2025年高二物理同步培优讲练（人教版选择性必修第一册）2.4 单摆（解析版）

2.4单摆

01学习目标

物理素养学习目标

1.物理观念：知道什么是单摆，了解单摆的构成及单1.知道单摆是一种理想化模型，理解单摆模型的条

摆的回复力。件，能将实际问题中的对象和过

4.科学思维：①理解单摆做简谐振动的条件，会利用程转化为单摆模型。

图像法分析单摆的运动。②掌握单摆的周期公式，并2.能通过理论推导，判断单摆小角度振动时的特点。

能够进行计算。3.在探究单摆的周期与摆长的定量关系时,能分析数

3.科学探究：经历单摆周期与摆长关系的探究过程，据、发现规律、形成合理的结论，

体会实验设计思路。能用已有的物理知识解释相关的现象。

4.科学态度与责任：借助单摆周期影响因素的分析，4.知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系，能运用

培养严谨的科学态度。其解决实际问题。

重点关注：①单摆②回复力③周期

02思维导图

03知识梳理

（一）课前研读课本，梳理基础知识

一、单摆

1．单摆的组成：由细线和小球组成。

2．理想化模型

①细线的质量与小球相比可以忽略。

②小球的直径与线的长度相比可以忽略。

③细线的形变量与细线长度相比可以忽略。

④空气阻力与小球的重力及细线的拉力相比可以忽略。

3．单摆的回复力

①回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsinθ。

②回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平

mg

衡位置，即Fx。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。

l

二、单摆的周期

1．单摆振动的周期与摆球质量无关(选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(选填“有关”或

“无关”)，但与摆长有关(选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(选填“越大”“越小”或“不

变”)。

2．单摆周期公式

①提出：单摆周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。

l

②公式：T2，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而

g

与振幅、摆球质量无关。

（二）辨析

1.单摆是一种理想化模型,你认为除了细线的质量和球的直径这两点之外,还有什么“可以忽略”?

【答案】空气等对小球的阻力与它受到的重力及细线的拉力相比可以忽略。

2.在制作单摆时,对小球和细线有什么要求?

【答案】单摆是实际摆的理想化模型。我们总要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。

3.摆球经过平衡位置时,回复力是否为零,合外力是否为零?摆球到达最大位移处时，v=0,加速度是否等于0?

【答案】单摆摆动过程中平衡位置不是平衡状态,有向心力和向心加速度,回复力为零,合外力不为零。最

大位移处速度等于零,但不是静止状态。一般单摆回复力不是摆球所受合外力,而是重力沿圆弧切线方向的分

力,所以加速度不等于零。

4.怎样证明单摆在摆角很小的情况下的运动是简谐运动?

xmg

【答案】单摆的偏角很小时sin.重力的分力提供回复力Fmgsinx,回复力的大

ll

小和位移成正比,回复力的方向和位移方向相反,由此证明单摆的运动是简谐运动。

5.由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的,那么是否摆球的质量越大,回复力越大,单摆

摆动得越快,周期越小?

F

【答案】不是。摆球摆动的加速度除了与回复力有关外,还与摆球的质量有关,即a,所以摆球质

m

l

量增大后,加速度并不增大,其周期由T2决定、与摆球的质量无关。

g

6.把单摆从赤道处移至两极处时,要保证单摆的周期不变,应如何调整摆长?

l

【答案】两极处重力加速度大于赤道处重知,应增大摆长，力加速度,由T2才能使周期不变。

g

04题型精讲

【题型一】单摆及单摆的回复力

【点拨】

1.单摆

(1)单摆是实际摆的理想化模型。

(2)实际摆看作单摆的条件

①摆线的形变量与摆线长度相比可忽略;②摆线的质量与摆球质量相比可忽略;③摆球的直径与摆

线长度相比可忽略;④空气等阻力与摆球的重力及细线的拉力相比可忽略。

2.单摆的回复力

如图所示,重力G沿圆弧切线方向的分力G,是摆球沿运动方向的合力,正是这个力提供了使摆球做

简谐运动的回复力F=G,=Gsinθ。

3.单摆的运动特点

(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动,因此在运动过程中只要速度v≠0,半径方向都受向心力(最

