第3讲立体几何与空间向量高三二轮复习解答题高频考点过关

第3讲立体几何与空间向量高频考点分析高频考点分析

真题真题速递1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点为，接，则，而，故，故四边形为平行四边形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因为，故，故，故四边形为平行四边形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则设平面的法向量为，则由可得，取，设平面的法向量为，则由可得，取，故，故平面与平面夹角的余弦值为2．（2024·全国甲卷（文）·高考真题）如图，，，，,为的中点.(1)证明：平面；(2)求点到的距离.【答案】(1)证明见详解；(2)【详解】（1）由题意得，，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面；（2）取的中点，连接，，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，故.又平面，所以平面，易知.在中，，所以.设点到平面的距离为，由，得，得，故点到平面的距离为.3．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见详解；(2)【详解】（1）因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）如图所示，作交于，连接，因为四边形为等腰梯形，，所以，结合（1）为平行四边形，可得，又，所以为等边三角形，为中点，所以，又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，因为，所以，所以互相垂直，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，令，得，即，则，即，令，得，即，，则，故二面角的正弦值为.4．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角余弦值；(3)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）取中点，连接，，由是的中点，故，且，由是的中点，故，且，则有、，故四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面；（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，有、、、、、，则有、、，设平面与平面的法向量分别为、，则有，，分别取，则有、、，，即、，则，故平面与平面的夹角余弦值为；（3）由，平面的法向量为，则有，即点到平面的距离为.5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，则，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）连接，由，则，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，由是的中点，得，所以，设平面和平面的一个法向量分别为，则，，令，得，所以，所以，设平面和平面所成角为，则，即平面和平面所成角的正弦值为.6．（2024·新课标II卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以.因为，所以，根据平面知识可知，又平面，平面，所以平面．（2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，因为平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，即，即．因为，设，则，由等面积法可得，，又，而为等腰直角三角形，所以，故，解得，即．7．（2023·新课标I卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．【答案】(1)证明见解析；(2)1【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，又不在同一条直线上，.（2）设，则，设平面的法向量，则，令，得，，设平面的法向量，则，令，得，，，化简可得，，解得或，或，.

实战演练实战演练一：线面平行的判定与性质【知识点解析】1.线线平行的判定(1)平行四边形的对边(2)三角形的中位线或等高线(3)线面平行与面面平行的性质2.线面平行的判定与性质判定性质文字表示数学语言表示文字表示数学语言表示线面平行如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．【实战演练】1．（2425高三上·重庆长寿·期末·节选）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的中点．

(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）如图，连接，设，连接，因为底面为正方形，所以为的中点，因为为的中点，所以在中，，因为平面平面，所以平面．2．（2425高三上·江苏扬州·期末·节选）如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点．(1)求证：为棱的中点；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：因为直三棱柱，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．又为的中点，所以为的中点．3．（2425高三下·湖北武汉·开学考试·节选）在五面体中，平面，平面．(1)求证：；【答案】(1)证明见详解；【详解】（1）证明：平面，平面ADE，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，，又，.4．（2425高三上·山东青岛·期末·节选）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，垂足为．(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接交于O，连接，通过证明可证明结论；【详解】（1）连接交于，连接，在中，，分别为的中点，所以，又平面，平面平面5．（2425高三上·广东深圳·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面分别为的中点，，平面与平面交于直线．(1)证明：；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）如图，取中点，连接，在中，由为的中点，得且，在菱形中，且，则，四边形BEFM为平行四边形，于是，又平面，平面，因此平面，又平面，平面平面，所以．6．（2425高二上·山东泰安·期中·节选）如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且.(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）取BD中点，连接PO，是BM的中点，，且，在线段CD上取点，使，连接OF，QF，，，且，，四边形POFQ为平行四边形，，又平面平面，平面.

实战演练实战演练二：面面平行的判定与性质【知识点解析】1.面面平行的判定与性质判定性质文字表示数学语言表示文字表示数学语言表示面面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．（1）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．（2）两个平面平行，一个平面内的任意一条直线与另外一个平面平行.【实战演练】1．（2425高三上·安徽亳州·期末·节选）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，.(1)证明：平面平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）因为平面，平面，所以.又平面，不在平面内，所以平面.因为，平面，不在平面内，所以平面.又，平面,所以平面平面；2．（2425高三上·湖北·期中·节选）已知圆柱如图所示，其中正方形为轴截面，点，为圆上异于，且同侧的点，且，点为线段的中点.

(1)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）因为，故，而平面，平面，故平面.取线段的中点，连接，，则，，故，故四边形为平行四边形，则.而平面，平面，故平面.而，平面，平面，故平面平面.3．（2425高二上·山东潍坊·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，D，E分别是，的中点.(1)证明：平面平面；【答案】(1)证明见解析；【详解】（1）由直三棱柱性质，以及D，E分别是，的中点，所以，即四边形为平行四边形，可得，又平面，平面，所以平面；又易知，即四边形为平行四边形,可得，又平面，平面，所以平面；显然平面，所以平面平面；4．（2425高三上·湖南长沙·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面平面.(1)若分别为的中点，求证：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）设的中点为，连接，为中点，，又平面平面，平面；为中点，，平面平面，平面；又，且平面，平面平面，平面，故平面.5．（2425高三上·福建·期中·节选）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点.

