苏教版高中数学教案-推理与证明(教师)

第1课归纳推理

【知识结构】

【学习目标】

1.了解合情推理的含义.

2.掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题.

【预学评价】

1.推理：.

根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.

2.归纳推理：.

由个别事实推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理.

3.归纳推理的特点：.

由部分到整体、由特殊到一般.

4.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于.

答案：32

【经典例题一】

例1蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、

海龟、蜥蜴都是爬行动物，所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的.

解：前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、

鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.

结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的.

例2探索凸〃边形的内角和.

解：前提：三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°,……

结论：凸〃边形的内角和是(n—2)X180°.

22+122+222+3,,,皿,、1注/日

例3-<——,-<----,-<----，…由此，我们猜想

33+133+233+3

解：立〈红”.此题用糖水浓度问题解释.

aa-\-m

【探究】上述结论都成立吗？

【点评】归纳推理的结果不一定成立！

归纳推理是一种创造性猜想，他的结论未必正确，需要经过证明和检验.

【随堂练习一】

1.根据给出的数塔猜测123456X9+7=

1X9+2=11

12X9+3=111

123X9+4=1111

1234X9+5=11111

解：1111111.

2.观察下列等式

13=12

I3+23=(1+2)2

尸+23+33=(1+2+3)2....,山此推出

I3+23+33+•••+w3=.

解：(1+2+3+…+〃)2.

【经典例题二】

例4已知数列｛凡｝的通项公式%=―J(〃eN*),记—4)(1—为)…(1—4),

("+D

试通过计算/(I),/(2),/(3)的值，推测出/(〃)的值.

解：/⑴=1-卬V；

/⑵=(l-q)(l-%)=E；

/(3)=(l-a,)(l-«2)(l-«,)=|,

o

77+2

得出猜想，/(〃)=-------

2(〃+1)

例5如图第〃个图形是由正〃+2边形“扩展”而来，(〃=1,2,3,…).则第

解：(〃+2)(〃+3).

【随堂练习二】

3.已知：数列｛恁｝的第一项用=1,且4+1=—叽，试归纳出这个数列的一个通项公式_____

%+1

解：4=1,%=g,%=；，。4=；，归纳出。,=十.

4.图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃

迎迎”，按同样的方式构造图形，设第〃个图形包含/(〃)个“福娃迎迎”，则/(5)=；

/(〃)-/(«-1)=.(答案用数字或n的解析式表示)

£

55器

S5

。

会55a

£J5553555。

551555S55555525s5

S52552衰

55$5。55

55£355

⑴9

解：/(5)=41,/(„)-/(«-1)=4(M-1).

【分层训练】

1.观察下列数的特点

1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,•••中，第100项是.

解：由规律可得:数字相同的数依次个数为

1,2,3,4,…，n,由""+1)W100,nGN*得，n=14,

2

所以100项是14.

2.观察下列两等式的规律，请写出一个(包含下面两命题)一般性的结论:

①sin230°+sin290°+sin2150°=-

2

②sin25°+sin265°+sin2125°=-

2

3

解：sin2x+sin2(x+60°)+sin2(x+l20°)=-.

3.，…，由此你猜出第个〃数为

解:I/

)2-1

4.若/(〃)=l+：+：+-+L〃eN*),经计算:7(2)=；,/(4)>2,/(8)>f,./(16)>3,

23n22

7

/(32)>j,推测当〃之2时，有.

解：八2")2等.

5.依次有下列等式：

1=『,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,按此规律下去，第8个等式为.

解：8+9+10+…+23+24=17?.

6.设/(x)=——再=1,X"仑2),则工2，工3，工4分别为__________•猜想

x+2

7.观察以下各等式：

3

sin230°+cos260°+sin30°cos60°=—

4

3

sin220°+cos250°+sin20°cos50°=—

4

3

sin215°+cos245°+sin15°cos45°=-,分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等

4

式.

