，轴交点的纵坐标为"+2ab-b2o

令a=cos6,/=sing,则

a2+2ab-h2=cos2+2sin^cos-sin2=cos20+sin2^<72,»因此选A。

5.C提示：由已知可得林{(x,y)|f(x)+f(。这0}=p

{G,力|(JT2)2+(尸2)?W2},履{G,。|f［x)-Z(7)>0}Ix-y=0

={(用力1(尸力(K尸4)20}.\_Z

则MAN平一2>+H,M

(x-^)(x+y-4)>0yC-X

作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半，/\

即为，万(及A=)，故应选C.寺x+y-4^0x

2

6.Q.解：“X)的定义域为34工<4,则0工1一341,令x-3=sin2a

2

则

/(x)=\lx-3+^3(4-x)

=sin6+13(1-sin?夕)=sin。+gcos0=2sin(6+y)

TTjr5乃I7tit

因一0—V—,贝！］—<sin(e~i—)《1,l«2sin(eH—)«2

336233

7.A解：设y=/(2X一3)上有点(右,%］左移2(x-2,v)关于x轴对称

---0-------0--->

(%-2,-%)取反函数

-),・•・仁鼠=U=-代入-曲-3)得

r=/(2y+l)n

2y+\=f-l(-x)=>y=f,

8.解答为Ao^)*^：=(sin2x+cos2x)(sin4x+cos4x-sin2xcos2x)+2sin2xcos2x

=sin4x+cos4x+sin2xcos2x9也可以用特殊值法

9.解答.c.।尸@=依盟=|尸盟，

即次+（女一1）2=^（-i）2p=72,解得，k」土o

r+J

10.解答：Ao

设等差数列的公差为d,等比数列公比为q,由4=4=4必=d=1,得d=-

得〃2=3力2=2蚯;%=2也=孤;%=。，々=孝;。6=-1,力6=4。

2932

11.解答：D.7^=。:2',由7；«7；+1,4+2«（+1=与《一"§，g1°，第11项最大。

X7T

12.解答：Do函数/（X）=COSw为偶函数，在（0,-）±,/（X）=COSJl•为减函数，

而log6-=-logt.肛log》-=--!—Jog|3=2log,九,

nelog,7t-n

八1log,乃2log,乃乃8山

5log^,7i554

13解：由待定系数法或线性规划可得。

14答案：C.解：当Ovavl时，y=log“x是递减函数，由于，=/一or+1没有最

大值，所以y=log“（x2一⑪+1）没有最小值；当时，有最

小值等价于/=/一磔+i有大于。的最小值.这等价于A=a2—4<o,因此

222

is答案：A.解,记〃一〃=，，则r>o.土=之2后，（当且仅

a-btt

当"△即明学，乐学时取等号）.故选A.

16答案：D.解：设sinx—siny=/,易得cosxcosy-sinxsiny=即

f/_1I-1

cos(x+y)=,由于一lKcos(x+y)〈l,所以一1W----<1,解得

22

-43<t<y/3.

17答案：B解:（用排除法）令鹿=1,则得/"⑴]=3.

若/⑴=1，则力/⑴]=/⑴=3,与/⑴=1矛盾;

若/⑴=3,则/"⑴］=/(3)=3,与"/5)在(0,+8)上单调递增〃矛盾；

若/(1)=4,则=f(4)=3,也与"/*)在(0,+8)上单调递增”矛盾.故选

B.

18.A提示：当工=-2时，x+/(x)+4Xx)=-2-f(-2)为奇数，则/(一2)可取1、

3、5,有3种取法；当冗=0时，x+/(x)+4(x)=/(0)为奇数，则f(o)可取I、3、

5,有3种取法；当x=l时，JV+/(X)+#(X)=1+2/⑴为奇数，则”1)可取1、2、

3、4、5,有5种取法。由乘法原理知共有3x3x5=45个映射

19B提示：f(x)与g(x)的图象在x轴上有公共点(1,0),g⑴=0,即。+Z?=0.

