专题9-51矩形、菱形、正方形(最值问题)(专项练习)-八年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)

专题9.51矩形、菱形、正方形（最值问题）（专项练习）一、单选题1．如图，在中，，，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是（

）A．3 B．6 C．8 D．2．如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（

）A． B． C． D．23．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（

）A．6 B．11 C． D．4．如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在轴、轴的正半轴上，点D在OA上，且点的坐标为，是上一动点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．5．如图所示，正方形的面积为9，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（

）A．4.5 B．9 C．2.5 D．36．如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．如图，正方形的边长为2，为对角线上一动点，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（

）A． B． C． D．8．如图，菱形中，对角线，，、分别是、上的动点，是线段上的一个动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．59．如图，矩形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（

）A．3 B．3.5 C．4 D．4.510．如图，正方形中，，动点在边上，以为直角边向上作正方形，连接，则在运动过程中最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题11．如图，在边长为2的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__________．12．如图，在周长为16的菱形中，点E、F分别在边上，，P为上一动点，则线段长度的最小值为____________．13．如图．在矩形中，，．点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为________．14．如图，在菱形中，点是的中点，，，点为上一动点，求的最小值______．15．如图，在矩形中，，将矩形沿直线折叠，使得点A恰好落在边上的点G处，且点E、F分别在边上（含端点），连接，当取得最小值时，折痕的长为___________．16．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，则的最小值为______．17．如图，正方形的边长为8，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为__．18．如图，正方形的边长为2，点E为正方形内部一点，连接，且，点F是边上一点，连接，则长度的最小值为___________．19．如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为_____________．20．如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______．三、解答题21．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接、．(1)求证：；(2)求的面积；(3)在的条件下，求周长的最小值．22．如图，在正方形中，点E在对角线上，点F在射线上，且四边形是正方形，连接．(1)求证：．(2)______．(3)著，当点E在上移动时，是否有最小值？若有最小值，求出最小值．23．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连接．(1)若点为的中点，求证：点为的中点；(2)若点为的中点，，，求的长；(3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________．24．【推理】如图1，在边长为10的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，，延长交于点，与交于点．求证：．【运用】如图2，在【推理】条件下，延长交于点．若，求线段DH的长．【拓展】如图3，在【推理】条件下，连结．则线段的最小值为．参考答案1．A【分析】根据点到直线垂线段最短及平行线间距离处处相等，结合勾股定理即可得到答案．解：∵，，，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴当时，最小，∵，∴四边形是矩形，∴，故选A．【点拨】本题考查矩形判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理及点到直线垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线垂线段最短．2．C【分析】连接NG，ND，GD，由翻折可得△CDN≌△HGN，则，要求NH的最小值，即求GN的最小值，以此得出当点G与点B重合时，GN最小，设，则，根据勾股定理即可求解．解：连接，，，以翻折后，点与点重合，，，，，四边形为矩形，，，当的最小时，最小，由图可知，当点与点重合时，最小，设，则，，在中，，，解得：，的最小值为．故选：C．【点拨】本题主要考查折叠问题、勾股定理，解答本题的关键是能找到点G与点B重合时，NH最小，这是解答本题的突破口．3．D【分析】如图将绕点顺时针旋转得到．