3

解：分析3个等式中两角关系，可得出$吊2。+8s2(a+30°)+sinacos(a+30°)=—

4

8.已知+2-"(〃22),计算出这个数列的前4项，归纳出该数列的一个通项公式.

解：%=：，a2=1-%=Q4=*,归纳得=今J.

9.经计算发现下列正确不等式：

72+V18<2V10,745+7155<2>/10,△+及+J17-0<2厢，…,根据以上不等式的规律，

试写出一个对正实数a，b成立的条件不等式.

解：当a+b=20时，\[a+\/b<2>/\0,a,/>e(0,+oo)

10.在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”

形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；

第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按如图所

示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球

自然垒放在下一层之上，第〃堆第〃层就放•

个乒乓球，以〃”)表示第〃堆的乒乓球总数，

(1)求了⑶；

(2)求/(〃)(答案用〃表示).

【分析】由图形观察可知：从第二层开始，下一堆乒乓球总数是上一堆乒乓球总数加上其第一

层的下一堆乒乓球总数是个数.

解:(1)/(1)=1,/⑵=4,/(3)=10,/(4)=20)/(2)=/(1)+3,/(3)=/(2)+6,

(2)由⑴得/(4)=〃3)+10,…+

26

【点评】本题的关键在于寻找递推关系式：/(〃)=/(〃-1)+笥2,然后用“叠加法”

求通项，而第一层的变化规律为正整数数列前〃项的和.

【师生互动】

学生质疑

老师释疑

第2课类比推理

【学习目标】

1.了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理

2.掌握类比推理的技巧，并能运用解决实际问题.

【预学评价】

1.类比推理：.

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些

特征的推理.

2.合情推理：.

根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理.

3.类比推理的特点：.

由特殊到特殊的推理.

【经典例题一】

例1试根据等式的性质猜想不等式的性质.

解：等式的性质猜想不等式的性质：

(1)a=b=a+c=b+c；(1)a>b=a+c>b+c；

(2)a=b=>ac=bc；(2)a>b=>ac>bc；

(3)a=b=>a2=b2；等等.(3)a>b=>a2>b2；等等.

【思考】这样猜想出的结论是否一定正确？

例2试将平面上的圆与空间的球进行类比.

解：圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.

球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.

圆的性质球的性质

圆心与弦（不是直径）的

球圆（不是大圆）

圆球中点的连线垂直于弦

弦.截血圆与球心距离相等的两

与圆心距离相等的两弦

直径大圆截面圆相等；与球心

相等；与圆心距离不等

周长表面积距离不等的两截面圆

的两弦不等，距圆心较

面积体积不等，距球心较近的

近的弦较长

截面圆较大

圆的切线垂直于过切点

的半径；经过圆心且垂

直于切线的直线必经过

切点

经过切点且垂直于切线经过切点且垂直于切

的直线必经过圆心面的直线必经过球心

【点评】类比推理是由特殊到特殊的推理.

类比推理的一般步骤：

⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;

⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

⑶检验猜想。即

:观察、比较5~~联想、类推j—^猜想新结论:

■■■■■■

例3已知正三角形内切圆的半径是高的,，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是

3

解：从方法的类比入手.原问题的解法为等面积法，即S=ga〃=3x："nr=；〃，类比问题的解法

应为等体积法，v=-Sh=A^-Sr^r=-h即正四面体的内切球的半径是高工.

3344

【点评】(1)不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比；

(2)类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列

类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等.

【随堂练习一】

1.通过等差数列的定义、通项、性质，填出等比数列相关内容

等差数列等比数列

定

义

an-an_x=d(d为常数，n>2,neN)an+a吁i=q(q为常数，n>2,n&N)

通

项

an=q+(〃-1)(7%=/q

性

m+n^p+qoam+an=%,+%m+n=p+qam-an=ap-aq

质

(m,n,p,qeN")(m,n,p,qeTV*)

2.下列表述正确的是.