•:f'(x)=-,g⑶=a--%

由题意

XX

/(l)=g(1)=1,即。一人=1,

令F(x)=/(x)—g(x)=In戈一(〈为一；)

,则

22x

・・・/(x)在其定义域内单调递减.由丁/(1)=0,,,•当x>l时，F(x)<0,即

f(x)<g(x).

20.B提示：易知异面直线AC与BJ所成的角为60。，因此，本题等价于：已知直线。

与〃所成的角为60。，则过空间一点P且与。、力所成的角都是60°的直线有且仅有多

少条？这不难可判断有3条。

21解：若取出的3个数构成递增等比数列a,aq,aq2,则有1Wav的<叩？4出9。

由此有2«qW13。当〃固定时，使三个数a,aq,为整数的。的个数记作N(q)。

由矽2V169,知N(q)应是竽的整数部分。N(2)=［竽］=42,

N(3)=［竽］=18,N(4)=10N(5)=6N(6)=4N(7)=3N(8)=2

N(9)=2N(10)=N(ll)=N(12)=N(13)=l.因此，取法共有

MD+N⑵+…+N(13)=91。

rn

22.C提示：利用等体积法，可以求出」=工2,所以帆•〃等于6.

n3

23.D提示：任选4点，共有Ci=210个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5

组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以5组从不平行于直径的4条平行弦中选取,

去除矩形，梯形共有60个，所以，梯形所占的比为年.

24答案：C.解：设f—y2=2008,即(x+y)(x—y)=2008.2008有8个正因数，

分别为1,2,4,8,251,502,1004,2008.而且(x+丁)与(1-y)只能同为偶数，

因此对应的方程组为

x+y=-2-4-502-1004245021004

-1004-502-4-2100450242

故(x,y)共有8组不同的值：(503,501),(-503,-501),(-503,501),(503,-501)；

(253,249),(-253,-249),(-253,249),(253,-249).

25.A提示：由二项式定理知易证［(后+5)2'田一(后-5产向］eZ,因此

(V26+5)2n+1与(4-5/用的小数部分完全相同。

v0<V26-5<J—<—,.\0<(V26-5尸向<(―)2n+,,即(后-5)2/1+1的

V26+51010

小数表示中小数点后面至少接连有2〃+1个零，因此，(序+5)?向的小数表示中，

小数点后至少连续有2/?+1个零。

26.D提示：(方法一)由椭圆的定义知内用+优用=2a(i=l,2,…,99),

99

••・2(忻用+优用)=2。X99=198〃由题意知片,巴门・,%关于)，轴成对称分布，

99199

忻用)=山用+优用•又:IFM+IF㈤=2。，故所求的值为

/=12/=1

10kz.

(方法二)3肉+阳用+旧图+•••+忻/什山同

=(a+ex八)+(〃+3)+…+(a+exw)+(a+exB)

=101a+e(xA+*2…+通9+4)=l°la(A，6，£,…,%,B关于y轴成对称分

布)

数学竞赛训练题一

一.选择题(每小题6分，共36分)

1.如果x>0,y>0,logty+log、,x=¥,xy=144,那么x+)的值是()

A20V38.2660.2473D.106

2.设函数/*)=〃*(〃>0且〃。1),f(-2)=9,则()

A./(-2)>f(-1)B./(-1)>f(-2)

C.f(1)>f(2)DJ(-2)>f(2)

3.已知二次函数/。)满足/(1一幻=/(1+1)，-40/(1)工一1,—1«/(2)工5,则

/(3)的取值范围是(

28/—25

A.7</(3)<26B.-4</(3)<15C.-l</(3)<32D.一■—/(3)—

—2—1—

4.如图1,设P为△ABC内一点，且4P=-4B+-AC,

55

则△ABP的面积与8c的面积之比为()

5.设在xoy平面上，OcyVf,owxwi所围成图形的面积为g,则集合

M={(x,y)llylTx区l},N={(x,y)||)ex2+l}的交集McN所表示图形的面

积是()

A.—B.C.1D.莒

333

6.方程五十华^=2007的正整数解(％y)的组数是()

yb

A.1组B.2组C.4组D.8组

二.填空题(每小题9分，共54分)

7.函数/(x)=log,(x2-5x+6)的单调递增区间为.