由旋转不变性可知：，．，得出是等腰直角三角形，推出，当的值最大时，的值最大，根据三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题．解：如图，将绕点顺时针旋转得到，由旋转不变性可知：，，，是等腰直角三角形，，当的值最大时，的值最大，，，的最大值为11，的最大值为．故选：D．【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．4．B【分析】要求和的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解．解：连接，交于，则就是和的最小值，∵再直角中，，，，∴，∴，∴和的最小值是，故选：B．【点拨】本题考查了最短路径问题，涉及了正方形的性质、轴对称、勾股定理等知识，解题关键是对这些知识的理解与综合应用．5．D【分析】由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是等边E的边，，由正方形的面积为9，可求出的长，从而得出结果．解：设BE与交于点，连接，，∵点B与D关于对称，∴，∴最小．∵正方形的面积为9，∴，又∵是等边三角形，∴．故选：D【点拨】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，找到对称点，添加辅助线是关键．6．C【分析】如图作点关于的对称点，连接，，由，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值．解：如图作点关于的对称点，连接，．在中，，，．，，，是定值，当、、、共线时，定值最小，最小值，的最小值为，故选：C．【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．7．A【分析】先证明△ADE≌△CDP（SAS），求出AE＝CP，可得当DE⊥AC时，△EPC的周长有最小值，求出DE的最小值为，即可得出答案．解：正方形的边长为2，，，，中，，，，在和中，，（SAS），，，∴当时，DE有最小值，此时EP有最小值，的周长有最小值，又，，，中，，，，周长的最小值．故选：A．【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识．分析得出当DE⊥AC时，△CEP的周长最小是解题的关键．8．C【分析】根据勾股定理得到AB=5，过N作NQ⊥AB于Q交BD于P，过P作PM⊥BC于M，则PM+PN=PN+PQ=NQ的值最小，根据菱形的面积公式即可得到结论．解：设AC与BD交于点O，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，，，∴OA=3，OB=4，∴AB==5，过N作NQ⊥AB于Q交BD于P，过P作PM⊥BC于M，则PM+PN=PN+PQ=NQ的值最小，∵，∴NQ=，即PM+PN的最小值是，故选：C．【点拨】本题考查了轴对称-最短距离问题，菱形的性质，菱形的面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．9．B【分析】以为边作等边，过点H作于N，于M，可证四边形是矩形，可证，证明，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解．解：如图，以为边作等边，过点H作于N，于M，又∵，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∵是等边三角形，，∴，，，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴当时，有最小值，即有最小值，∴点F与点M重合时，，故选：B．【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．B【分析】过点作，交的延长线于点，根据题意，首先证出，得到，，进而证出为等腰直角三角形，得到，当在上移动时，点在的角平分线上移动，当时，最短．再证得为等腰直角三角形，解这个直角三角形得，进一步再求出的最小值，从而得解．解：过点作，交的延长线于点，∵四边形是正方形∴∴∵四边形是正方形，∴，∵∴∴∵∴∴∴，，∴，∴∴为等腰直角三角形∴∵∴∴当在上移动时，点在的角平分线上移动，当时，最短∵∴为等腰直角三角形∴∴∴∵，，∴故选：B．【点拨】本题主要考查的是线段的最小值的问题，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握各种图形的性质与判定，确定点的运动轨迹是解本题的关键．11．【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值．解：如图，与相交于点，在中，，四边形是平行四边形，，．当取最小值时，线段最短，此时．点是的中点，，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．12．【分析】在上截取，连接，则与的交点为，的长就是的最小值，据此即可求解．解：∵菱形的周长为，∴，在上截取，连接，则与的交点为．∴，∴，即的长就是的最小值，，∵，∴，∴四边形是平行四边形．故答案为：．【点拨】本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键．13．【分析】以为边向右作等边三角形，作射线交于点E，过点D作于H，连接，根据矩形的性质得，根据，都是等边三角形得，，，可得，用SAS可证明，得，根据得，根据，，在中，设，则，根据勾股定理得，，进行计算得，，即可得点Q在射线上运动，根据得，根据，，得，根据垂线段最短，即可得当点与点重合时，的值最小，最小值为．解：如图所示，以为边向右作等边三角形，作射线交于点E，过点D作于H，连接，∵四边形是矩形，∴，∵，都是等边三角形，∴，，，∴，在和中，∴（SAS），∴，∵，∴，∵，，∴在中，设，则，根据勾股定理得，，，，，（舍），∴，，∴点Q在射线上运动，∵，∴，∵，，∴，∵垂线段最短，∴当点与点重合时，的值最小，最小值为，故答案为：．