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一-般到一般的推理；③类比推理是由特殊到

特殊的推理；④类比推理是由特殊到般的推理；

解：①©③：

【经典例题二】

例4在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图

所标边长，由勾股定理有：.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正

方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-CMV,如果用E，$2,$3表示三个侧面面积，S4表示截面

面积，那么你类比得到的结论是.

解：s；+s；+s；=s：.

例5在平面几何里，由勾股定理：“设△Z8C的两边

ZB,4C互相垂直,则初+出八叱”,拓展到空间,类比

平面几何勾股定理，可以得到的正确的结论是：“设三棱锥

A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两互相垂直，

则_________

解:

【随堂练习二】

S，,PA-PB

3.由图1的面积关系：-^^=—―-则图2的体积关系有.

Q

aNABPAPB

"=则的外接圆的半径一与I,把上面的

4.在△力8C中，若NC=90。,

结论推广到空间，写出相类似的结论

解：一叵运.r2

土本题是“由平面向空间类比”.考虑到平面中的图形是一个直角三角形,

2

所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑.

取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体力-BCD,且=AC=b,AD=c,

则此三棱锥的外接球的半径是r=

2

【分层训练】

1.等比数列｛。“｝满足：N,若加+〃=p+q,则。,"•%=4•为由类比推理可得，若｛%｝为

等差数列，且有机+〃=p+g,则.

解：4”+%=<+4

2.已知扇形的弧长为，半径为，类比三角形的面积公式：S=1(底X高X),可推出扇形的面积公

式,

解：由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可得S=写

3.下面给出了关于复数的四种类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由向量。的性质IQ类比得到复数z的性质|z|J/；

③方程办2+fcc+c=O(a,b,cwR)有两个不同实数根的条件是从-4ac〉0可以类比得到：

方程az?+bz+c=O(a,"cwC)有两个不同复数根的条件是/—4ac>0；

④山向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.

其中类比错误的是.

解：②③.由复数的性质可知.

4.在平面几何里，可以得出正确结论：”正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的拓展到

3

空间，类比上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的.

解：=-h.采用解法类比.

r4

5.在平面直角坐标系中，直线一般方程为Zx+W+C=O,圆心在(X。,J。)的圆的一般方程为

222

(x-x0)+(y-y0)=r；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为,

球心在(X。jo，z°)的球的一般方程为.

222

解：/x+功+Cz+Z)=0；(x-x0)+(y-%)2+(z-z0)=F

6.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是。的正方形，其中一个的某

顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为幺.类比到空间，有两个棱长均为。

4

的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.

3

解：类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为生

8

7.已知A48C的三边长为a,6,c,内切圆半径为，•(用S型亦表示"台。的面积)，则

S型Bc=gr(a+b+c)；类比这一结论有：若三棱锥/一BCD的内切球半径为火，则三棱锥体积

嗫一BCD=---------

解：§R(SMBC+SMBD++S.CD)

8.在等差数列｛〃"｝中，若I。=0,则有等式q+%+…+=4+%+…+生9-“(〃<19,“eN+)成立,

类比上述性质，相应地：在等比数列也“｝中，若，=1,则有等式..成立.

解：本题考查等差数列与等比数列的类比.他••也=他…如_"(〃<17,nwN*)

9.在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正四面体中类

似的命题是什么？

解：类似的命题为“正四面体内任一点到四个面的距离之和是一个定值”.

10.已知椭圆C：4+4=1具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C

a1b2

上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点

P位置无关的定值。试对双曲线4-4=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.

a2b2

22

解：类似的性质：若M、N是双曲线彳-彳=1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一

a2b2

点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无

关的定值.证明如下：

22

设M（加/）,则N（-见-〃）,其中—y--=1

设S),由言%=鬻

22

俎〃ry~ny+n_y-n

1守KpM.KpN-7_—~22

x-mx+mx-m

将/=*2_氏〃2=或2_b2代入得%・KpN=W.

aa"/

【师生互动】

学生质疑

老师释疑

第3课时演绎推理

【知识结构】

I大前提

I演绎推理1H小前提

【学习目标】

i.了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.

2.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并

能运用它们进行一些简单的推理.