3

8.已知5sin2a=sin2。，则坦世士学的值是___________________.

tan(a-1°)

9.设{/}是一个等差数列'q=19,。21=3,记A”=6,+〃“+[+....+/+6，则|AJ的

最小值为_______________

10.函数/(x)满足八1)=1003,且对任意正整数〃都有

/(D+/(2)+……+f⑺=〃"(〃)，则/(2006)的值为

y>0

11..已知•3x-yNO,则V+y的最大值是

x+3j<0

12.对于实数x,当且仅当cWxV/Hl(〃£N-)时，规定冈=",则不等式

4[x]2-36[x]+45<0的解集为

三.解答题(每小题20分，共60分)

13.设集合—Xlog|(3r)N-2•,若力C正0,求实数。的取值

范围.

14.三角形48c的顶点C。,))的坐标满足不等式/+产工8+2工丁23.边48在横

坐标轴上.如果已知点。。1)与直线AV和BC的距离均为1,求三解形ABC面积的的最大

值.

15.设函数y=/(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1,且对任意实数x,y,有

f(x+y)=f(x)f(y)成立，数列｛4｝满足4=/(0)且

(1)求生睡的值;

(2)若不等式(1+-1)(1+4-)……(1+,)之k)2n+1对一切〃£N”均成立,求左的

4%an

最大值.

数学竞赛训练题一参考答案

1.B2,A3.C4.A5.B6.D

37

7.(-<»,-2)8.——..9.-

25

1

11.912.2Kx<8

2007

13.解：a£(T,0)U(0,3)

14.解：点C在如图的弓形区域内.设44.0).8(〃2.0).。(%.%)，由点。到直线AC,

BC的距离等于1得

(%―2)42+2端4一%=0,

(%-ZW+Zq%-%二0・

这说明q,4是方程(%-2)〃2+2/。-%=0的2个根.所以

1^1=(4+%)2-4〃百=丹+叫一”

这里Noe[3,4].首先固定为，欲使最大，需

22

x=9-(y0-l).

因此当先£[3,4]为某一定值时，点C应位于弓形弧上.所以

5必的=1AM•1为空<6&(%=3时取等号)

22

15.解:⑴令x=-l,y=O,W/(-D=/(-D/(0),/(0)=L.・.4=/(O)=1

当x>0时,-x〈O,f(O)=f(x)f(-x)=l,J0<f(x)<l.

设X”x9eR,且X]〈X2,则f(xq-x)。,

f(x))-f(x2)=f(x)-f&产2-X])=f(x,)[1-f(x2-X1)]>0.

.・.f(x,)>f(x2),函数y=f(x)在R上是单调递减函数.

由fa+声—^得r(%+〃(-2-*=L

f(-2-aJ

・・・/(〃〃+1-67/2-2)=/(O),an+x-an-2=0.即〃用一为二2

afnl=2n-71,tZzU9fvtono=4015

(2)由(i+-)(1+—)……(i+—)>女恒成立,知

出

(i+-)(i+-)・・・・・・(i+-)

k<―——-------生恒成立.

也+1

(1+—)(i+—)......(1+—)

设F(n)二一———么,则

,2〃+1

F(n)>0

(1+,)(1+2)......(1+——)

且产(〃+1)=———*_；——S

5+3

T7产(〃+1)2(〃+1).日口£V1\、17/X

又——=/、>1,即尸(〃+1)〉/(〃)

尸(〃)小4(〃+1)2—1

・•・F(n)>F(l)=-^

所以,有,即k的最大值为

。O

代数极值

很长时间以来，代数极值问题一直是国内外数学竞赛中的热点问题，以下我们就来

讨论这类问题的解法.