【点拨】本题考查了矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造全等三角形，添加辅助线，本题是中考选择题中的压轴题．14．4【分析】连接，，，对角线相交于点O，根据菱形的轴对称性可知是的垂直平分线，则，故当点D、E、P三点共线时，的最小值为的长，再根据等边三角形的判定和性质即可求解．解：连接，，，对角线相交于点O，∵四边形是菱形，∴是的垂直平分线，，，∴，∴，∴当点D、E、P三点共线时，的最小值为的长，∵，∴，∴是等边三角形，∵点E是的中点，∴，∴和都是等边三角形的高，∴，∴的最小值为4，故答案为：4．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键．15．【分析】由时的值最小，即此时能取得最小值，显然四边形是正方形，从而根据勾股定理可得答案．解：由折叠易知：，∵当时，的值最小，∴此时能取得最小值，又∵当时，点E与点B重合，如图所示：∵四边形为矩形，∴，∵，∴四边形是矩形，根据折叠可知，，∴四边形是正方形，∴，∴折痕．故答案为：．【点拨】本题考查了折叠变换的性质、矩形的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．16．【分析】先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可．解：如图，连接，∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，如图，作点关于点的对称点，连接，即为的最小值，∵，，∴，，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点拨】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键．17．5【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，于，又，四边形是矩形，，，，是等边三角形，，，，，，是等边三角形，，，，在和中，，，，当时，有最小值，即有最小值，点与点重合时，，故答案为5．【点拨】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键．18．【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点E在以为直径的半圆上运动，设点O为的中点，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对称点为M，连接，交于点F，交半圆于E，则线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．解：∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴点E在以为直径的半圆上运动，如图，设点O为的中点，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对称点为M，连接，交于点F，交半圆于E，则线段的长即为的长度最小值，，∵，，∴，∴长度的最小值为，故答案为：．【点拨】此题考查了轴对称—最短路径问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决问题，多数情况要作点关于直线的对称点．19．【分析】过点M作，垂足为P，连接，由旋转的性质得到，，，根据正方形的性质求出，证明，得到，，利用勾股定理求出，根据即可求出的最小值．解：过点M作，垂足为P，连接，由旋转可得：，，，在正方形中，，E为中点，∴，∵，∴，又，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵C，M位置固定，∴，即，∴，即的最小值为，故答案为：．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，两点之间线段最短，知识点较多，解题的关键是构造全等三角形，求出的长，得到．20．【分析】在的下方作，在上截取，使得，连接，证明，推出，，根据求解即可．解：如图，在的下方作，在上截取，使得，连接．∵四边形是菱形，，∴，，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．21．(1)见分析 (2) (3)【分析】（1）根据正方形性质证明，根据对折性质得到，从而证明，根据“斜边，直角边”即可证明；（2）先求出，进而得到，设，则，根据得到，根据勾股定理求出，从而得到，即可得出，最后求出的面积，根据即可求解；（3）根据，可得的周长，再根据当点A、F、C三点共线是，最小，根据勾股定理求出，即可求解．解：（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵沿对折至，∴，∴，∴，∵，∴；（2）证明：∵，∴，∵，∴，设，则，∵，∴，，∴，∵，∴，解得，∴，∴，∵，，∴，即，解得：．（3）∵沿对折至，∴，∴，∴的周长，∴当最小时，的周长最小，如图：当点A、F、C三点共线是，最小，根据勾股定理得：，∴，∴的周长最小值．【点拨】本题为四边形综合题，考查了正方形的性质，翻折变换，全等三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，综合性较强，熟知相关定理，根据已知条件灵活应用是解题关键．22．(1)证明见分析 (2)90° (3)有最小值，最小值为8【分析】（1）证明可得结论；（2）利用全等三角形的性质，正方形的性质解决问题；（3）有最小值．连接，是直角三角形，，推出，求出的最小值即可解决问题．解：（1）证明：如图1中，∵四边形，四边形都是正方形，∴，，，∴，∴，∴；（2）；证明：∵四边形是正方形，，，，；（3）解：有最小值．连接，是直角三角形，，，∵四边形是正方形，,的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当，时，的值最小，最小值为．【点拨】本题主要考查正方形的性质，全