【预学评价】

1.演绎推理的定义：从的命题出发，推演出命题的结论，这

种推理称为演绎推理.

解：一般性，特殊性.

2.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

（1）-------已知的一般原理；

⑵——所研究的特殊情况；

⑶——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.

解：大前提，小前提，结论.

3.三段论推理是演绎推理的主要形式，常用的基本格式为:

解：M—P（A/是产）（大前提）

S—M（S是M（小前提）

S—P（S是P）（结论）

4,三段论推理的依据，用集合的观点来理解：

若集合〃的所有元素都,S是M的一个,那么S中所有元

素也都具有性质P.

解：具有性质P,子集.

【经典范例一】

例1把“函数卜=X2+》+1的图象是一条抛物线”写成三段论的形式.

解：二次函数的图象是一条抛物线（大前提）

函数y=x?+x+1是二次函数（小前提）

所以，函数y=》2+*+1的图象是一条抛物线（结论）

【点评】三段论中包含了3个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理，第二个

命题叫小前提，它指出了一个特殊对象，把这两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊对象的

内在联系，从而得到第三个命题——结论.演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提

之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.

例2已知lg2=?w,计算lg0.8.

解：（1）\%a"=n\ga（a>0）（大前提）

Ig8=lg23（小前提）

Ig8=31g2（结论）

（2）唠=lga—lgb（a>0力>0）（大前提）

皿8=炮条（小前提）

lg0.8=lg8—IglO（结论）

".'lg2=w,

...由（1）（2）得lg0.8=3m-l.

【点评】在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系.只要前

实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的.因而演

是数学中严格证明的工具.

例3如图，在锐角三角形/8C中，AD±BC,BELAC,

D、E是垂足，求证：的中点M到。、E的距离相等.

解：（1）因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形，（大前提）

在4/8（7中力。_18。,即乙4。8=90°（小前提）

所以是直角三角形（结论）

（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，（大前提）

因为。”是直角三角形斜边上的中线，（小前提）

所以DM=-AB（结论）

2

同理EM=AB

所以DM=EM.

【点评】演绎推理是•种收敛性的思维方法,虽然它较少具有创造性，但却有条理清晰、令人信服

的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.

【随堂练习一】

1.下面叙述中正确的有

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到般的推理；

③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.

解：要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的概念.答案：①③⑤

2.由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理

出一个结论,则这个结论是.

解：由演绎推理三段论可得这个结论是：正方形的对角线相等

3.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线：已知直线b〃平面a,直线

4U平面a,则直线6〃直线a”结论显然是错误的，这是因为

解:由演绎推理的三段论可知，答案应为：大前提错误.

【经典范例二】

例4证明函数〃x)=-x2+2x在(-8,1)内是增函数.

【分析】证明本例所依据的大前提是：在某个区间内，如果那么函数y=/(x)在

这个区间内单调递增.

小前提是/(x)=-/+2》的导数在区间(—8,1)内满足/，(x)>0,这是证明本例的关键.

证明：f'(x)=-2x+2.

当xe(-8,1)时，有1-x>0,

所以/，(x)=-2x+2=2(l-x)>0.

于是，根据“三段论"得，八》)=-/+2工在(―8,1)内是增函数.

【点评】应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁，如果大

前提是显然的，则可以省略.

例5设平面直角坐标系xoy中，设二次函数/(x)=/+2x+b(xeR)的图象与坐标轴有三个交

点，经过这三个交点的圆记为C.

(1)求实数6的取值范围；

(2)求圆C的方程；问圆C是否经过某定点(其坐标与6无关)？请证明你的结论

【分析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.

解：(I)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b)；

令/(x)=x2+2x+6=0,由题意6W0且△>(),解得6<1且6W0.

(II)设所求圆的一般方程为/+/+Dx+Ey+F=0

令y=0得/+£>x+尸=0这与x?+2x+b=0是同一个方程，故。=2,F—b.

令X=0得/+初=0,此方程有一个根为b,代入得出E=-b—1.