高点其向心力为零)向心力由细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供。

(2)摆球在平衡位置附近做往复运动,因此在运动过程中只要不在平衡位置,轨迹的切线方向都受回

复力。

4.单摆做简谐运动的推证

x

在摆角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sinθ近似相等，即sin，因此单摆的回复

l

mg

力可表示为Fx(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F

l

与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。

5.回复力、向心力、合外力的区别与联系

(1)区别

①回复力:使物体回到平衡位置且指向平衡位置的力;对单摆来说,重力沿圆弧切线方向的分力

F=mgsinθ提供回复力。

②向心力:使物体做曲线运动且指向圆心的力;对单摆来说,摆线的拉力和重力沿径向的分力的

合力提供向心力。

③合外力:物体所受的合力,它使物体的运动状态发生变化。

(2)联系:回复力、向心力、合外力均为效果力且均为矢量。回复力、向心力一定是变力,合外力可

以为恒力,也可为变力。对单摆来说,回复力与向心力的合力等于合外力。

【典型例题2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）如图所示，挖掘机的顶部通过绳索垂下一个大铁球并让它小

角度的摆动，即可以用来拆卸混凝土建筑。此装置可视为单摆模型，则大铁球的回复力来源于（）

A．铁球的重力

B．绳索对铁球的拉力

C．铁球所受到的合力

D．铁球重力沿轨迹切线方向的分力

【答案】D

【详解】大铁球的回复力来源于铁球重力沿轨迹切线方向的分力，故D正确，ABC错误。

故选D。

【对点训练1】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）如图所示的竖直光滑圆弧面ABC，D点为圆弧AB的

中点，B为圆弧最低点，A、C等高，O为圆弧的圆心，5。小球由A点静止释放后运动到B点，

在此过程中，下列说法正确的是（）

A．小球受重力、支持力、回复力B．小球的加速度总不为零

C．小球受到的合外力提供回复力D．小球经过AD运动时间和DB运动时间相等

【答案】B

【详解】AC．对小球受力分析，小球受重力、弧面的支持力，小球受到重力沿切线方向的分量提供回复

力，选项AC错误；

B．小球做曲线运动，速度方向在变，在任何位置所受的合外力均不为零，则加速度总不为零，选项B

正确；

D．小球越接近B点速度越大，则小球在AD段的平均速率小于在DB段的平均速率，则经过AD运动时

间大于DB运动时间相等，选项D错误。

故选B。

【题型二】单摆的周期

【点拨】对单摆周期公式的理解

1．成立条件：单摆偏角很小(偏角小于5°)。

2．影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。

3．对l、g的理解

(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。

D

①普通单摆，摆长ll，l′为摆线长，D为摆球直径。

2

②等效摆长：

(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsinα，其周期

lsin

T2。

g

(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等

效摆长等于丙摆的摆长。

(2)g

①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。

②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质

量的比值。

【典型例题1】（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）一顾客在位于某山脚的商家购买计时准确的摆钟（利

用钟摆的周期性摆动计时），将该摆钟运回位于山顶的家中后，在其它条件不变的情况下，一段时间

后，该摆钟示数与标准时间相比（）

A．变快B．变慢

C．不变D．条件不足，无法判断

【答案】B

L

【详解】摆钟从山脚移至山顶，在其它条件不变的情况下，重力加速度减小，根据T2

g

可知周期增大，相同时间内，摆钟振动次数减少，该摆钟示数与标准时间相比变慢。

故选B。

【典型例题2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）盛砂漏斗与悬线构成的砂摆在竖直平面内小角度地摆

动，其下方有一薄板垂直摆动平面，匀速拉动薄板，漏出的砂落在薄板上的形状可反映砂摆的振动情

况。甲、乙两不同摆长的砂摆落在薄板上的图像如图所示，已知两种情况下薄板的运动速度大小之比

为2:3，则两砂摆的周期之比为（）

A．3:4B．3:2C．4:3D．16:9

【答案】A

L

【详解】由图可知甲，乙L

2

由公式T

v

可知两砂摆的周期之比为3:4。

故选A。

【典型例题3】（23-24高二下·广东佛山·期中）如图所示，用细绳系住一摆球，让摆球在倾角为θ的光滑斜

面上做小幅度（α<5°）摆动，摆长为L，重力加速度为g，下列说法正确的是（）

Lsin

A．该单摆的周期T2

g

L

B．该单摆的周期T2

gsin

C．摆球的振幅会影响单摆的周期

D．摆球的质量会影响单摆的周期

【答案】B

【详解】AB．斜面上的单摆的重力沿斜面向下的分力与竖直悬挂的单摆的重力等效，故斜面上的单摆的

等效“重力加速度”为ggsin

L

根据单摆的周期公式得T2

gsin

故A错误；B正确；

CD．根据前面选项分析得出的周期表达式，可知摆球的振幅和质量均不会影响单摆的周期。故CD错误。

故选B。

【对点训练1】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）下图是惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器摆