一、条件极值问题

例1设非负实数4,。2,…，％满足4+。2+•.•+%=1，求

-------------+--------二-------+…+------3----------的最小值.

1+6F2H-----卜a“1+q+%"I-----1+q+•••+

解:给所求式中的每一个分式分配一个常数1,通分后，再将q+%+…+4用常数

1代换,

4।1_1+(4+%-----a”)_2

1T1=1=1

1+4+…+4〃2—42-q

理，---------=--------+1=--------

1+。1+。3+，一+。“2-a2

则

为了利用柯西不等式，注意到2(2-《)=2〃-24=2"-1

i=ii=i

(2〃-优J

i-i2-q；.i(.12-q

(„_____］丫222

...VJ2-a•.=n2.y+n...——,BPy...----------n=------.当且仅

Mj2-qj2A?-12A?-12n-l

当

1H

4=劣=…=q=上时,上式等号成立.从而，y有最小值.

n27j-l

评注：通过添加常数1,再代换常数1使原本复杂的式子简单化,为运用柯西不等式

创造了条件.

22

例2设孙=1,且x>y>0.求三士上的最小值.

X-)'

解：由于x>y>0,可设x=y+Ay(Ay>0),则

J+V=(x-y)2+2孙二(绿产+22及

x-yx-yAy

当且仅当Ay=及，即x=四*，y=二］也时等号成立.因此三土上的最小值

22x-y

为2技

评注：引进增量起到了降元的作用.

例3设a,O,c为正数，且而c=l,求」一+」一+二一的最小值.

2〃+126+12c+l

解：设a=-,b=—,c=-(x,y,zeR+),则

yzx

------1-------1------=-------1-------1------.

2〃+12b+\2c+1y+2xz+2yx+2z

由柯西不等式

得，[y(y+2x)+z(z+2y)+x(x+2z)],--—+—-—+—--...(x+y+z)2.

(y+2xz+2yx+2z)

“hyzx(x+y+z厂i

从而，---+------+------...---------------------------------=1,即nil

y+2xz+2yx+2z[y(y+2x)+z(z+2y)+x(x+2z)]

—…1.当且仅当a=/?=c=l时去等号.故所求最小值为L

2。+12b+l2c+\

评注:本题直接运用柯西不等式有困难,通过分时代换后则显得比较容易.当然也可

先证明

1

——2■―^而得到最小值.

2a+\+齐+西

二、多元函数极值问题

例4设求函数f(x,y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值.

解:f(.y)=(x-y-7)2+5(y-2)2+3,故x=9,y=2时,/min=3.

评注:配方法是解与二次函数有关最值问题的常用方法.

例5己知非负实数不孙…，毛满足£玉,，，求/(和工2,…，一七)

的最小值.

解：当士，勺「,，怎_2，玉1+七都为定值时，由于

(1—七T)(1一%)二1一*〃T+/)+/T怎，

可见，归1一Z|越大，上式的值越小.为此，令

X：=%。=1,2,•••,〃一2),X-：=x“_1+x„,X：=0,①

则=ZT+乙，乙二=0<xn_}xn•・・

r

(1-x1)(1—x2)•••(1—xH)...(1—x/)(1—x2)•-•(1—xM_/)

其中X；+4+…+x：=%+天+…+,，g.再进行形如①的变换九一2次,即可得

(1—%1)(1—Xj)•••(1—XM)>l—(x,+x2H---,其中等号当

xx=—,x2=x3=•••=%„=0时取得.，所求最小值为5.

评注:解多元函数最值问题常用逐步调整法.先将函数看作关于其中一个变量的函

数,将其它变量看作常数,再对其它变量用同样方法,最终转化为一元函数.