所以圆C的方程为f+y2+2x-3+l)y+6=0.

(Ill)圆C必过定点，证明如下：

假设圆C过定点(%,九)(%/0不依赖于b),将该点的坐标代入圆C的方程，

并变形为X；+夕；+2%-%+6(1-九)=0(*)

为使(*)式对所有满足1(6力0)的6都成立，必须有1一%=0,

结合(*)式得

…或.x=-2,

x；+yj+2x0—为=0,解得v0

Jo=LJo=L

经检验知，点(0,1),(-2,0)均在圆Ct,因此圆C过定点.

【点评】解题过程中处处离不开推理与证明、分析与综合，某些试题要靠归纳和类比得到问题的答

案或者解决问题的方法，我们解题时，在推理论证中大多数题目要靠演绎推理完成，可以说推理与

证明伴随在解题的整个过程之中.

【随堂练习二】

4.(1)在演绎推理中，只要是正确的,结论必定是正确的.

(2)用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是.

(3)由“等腰三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是.

解：(1)根据演绎推理的定义可知，答案：大前提和推理过程；

(2)根据演绎推理及增函数的定义可得，答案：增函数的定义

(3)根据类比推理的定义进行分析.答案：侧面都是全等的三角形

5.设函数/。)=幺++(4,6€2),曲线卜=”外在点(2,/(2))处的切线方程为丁=3.

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)证明：曲线夕=/(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心：

(3)证明：曲线夕=/(x)上任•点处的切线与直线X=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并

求出此定值.

解：(I)小)="言",

2f=工

于是

1=0.

(x+b)2

_9

解叱二或二=；

、3

因a,6wZ,故/(x)=x+'y.

(ID证明：已知函数必=x，为=(都是奇函数，

所以函数g(x)=x+(也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.

而函数/(x)=x-l+fj+l•

将函数g(x)的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得到函数y=/(x)的图象，故

函数y=/(x)的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形.

(III)证明：在曲线上任一点(%,%+—0).

/T

由r(x0)=i——J知,过此点的切线方程为

(/T)

X0一入0+1「111/X

令X=1得y=3,切线与直线X=1交点为(1,7).

令y=x得y=2%-l，切线与直线y=x交点为(2x0-l,2x0-1).

直线x=l与直线y=x的交点为(1,1).

从而所围三角形的面积为事7-1||2%-1-1|=%-27一'|2%-2|=2.

2X。一12.XQ—1

所以，所围三角形的面积为定值2.

【分层训练】

1.为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统泣WeK",其加密、解密

原理如下图：

加密密钥密码发送解密密钥密码

明文--------------＞密文------密文---------------明文

现在加密密钥为y=log.(x+2),如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方

通过解密密钥解密得到明文“6”.问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为.

解：运用映射概念进行分析，找出对应元素，解决密码问题的关键是要抓住使明文与密文之间的

对应法则.

y=logu(x+2)且当x=6时，尸3,

.♦.3=log。(6+2)可得a=2,从而当产4时，x=24-2=14答案:14.

2.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是

前两位同学所报出的数之和；

②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，

当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为.

解：这样得到的数列是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，

费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.

这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、

13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、

2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0

循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个

报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2,只有一个是3的倍数，故

3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次.

答案：7次

3.定义是向量。和6的“向量积”，它的长度|£*B|=|Z|・|"sin仇其中。为向量a

和b的夹角，若〃=（2,0）,〃一丫=（1,一6）,则|〃*（〃+叫=.

4.一个质点从/出发依次沿图中线段到达8、C、D、E、F、G、H、/、J各点，最后又回

到/（如图所示），其中：ABLBC,

AB//CD//EF//HG/H.J,BC//DE//FG//HI//JA.

欲知此质点所走路程，至少需要测量〃条线段的长度，

贝IJ〃=£

解：只需测量条线段的长，答案：3.G\H

JI

5.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以------------------------，

整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是“B

解：使用了“三段论”，大前提是特指命题，而小前提是全称命题，但大前提错误.