钟，摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺

母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，为使钟走时准确，以下说法正确的是（）

A．摆钟的快慢由圆盘质量决定

B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移

C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移

D．把摆钟从武汉移到北京应使圆盘沿摆杆上移

【答案】C

L

【详解】A．圆盘中心到摆杆最上端的距离为摆钟的摆长，根据单摆的周期公式T2

g

可知，调整圆盘位置即调整摆钟的周期，周期与摆的质量无关，故A错误；

B．根据单摆的周期公式可知，当摆钟快了应使圆盘沿杆下移，慢了应使圆盘沿杆上移，故B错误；

C．冬季变为夏季时由于热胀冷缩，杆要变长，因此为了走时准确应使圆盘沿杆上移，故C正确；

D．从武汉到北京重力加速度g增大，为了走时准确应使圆盘沿杆下移，增大摆长，故D错误。

故选C。

05强化训练

【基础强化】

1．（23-24高二下·四川泸州·期中）砂漏斗与悬线构成的砂摆在竖直平面内小角度地摆动，其下方有一薄板

垂直摆动平面，匀速拉动薄板，漏出的砂落在薄板上的形状可反映砂摆的振动情况。甲、乙两不同摆长

的砂摆分别落在同一段薄板上的图像如图所示，已知甲、乙两种情况下薄板的运动速度大小之比为2:3，

则两砂摆的周期之比为（）

A．3:5B．3:2C．5:3D．16:9

【答案】A

LL

【详解】木板运动时间与单摆振动时间相等，由题图可知2.5T甲，T乙

v甲v乙

T甲3

解得

T乙5

故选A。

2．（23-24高二上·山东济宁·期末）如图所示，在一次滑雪训练中，滑雪名将谷爱凌从山坡上B处由静止开

始自由下滑至最低点A，用时30s，坡面AB可视为圆心角小于5°的圆弧。已知重力加速度大小为10m/s2，

210，不计一切阻力。可估算出圆弧AB的半径约为（）

A．3600mB．2250mC．900mD．225m

【答案】A

【详解】谷爱凌从山坡上B处由静止开始自由下滑至最低点A，可以看成单摆模型，由单摆的周期公式

L

T2

g

又由题意可知，摆长Lr

11r

从B处最低点A的时间为单摆的周期的，则230s

44g

解得r3600m

故选A。

3．（22-23高二下·北京海淀·期中）如图（甲）所示是用沙摆演示振动图像的实验装置，此装置可视为摆长

为L的单摆，沙摆的运动可看作简谐运动，若用手拉木板做匀速运动，实验时细沙在木板上留下的情形

如图（甲）所示。某次实验中，手拉木板的速度大小约为0.20m/s，测得图（乙）所示的一段木板的长度

约0.60m，下列判断正确的是（）

A．图中的曲线是沙摆的运动轨迹

B．图中的曲线是细沙的运动轨迹

C．实验所用沙摆对应的摆长约为0.56m

D．实验所用沙摆对应的摆长约为2.25m

【答案】C

【详解】A．沙摆的实际运动是围绕悬点的圆周运动，则图中的曲线不是沙摆的运动轨迹，故A错误；

B．细沙的运动轨迹是位于沙摆下方的一个往复的直线运动轨迹，则图中的曲线也不是细沙的运动轨迹，

故B错误；

1l10.60

CD．沙摆的周期Ts=1.5s

2v20.20

L

根据T2

g

可得L=0.56m

选项C正确，D错误。

故选C。

4．（23-24高二下·陕西渭南·期中）有甲、乙两单摆，其振动图像为如图所示的正弦曲线，则下列说法中不

正确的是（）

A．甲、乙两单摆的摆长之比是1:4B．t1.5s时，两摆球的速度方向相同

C．t1.5s时，两摆球的加速度方向相同D．3s4s内，两摆球的势能均减少

【答案】B

l

【详解】A．由图像可知甲、乙两单摆的周期之比为1:2，根据单摆的周期公式T2

g

可知，周期与摆长的二次方根成正比，所以甲、乙两单摆的摆长之比是1:4，故A正确；

B．由图像可知，t1.5s时，两摆球的速度方向相反，故B错误；

F回kx

C．由加速度公式at1.5s时，两摆球位移方向相同，可知它们的加速度方向相同，故C正确；

mm

D．3s4s内，两摆球的向平衡位置运动，摆球的势能均减少，故D正确；

本题选不正确项，故选B。

5．（22-23高二下·安徽六安·阶段练习）如图所示，已知该单摆的摆长为2.0m，摆球的质量为0.10kg，摆

动时最大偏角为5°。已知sin50.087，cos50.996，g10m/s。求：

（1）振动的周期；

（2）摆球的最大回复力；

（3）摆球运动的最大动能。

25

【答案】（1）s；（2）0.087N；（3）0.008J

5

L

【详解】（1）根据单摆周期公式T2

g

25

解得Ts

5

（2）当摆球位于A位置时回复力最大，根据受力分析可知F回mgsin5

