2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量211-220-专项训练【含答案】

其中显然不共线，由平面向量基本定理，可设,则有因为,所以即若是的内心,则故或必要性得证.还可进一步得到以下结论.若是的重心，则故若是的外心，则故若是非直角三角形)的垂心，则故【证明】如图四点共圆).同理，有:因此只需证先证四点共圆和为的补角；四点共圆和为的补角),所以待证式成立.同理可证连等式成立,原命题得证.【评注】该证明可谓一箭四雕.需要提醒的是,这里只探求了三角形内心向量形式的必要条件,充分性并未证明.3.外心在锐角三角形中,是外心,则有:从而又故4.垂心当垂心在内部时，有以下结论.(1)是的垂心.[证明]由得故同理,故是的垂心.(2)是的垂心.[证明]因为垂心H在内部,四点共圆,如图所以所以同理所以(3)是的垂心.[证明]即同理可证故是的垂心.四、”四心”轨迹的向量特征形式在中是不同于三角形顶点的一点,内角所对的边分别为(1)则点的轨迹过内心.(2)若则点的轨迹过垂心.(3)若则点的轨迹过重心(4)若则点的轨迹过外心.(5)设为所在平面内任意一点,为的内心,则内心的坐标为五、”四心”轨迹向量形式的证明在中,是不同于三角形顶点的一点.(1)若则点的轨迹过内心.[证明]因为所以以下略.(2)若则点的轨迹过垂心. [证明]从而以下略.(3)若则点的轨迹过重心.[证明]其中为外接圆的半径.以下略.(4)若则点的轨迹过外心.[证明]如图,设为外心,则,设则所以三点共线.以下略.注：为定值（5）设为所在平面内任意一点,为的内心则内心的坐标为[证明]是的内心其中是的三边，详见内心的充要条件的证明.。则六、三角形重心的坐标形式及推广设为内一点,则为的重心为任意点)特别地：为的重心.推广：为边形的重心.直角坐标形式下的三角形重心公式:若点与原点重合,则重心坐标为举例如下.若的三边中点分别为则的重心的坐标为。该题答案为七、三角形欧拉线的由来及证明三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一条直线上,这条直线称为三角形的欧拉线.【例1】在中,已知分别是三角形的外心、重心、垂心,求证：三点共线且[解析]证法1:平面几何法I如图,分别是的垂心、重心、外心，连结作的外接圆，直径为BOD，再连结DC,则(1)(2).因为为的垂心,所以(3)(4.)由(1)(3)可知,由(2)(4)可知,故四边形为平行四边形,所以因为与分别是的中点,所以即作边上的中线连结设交于点因为所以因此即的重心,故的垂心、重心和外心三点共线,直线即是欧拉线。【评注】也可将垂心，外心作为已知条件,证明中线与的交点为重心.证法2:平面几何法=2\*ROMANII设分别为的垂心、重心、外心，如图，连结并廷长交于点,则可知为的中点.连结OD，又因为为外心,所以连结并延长交于点因为为垂心，所以所以,有由于为重心,则连结并延长交于点则可知为的中点.同理得所以有.连结有且有.因为所以又相减可得所以有所以.又所以又所以所以即三点共线.证法3:向量法设分别为的垂心、重心、外心.(1)先证明:若为外心,为垂心,则如图，作直径连结有故故是平行四边形，从而故(2)再证明:若为外心为重心,则.因为是的重心，所以即由此可得反之亦然,证明讨程略.所以所以三点共线.证法4:向量坐标法以为原点,所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设分别为的中点,则有:易知可设则所以因为，所以得,所以,故O,G,H三点共线,且.证法5:向量点乘法如图，O为外心，G为重心，H为垂心。因为,所以又因为所以O.G.H三点共线,且【评注】本例用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理都比较麻烦,而借用向量的坐标形式，可将向量的运算完全化为代数运算,这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起,从而很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明,都可转化为熟悉的代数运算.而证法5更是巧妙地利用了向量点乘,使运算更加简捷.八、与“四心"相关的高考真题【例2】已知是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的().A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】B【解析】如图，设,两者都是单位向量，易知四边形AETF是菱形,故选【例3】已知为所在平面内一点,如果,则必为的(.A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】B【解析】,故选D.【例4】已知为所在平面内一点,且满足,则是的().A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】由条件可推出,下同例3,故选D.【例5】设是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的(.A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】,由，故选D.【例6】已知外接圆的圆心为,两条边上的高的交点为,则实数【解析】如图,作直径BD,连结DA,DC,有,故,所以四边形AHCD是平行四边形,进而又【评注】外心的向量表示可以完善为：在中,若为外心,为垂心,则,其逆命题也成立.【例7】已知向量满足条件证:是正三角形.【解析】将两边平方得,同理,所以,从而是正三角形.反之,若点是正的中心,则显然有且事实上,是所在平面内一点且是正的中心.【例8】已知A,B,C是平面上不共线的三点,是的重心,动点满足,则点一定为的.A.、AB边上的中线的中点B.、AB边上的中线的三等分点（非重心）C、AB边的中点D、重心【答案】B【解析】取AB的中点,则可得进而得,即点为AB边上的中线的一个三等分点,且点不过重心.故选B.【例9】若非零向量与满足且,则为（）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形等边三角形【答案】D【解析】非零向量与满足,即的平分线垂直于BC,所以,,即,所以为等边三角形.故选D.【例10】如图,已知是的重心,过点作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且月下,则。【答案】3【解析】由是的重心,知,得从而有.又M,N,G三点共线（点A不在直线MN上），于是存在,使得,且,则有，得，于是得。【例11】已知A,B,C是坐标平面内不共线的三点,是坐标原点,动点满足OP,求证:点的轨迹一定经过的重心.【解析】即设,则,即因为经过的中点,C,P,D三点共线,所以点的轨迹一定经过的重心.【例12】如图,已知为的外心,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,。【答案】2【解析】,从而为外接圆的半径)。【例13】设是的外心,,则。【答案】【解析】设，如图，则【例14】设O,H分别为的外心和垂心,则。【答案】【解析】因为为BC的中点),又,所以因为为AC的中点)，所以进而易得【例15】设是的外心,且满足,则的值是.A.B.C.【答案】A【解析】由题意知,移项并两边平方得,得注意到,得,于是故选.【评注】在中,已知,则当n,m,p同号时,为锐角三角形,,如图1;否则为钝角三角形,如图2.【例16】已知是线段AB外一点,.（1)