再看一个逐步调整法的例子.

例6给定实数。>25.对于满足条件的所有正实数组

(=1x；

(百，工2，工3，匕，毛)，试求

吧半乌q的最值

min{xpx2,x3,x4,x5}

解：由对称性，设用副/七系卜4w，由齐次性，设

X|=l,x5=u,x2,x3,x4G[1.W],

a=/（占,七,xj=（1+々+七+%+〃）（—।---1----1----F1）

，4+9“-3,”（向3）4+1从而瓜61.

另一方面，将x3,x4看作常

数，。=/(彳2，尢3，％4)=。・％2+2+/(。，/，，>0)42>0时，/为凸函数，在％2=1

X2

或吃=〃时取得最大值.同理，f在七，工4=1或〃时取得最大值.

设/取得最大值时，々，与，/中有々个为〃，3-2个为1,2=0,1,2.

此

时，/=(痴+3-攵+1+〃让+3-Z+")=

uu

―纥匕2+3(〃1)21+3+4)(4〃+1)，为开口向下的抛物线，对称轴为左=3,

uuu2

故左=1或2时，/取得最大值.

..a=/（x^,Xj,x4）„（2〃十3）（二十3）=6（〃+,）+13=6（4十J=）2十1,

wuJu

\Ja-i+yJa-25

2瓜

_11m｛百,“2，入3，%毛｝(y/a-l+Ja-25[&-3+Ja+5-6G]

min｛xpx2,xj,x4,x5｝(2底厂[2J

三、无理函数极值问题

例7求函数/(x)=Jd_3f—6工+13-//一白+1的最大值.

解：由于

f(x)=Jd-3k-6、+13-、//4-x~+1=[(x-3)~+(x~-2)~-yjx~+(x2—1)".

令43,2),3(0,1),尸(无/)，则/(©=|刚一归却于是，问题转化为在抛物线),=/

上求一点P,使|尸A|-|PB|最大.

因点A在抛物线下方，点B在抛物线上方，故直线AB和抛物线必相交，交电由方

2

y二x

程组｛y-i2-1确定，消去y，得3f-工一3=0.由于关于X的二次方程的常数项

7^0~3^0

为负，则方程必有负根.又三角形两边之差小于第三边，所以，当P点位于负根所对应的

交点位置时，/a)有最大值|A.=J15.

评注:本题不必求出交点坐标，从图中也可以看至的最大值为

例8求函数/(X)=2x4-\!\+X-X2的最值.

解：由于f(x)=2x+Vl+x-x2=2x+-(x-1)2,可令

1石.AAr乃41

x--=—sin<9,6>e

2222

则x=；+乎sin。.于是/(x)=g(夕)=1+6sin夕+与cos。=1+gsin(。+勿)，其

中夕=arcsinj=.

v5

TTTT\7T\71

因为0e[——,—],故^+^G[arcsin-7=——,arcsin-；=+—],从而

22V52V52

2

sin(。+9)G[-1],

即g(。)w［1—逐3,故/(x)min=l-V5,/(x)niax=1.

评注:三角换元也是解无理函数最值的好方法,常借助于辅助角公式.

例9求函数y=J2%2—3%+1+Ji-21的最小值.

解：先求定义域(-8,0］口⑵+8),注意到两个根号内的函数在(YO,0］上都递减,

在［2,+8)上都递增，故原函数亦如此.故为访=min"(0),f(2)}=l.当x=0时取

到最小值.

评注:运用单调性，简单巧妙.

例10求函数y=Jx2+2x+2+yjjr-2x4-2的最小值.

解：(构造法)：y=7(X+1)2+12+7U-1)2+12»表示动点P(x,D到定点

A(1,O),8(T,O)的距离之和，故y1nhi=2夜.