解得F回0.087N

（3）从AC过程中，根据机械能守恒有mgLLcos5Ekm

解得Ekm0.008J

【素养提升】

6．（22-23高二下·河南·期中）某同学在探究单摆运动中，图a是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装

置图，图b是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F﹣t图像，根据图b的信息，（π2g），下列说

法正确的是（）

A．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力充当单摆的回复力

B．从t＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为0.1s

C．用米尺量得细线长度L，即摆长为L

D．由图可计算出单摆的摆长为0.64m

【答案】D

【详解】A．单摆运动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，而不是摆球所受重力和摆线对摆球

拉力的合力，故A错误；

B．摆球第一次摆到最低点时，力传感器显示的力最大，根据题图乙的信息可得，所对应的时刻为t＝0.5s，

故B错误；

C．摆长应为绳长与小球半径之和，故C错误；

L

D．根据题图乙的信息可得，单摆周期T＝1.6s，由单摆周期公式T2π

g

代入数据解得，摆长为L＝0.64m，故D正确。

故选D。

7．（23-24高二下·广东广州·期中）如图甲所示，摆钟是较有年代的一种计时钟表，其基本原理是利用了单

摆的周期性。小亦同学为理解其原理，自制模拟实验，如图乙所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射

器，注射器内装上墨汁。当注射器在竖直面内摆动时，其运动可视为简谐运动，沿着垂直于摆动方向匀

速拖动一张硬纸板，注射器流出的墨水在硬纸板上形成了如图丙所示的曲线。下列说法中正确的是（）

A．拖动硬纸板的速度越大，注射器振动的周期越长

B．注射器经过平衡位置时合外力不为零

C．减小注射器摆开的角度，相同时间内完成全振动的次数会增加

D．注射器做简谐运动的回复力是由重力和摆线拉力的合力提供

【答案】B

【详解】A．注射器振动的周期是由单摆决定的，与拖动硬纸板的速度大小无关，故A错误；

B．注射器经过平衡位置时合外力提供向心力，不为零，故B正确；

L

C．由单摆周期公式T2π

g

单摆的周期只跟摆长和重力加速度g有关，减小摆开的角度不会影响周期的大小，相同时间内完成全振

动的次数不变，故C错误；

D．注射器做简谐运动的回复力是由重力沿其运动轨迹切线方向的分力提供，不是由重力和摆线拉力的

合力提供，故D错误。

故选B。

8．（23-24高三上·湖南常德·期末）荡秋千是人们喜爱的一种运动，下图为一种秋千的原理图。绳子一端固

定于O点，另一端系一个可视为质点的小球，在O点正下方钉一个钉子A，小球从左边某一位置由静止

摆下，摆角5o，g10ms2，O点离球心的距离为4m，OA距离为3m，此绳子拉力突然增加会导

致绳子可能断裂，当小球摆动61s时绳子突然断裂，则该绳子最多承受多少次拉力的突然增加（）

A．11B．20C．21D．31

【答案】C

l

【详解】根据单摆的周期公式可得，当摆长为l4m时其周期T21

11g

l

当摆长l1m时其周期T22

21g

TT

由此可知摆球从左边最高点又回到左边最高点的时间为t123s

22

该过程中摆线与钉子碰撞一次，即绳上的拉力突然增加一次，而根据题意，当小球摆动61s时绳子突然

断裂，则可知当摆线与钉子碰撞20次后又回到左侧最高点所用的时间为60s，而从左侧最高点运动至最

T

低点的时间为11s，此时摆线与钉子发生第21次碰撞，绳子断裂。

4

故选C。

9．（23-24高二上·湖北十堰·期末）有一摆长为L的单摆悬点正下方某处有一小钉子，摆球经过平衡位置向

左摆动时，摆线的上部被小钉子挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M

运动到左边最高点N的频闪照片如图所示（悬点与小钉子未被摄入），P为摆动中的最低点，已知相机

每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知（）

L

A．小钉子与悬点的距离为

4

L

B．小钉子与悬点的距离为

2

3L

C．小钉子与悬点的距离为

4

D．摆线被小钉子挡住的瞬间，摆球的机械能突然减少

【答案】C

【详解】ABC．设相机每相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆长为L时摆动的周期为T116t