6.“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P）,某奇数（S）是9的倍数（M）,故某奇数（S）是3

的倍数（P）”判断上述推理是否正确，并说明理由.

解：这个推理是正确的，在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定也是正确的.

22

7.请你把不等式“若卬必是正实数，则有生+包26+%”推广到一般情形，并证明你的结论.

a2a{

解：推广的结论：若a”生，…，4都是正数，

a,anan

-------1----------F,-------------1--------2Q]+Cl2+…Q〃

。2。3an-\a\

证明：•・•%,生，…，。〃都是正数

2222

/.—+>2a1,-+<7.>2a^,>2an.,—+a,>2an

以上〃个同向不等式相加得:

2222

—H-H-----------—+—2%+々2+・一。〃

%%a〃Tq

8.已知定义域为7?的函数/(x)=2一+丁是奇函数.

(I)求凡6的值；

(H)若对任意的/£火，不等式/。2-2。+/(2〃一行<0恒成立，求人的取值范围.

h-\1一2”

解：(I)因为“X)是奇函数，所以"0)=0,即上一=0=6=1.・./\、)=———

。+2。+2"

1-1

1-2O

又山f(1)=-f(-1)知-----=------=>(7=2.

4+4Q+1

1一2”11

(II)解法一：由(I)知/'(x)=----=一一+———,易知/(X)在(-00,+8)上为减函

2I222I1

数.

又因/(X)是奇函数，从而不等式/(/一2。+/(2『一左)<0等价于

f(t2-2r)<-f(2t2-k)=f(k-2/2),因/(x)为减函数，由上式推得：t2-2t>k-2t2.

即对一切re火有：3/一27—左>0,从而判别式A=4+12左<0=左<一工

3

1_1_a""，1_

解法二：由(I)知/(X)=-----7.又由题设条件得：-----7—+——<0,

2+2"i2+2'2,+'2+22'k+'

即：(22,2-*+1+2)(1-2'2-2')+(2,2-2,+|+2)(1-22'2-k)<0,

整理得2""2T>1,因底数2>1,故：3*-2才-左>0

上式对一切teR均成立，从而判别式△=4+12%<0=左<-』.

3

2

9.已知您尸4x+o?在区间［-1,1］上是增函数.

(I)求实数。的值组成的集合A；

(H)设关于x的方程的=2x+；》3的两个非零实根为修、.0.试问：是否存在实数m,使得不

等式rr^+tm+l2,］一必|对任意A及t£［—1,1］恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存

在，请说明理山.

解：(I)，(x)=4+2ax-2x\・.,的在［-1,1］上是增函数,

，广㈤20对工£[-1,1]恒成立，

即，一办—2W0对工£[―1,1]恒成立.①

设(p(x)=x2—ax—2,

方法一：

[夕(1)=1—2W0,

①<=>'=_IWaWl,

l*(-l)=l+a-2W0.

•・•对工£[-1,1],只有当所1时，/G〃=0以及当好一1时，，(〃=0

A={q|—1

方法二：

。、a

「一20,-<0,

J2r2

①oj或1

〔0(一1尸1+O—2W09(1尸1-Q—2W0

=OWaWl或一IWaWO

0—IWoWl.

・・,对1］,只有当片=1时，/(-1)=0以及当片一1时，，⑴=0

A={o|-1WqW1}.

2]

(II)由4工+4工2-丁3=2%+§工3,得X=0,或/-4氏-2=0,

VA=^2+8>0

Axi，M是方程『一方一2=0的两非零实根,

1］+、2=。，

/.从而阮一初|=J（X］+.2）2-例/=J-2+8.

Xl》2=-2,

'/—1WaW1,/.|xi-X2|=J，+8W3.

要使不等式）M+lm+ieix］一刈对任意a£A及/£［—1,1］恒成立，

当且仅当加韦加+123对任意/£［—1,1］恒成立，

即加■加一220对任意/£［―1,1］恒成立.②

设~2=mt+（m2—2）,