解法

二：

y=y/x2+2x+2+y/x2-2x4-2>2y/(x2+2x+2)(x2-2x+2)=+4>2五,

当％二O时，两等号同时成立，故》.=2近.

例11对实数X,求函数/(x)=j8x—x2—,14¥-/一48的最大值.

解：f(x)的定义域为［6,8］,u(x)=yIsx-x2=^/16-(x-4)2,当x=6时，

22

“max=J技；V(x)=-yl\4x-x-48=—Jl-(X-7),当X=6时,vmax=0,从而当

x=6时f(x)有最大值JH=24.

解法一：定义域为令〃(2

/(x)［6,R］,x)=J&r-x2,v(v)=A/14X-X-48.

w2-v2=48-6x.

vxG［6,8］,0<48-6A:<12,/.0<w2-v2<12......(1).vy=«-v,/.w=y+vR

222

入(1)得：y+2叩412,易知yNO,V=A/1-(A:-7)>0……(2)j</+2vy<12,

.-.y<2>/3,当x=6时(1)、(2)同时取等号.故/(x)有最大值，i=2百.

解法三：f(x)的定义域为［6,8］>/(x)=J8-x(Vx—Jx-6)=一,8厂.1_,

y/x+VX-6

•・・,/L在［6,8二上是减函数，从而当x=6时/(此有最大值配=24.

Vx+Vx-6

评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若

/(x)=w(x)+v(x),〃(x),y(x)同时在X=两处取得最大值，则/(X)在X=X。处取得最

大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若/(*)在闭区间E6］上

为单调函数，则/(幻在端点处取得最值”.

四、分式函数极值问题

石为=乎.所以孙+2yz”¥(V+y2+z2).当且仅当10X=2囱y=5z时

等号成立.

故心+匕的最大值为亚.

x2+y2+z22

评注:本题对分子或分母直接运用均值不等式显然达不到目标，，引入参数。力作

为待定系数进行代换,再运用均值不等式进行处理,表面上好象增加了变量,实际上却使

本来较难解决的问题得以顺利解决.

例13对所有a,O,c£/T,求/&+/"+/°的最小值.

da1+8bcdb2+8ac+8ab

解:作代换J=/&,y=/b,z=/c，则x,y,zw（0,4~oo）.从

xla2+She\Jh2+Sac\Jc2+Sah

_2/nn18Z?c_xra1,Sac1,^ab_

而，X=----;-,即—x=—5-.同理，——1=——1=——•将以上二式相

er+Shcxay~b~zc-

二512.若x+y+z<l,则0cx<l,O<y<l,Ovz<l.

222x2

=（i-x）（i-r）（i-z）n[（z^）-]

xy-zx-y-z

flKy+z）（2x+y+z）]n（2病.4后）口（8「%2）%3）_

y-~r-D[/■刁JS■t/itA

xy^zjryz-ryz~

x+y+z...1.从而，当a=b=。时,所求最小值为1.

评注：通过整体代换将问题转化为条件最值问题，即在

+-1)[3-1)=512成立的条件下’求x+y+z的最小值,可先从极端情

况探求最小值,再运用反证法进行证明.

ah9c

例14已知〃,"C£R+,求，—+，—+々—的最小值.

b+3c8c+4a3。+2b

解:对分母进行代换，令b+3c=x,8c+4a=y,3a+»=z,

则”-L+L+L,人L.2y+L,”L+Ly-Lz.

38'6216461612

ab9ci“知+U”+曳生.由均

故44r-----+-------+-----+-

b+3c8c+4。3。+2〃y)6xz)161yz48

值不等式得

上式..」乂4+,乂6+」-*12—8=2.当且仅当y=2x,z=3/时等号成立.・••当

86164848

47

a=10。,。=21c时,所求最小值为一.

48

评注:对于分子与分母均为齐次的分时最值问题，一般最易想到运用柯西不等式处

理，但有时很难直接奏效,此时,进行分母代换时比较明智的选择.

22