摆长为L时摆动的周期为T28t

可得T1:T22:1

LL

而T2，T2

1g2g

1

故LL

4

3

所以小钉子与悬点的距离sLLL

4

故AB错误，C正确；

D．摆球被小钉子碰一下后，小钉子没做功，摆球机械能不变，故D错误。

故选C。

10．（2024·江西·模拟预测）如图甲，用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆，水平纸带中央的虚线在单摆平

衡位置的正下方。用电动机匀速拉动纸带时，让单摆小幅度前后摆动，于是在纸带上留下径迹。调节电

动机拉动速度，分别得出图乙和丙两条纸带，取3.14，重力加速度g大小取9.8m/s2。下列说法正确的

是（）

A．无论纸带是否匀速拉动，都可以用纸带通过的距离表示时间

B．由图知乙纸带的速度为丙纸带速度的0.5倍

C．单摆漏斗在P点和Q点运动的方向相同

D．若乙图中，纸带拖动速度为10cm/s，可推算该单摆的摆长约为1m

【答案】D

【详解】A．纸带匀速运动时，由xvt知，位移与时间成正比，因此只有在匀速运动的条件下，才可以

用纸带通过的距离表示时间，故A错误；

B．由于乙图中有单摆的摆动时间为两个周期，丙图中有单摆的摆动时间为四个周期，纸带同样移动40cm，

丙的时间是乙的两倍，故乙纸带的速度为丙纸带速度的2倍，故B错误；

C．根据同侧法，可知单摆漏斗在P点向上振动，在Q点向下振动，单摆漏斗在P点和Q点运动的方向

相反，故C错误；

1x

D．乙图中，纸带拖动速度为10cm/s，可得单摆周期为T2s

2v

L

根据单摆周期公式T2

g

可得单摆的摆长约为L1m

故D正确。

故选D。

11．（23-24高二下·山东济南·期中）如图，半径为R光滑圆弧面上有一个质量为m小球，把它从最低点移

开一小段距离，放手后，小球以最低点为平衡位置左右摆动，且可近似认为其运动为简谐振动。

（1）求小球做简谐振动的周期T；

（2）已知做简谐振动的物体，所受的回复力与其偏离平衡位置的位移存在正比例关系。求小球做简谐振

动时回复力与偏离平衡位置位移的比例系数k是多少。（空气阻力可忽略，重力加速度为g，当偏离角

度θ很小时，可认为sinθ≈tanθ≈θ，且可认为小球偏离平衡位置的位移与小球到圆弧圆心的连线垂直）

Rmg

【答案】（1）T2；（2）k

gR

R

【详解】（1）小球做类单摆简谐运动，则周期为T2

g

（2）对小球进行受力分析，如图所示

重力沿切线方向的分力提供回复力F回mgsinθ

x

用x表示小球偏离平衡位置的位移，因很小，所以sinθθ

R

x

即F回mg

R

回复力与其偏离平衡位置的位移存在正比例关系，所以小球做简谐振动时回复力与偏离平衡位置位移的

mg

比例系数为k

R

【能力培优】

12．（2024·全国·模拟预测）如图所示，有直角三角形光滑轨道框架ABC，其中AB竖直。C90，光

滑圆弧轨道CB为ABC的外接圆上的一部分。小球1、2分别沿轨道AB、AC从A点由静止开始运动，

到B、C点对应的时间分别为t1、t2，小球3沿轨道CB从C点由静止开始运动，到B点的时间为t3；小

球4在圆弧轨道CB上某一点（对应的圆心角很小）由静止开始运动，到B点的时间为t4。则下列时间

的关系正确的是（）

A．t1t2B．t2t4C．t3t4D．t4t1

【答案】C

1

【详解】设AB为2R，小球1做自由落体运动，则有2Rgt2