河南省新乡市辉县市兴华中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷 （解析版）

2024秋初中学业水平质量监测试卷九年级数学（HS）测试范围：第21.1~22.3章一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1.若二次根式有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．【详解】解：二次根式有意义，，．故选：C．2.下列式子中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可．【详解】解：根据最简二次根式的定义可知，A．是最简二次根式；B．，因此不是最简二次根式；C．，因此不最简二次根式；D．，因此不是最简二次根式；故选：．【点睛】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确判断的关键．3.若方程是一元二次方程，则m的值为（）A.2 B.±3 C.3 D.－3【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程”，分析判断即可．【详解】解：若方程是一元二次方程，则有且，解得且，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解并熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．4.下列计算结果正确是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的化简法则计算即可解答；【详解】解：A．，故错误；B．，故错误；C．，故正确；D．，故错误；故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握相关运算法则并正确计算是解题的关键．5.用配方法解方程时，原方程应变形为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程-配方法，常数项移到方程右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【详解】∵，∴，则，即，故选：A．6.如果，那么取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案．详解】解：，得，，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．7.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得出，进而得出，代入代数式，即可求解．【详解】解：由，得，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．8.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（）A.9 B.12 C.2或5 D.9或12【答案】B【解析】【分析】因式分解法求得方程的根，根据等腰三角形的性质，确定三边，在三角形存在的前提下，计算周长．【详解】∵，∴，∴等腰三角形的三边长为2，2，5，不满足三边关系定理，舍去；或2，5，5，满足三边关系定理，∴等腰三角形的周长为2+5+5=12，故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程的解法，三角形三边关系定理是解题的关键．9.如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，求出矩形的长和宽，根据面积为即可列出方程．【详解】解：由题意知，6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，长为，宽为，6个矩形小块的面积和为，．故选A．【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是用含x的代数式表示出6个矩形小块合成的大矩形的长和宽．10.定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（）A.0或 B.0或2 C.2或 D.0或或2【答案】D【解析】【分析】根据非负数的性质，得出，再根据新定义运算法则，得出，然后分四种情况：当时，当时，当时和当时，根据新定义运算法则，结合直接开平方法解一元二次方程，计算即可得出答案．【详解】解：∵，，∴，①当时，则，∴，即，解得：；②当时，则，∴，即，解得：或（舍）；③当时，则，∴，即，解得或（舍）；④当时，，方程没有实数解；综上所述：方程的解为或或，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.若最简根式与是同类二次根式，则_______．【答案】【解析】【分析】由同类二次根式的定义，得到，解方程，然后结合最简二次根式的定义，即可得到答案．【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，∴，整理，可得，解得或，当时，，不是最简二次根式，舍去；当，，是最简二次根式，符合题意，所以，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义、最简二次根式的定义以及解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握相关定义，正确求出一元二次方程的解．12.已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为_________________．【答案】##【解析】【分析】先利用直接开平方法解方程得到，，然后把它们代入中计算即可．【详解】解：，，解得．，方程的两根为、，且，，，．故答案为：．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．13.规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定的值为______．【答案】【解析】【分析】先据算出的大小，然后求得的范围，从而可求得的值．【详解】解：∵，∴．∴．∴．故的值为．

故答案为：．【点睛】考查了无理数大小的估算，估算出的范围是解题的关键，对算术平方根的估算常用方法是最与它相邻的两个完全平方数分别是几的平方．14.现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是___．【答案】﹣1或4【解析】【详解】解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，将左边因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0，解得：x1=4，x2=﹣1．∴实数x的值是﹣1或4．故答案为：﹣1或415.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是_____________．【答案】或24##24或【解析】【分析】已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的面积即可．【详解】解：方程，分解因式得：，解得：或，当时，三角形为等腰三角形，腰长为6，底边长为8，则底边上的高，∴三角形的面积为：；当时，∵，∴三角形为直角三角形，两条直角边的长分别为8和6，∴三角形的面积为：；综上：三角形的面积为：或24；故答案为：或24．【点睛】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．三、解答题（共8题，共75分）16.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．（1）先利用二次根式的性质化简，再合并，即可求解；（2）根据完全平方公式及二次根式的性质，先化简，再合并，即可求解．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．17.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．（1）利用配方法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解．【小问1详解】解：，，，即，，；【小问2详解】解：，，．18.已知关于x的一元二次方程（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程一根为3，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长．【答案】（1）见解析．（2）．【解析】【分析】（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）根据方程一根为3，代入方程可求m的值，再根据根与系数的关系可以得到方程的另一个根为，此时便可得到等腰三角形的三边分别为3，3，，即可得到答案．【小问1详解】∵，∴，则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】∵方程一根为3∴解得设方程的另一个根为x，利用根与系数的关系得∴又∵方程两根为等腰三角形两边长∴当为腰时，，不能组成三角形；当3为腰时，3，3，可以组成三角形，其周长为．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与解的关系．19.已知，．（1）填空：，；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据二次根式的加法法则、乘法法则计算即可；（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算，得到答案．【小问1详解】解：，；故答案为：，；【小问2详解】解：原式；∵，，∴原式．【点睛】本题考查二次根式的加减运算，乘除运算，同时考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．20.某居民小区有块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．（1）求长方形的周长．（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？【答案】（1）米（2）元【解析】【分析】（1）根据长方形的周长公式计算即可；（2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可．【小问1详解】解：（米），∴长方形的周长为米．【小问2详解】（平方米），则（元），∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元．【点睛】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．21.像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1）化简：；（2）计算：；（3）比较与的大小，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）．【解析】【分析】本题考查分母有理化，掌握二次根式的运算是解题的关键．（1）利用有理化因式，化去分母中的根号即可；（2）利用有理化因式，化去分母中的根号，再进行加减运算即可；（3）利用有理化分子，化去分母中的根号，再进行比较即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：∵，，，∴∴．22.如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）能围成面积为200平方米的鸡场吗？【答案】（1）10米，15米（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）先设养鸡场的宽为x米，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；（2）设养鸡场的宽为x米，根据题意得：，整理得：，根据方程的判别式的符号判断方程解的情况，即可作答．【小问1详解】解：设养鸡场的宽为x米，根据题意得：，解得：，当时，，不符合题意，舍去当时，，则养鸡场的宽是10米，长为15米．【小问2详解】设养鸡场的宽为x米，根据题意得：，整理得：，即，因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200．答：围成养鸡场的面积不能达到200．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．23如图所示，中，．（1）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？（2）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；（3）若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？【答案】（1）2秒或4秒（2）不能，理由见解析（3）经过秒或5秒或秒后，的面积为【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．（1）设经过x秒，的面积等于，根据三角形面积公式列出方程求解即可；（2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解．【小问1详解】解：设经过x秒，的