(1)设平面与平面的交线为，求证：；【答案】(1)证明见详解【详解】（1）由题意可知：平面∥平面，且平面平面，平面平面，所以.6．（2425高三上·湖南·阶段练习·节选）如图，直四棱柱的体积为，，，的面积为．(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由已知为直四棱柱，可知，又平面，平面，，，平面，平面，平面，，且，平面，平面平面，又平面，平面；

实战演练实战演练三：线面垂直的判定与性质【知识点解析】1.线线垂直的判定(1)等腰三角形中线(2)勾股逆定理(3)菱形对角线(4)矩形邻边(5)正方形对角线与邻边(6)圆直径所对圆周角(7)线面垂直的性质(8)向量的数量积※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质※若菱形有一内角为，则角顶点与对边中点的连线与对边垂直2.线面垂直的判定与性质判定性质文字表示数学语言表示文字表示数学语言表示线面垂直如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.一条直线与一个平面垂直，该直线与该平面内任意一条直线垂直.【实战演练】1．（2425高三上·江西南昌·期末·节选）已知边长为的菱形（如图1），，与相交于点，为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥（如图2）．(1)证明：；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）因为四边形是边长为的菱形，并且，所以，均为等边三角形，故，且，因为平面，平面，且，所以平面，因为平面，所以．2．（2025·浙江温州·模拟预测·节选）如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），底面为直角梯形，．(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由于平面平面故由于底面为直角梯形，故，过，且与相交于，则，又，故,所以,由于平面，，所以平面，3．（2425高三上·浙江宁波·期末·节选）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，其中，，，点为棱上一点.(1)当为的中点时，证明：；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由，，根据勾股定理，又因为且，平面，所以平面，而平面，所以，又因为为的中点且，所以，又，平面，所以平面，因平面，所以.4．（2025·江西九江·一模·节选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，．(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）在菱形中，，知为正三角形，又为线段的中点，则，即，平面平面，又平面平面，又平面，为线段的中点，，又平面平面.5．（2425高三上·广东广州·阶段练习·节选）如图，四棱锥中，，底面是个直角梯形，，，．(1)证明：；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）取的中点,连接,因为，所以，又，所以，所以，即，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以；6．（2425高三上·内蒙古赤峰·期末·节选）如图，在正四棱台中，是的中点，分别为上下底面的中心、(1)求证：直线平面【答案】(1)证明见解析【详解】（1）在正四棱台中，连接交于，连接交于，连接，由平面，又平面，得，又平面，所以平面.

实战演练实战演练四：面面垂直的判定与性质【知识点解析】1.面面垂直的判定与性质判定性质文字表示数学语言表示文字表示数学语言表示面面垂直如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．【实战演练】1．（2025·福建·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，平面为AD的中点．(1)证明：平面平面PAC；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）因为平面平面ABCD，所以，连接EC，由，故四边形ABCE是正方形，故，因为，PA，平面PAC，所以平面PAC，因为平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAC；2．（2025·福建厦门·一模·节选）如图，在三棱柱中，，，．

(1)证明：平面平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）方法1：取的中点，连接，，

因为，所以，且，因为，，为的中点，所以，所以，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．方法2：设为在底面的射影，则平面，因为，所以射影为底面的外心，又为直角三角形，所以恰为斜边的中点，因为平面，所以平面平面．3．（2425高三上·辽宁丹东·期末·节选）如图，在边长为4的正方形MBCD中，A为线段MB的中点，沿AD将翻折至，使得.(1)求证：平面平面PCD；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：连接AC，，，可得，,所以，，因为，平面，所以平面PCD，因为平面PAB，所以平面平面PCD.4．（2425高三上·河南周口·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，且为正三角形，，点为的中点，点为棱上一点，且，.(1)证明：平面；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：因为为正三角形，点为的中点，所以.因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面.又平面，所以.因为，，平面，所以平面.5．（2025·广东肇庆·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面.(1)证明：平面.【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：如图,在平面内作,交于点.因为平面平面,平面平面平面,所以平面,则.因为平面,所以,因为平面,所以平面.6．（2425高三上·青海·期末）如图，已知和都是等边三角形，，平面平面，点在线段上（不含线段的端点）．(1)证明：；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）因为是的中点，是等边三角形，所以．又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以．

实战演练实战演练五：几何法求空间角度、空间距离问题【知识点解析】1.异面直线成角步骤：（1）证线线平行，转化为相交直线所成角；（2）找锐角（或直角）作为夹角；（3）利用余弦定理或三角函数求解.注意：取值范围：.2.表示角的方法：（1）在中，为直角，则,,.（2）余弦定理：在中，，.3.直线与平面所成之角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面重合，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂足，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的夹角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于．因此，直线与平面所成的角的范围是．

4.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形如图：在二面角中，为交线上一点，，，且，，则为二面角的平面角;取值范围：面与面的夹角的取值范围为.5.点到平面距离（1）定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离（2）等体积法：等体积法就是通过变换三棱锥(或四面体)的顶点、底面来求三棱锥(或四面体)的体积的方法。等体积法就是一个几何体利用不同的底面积和高来求体积，利用体积相等，可以求出某一底面所对应的高或某一条高所对应的底面积。立体几何中一般用来求点到面的距离。等体积法就是要类比等面积法。（3）求三角形面积的常见方法：6.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．7.平面到平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离

【实战演练】1．（2425高三上·上海·期末）在如图所示的圆锥中底面半径为2，P是顶点，O是底面的圆心，A、B是圆周上两点，且

(1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；(2)设圆锥的高为2，M是线段AB上一点，且满足求直线PM与平面POB所成角的大小.【答案】(1)(2)【详解】（1）设圆锥底面半径为，母线长为，，则侧面积，解得，于是圆锥的高，圆锥的体积．（2）中，，，则点是线段中点，取中点，连接，，则，又，则，由直线平面，平面，得，结合，且，平面，所以平面，因此直线是在平面内的射影，从而是直线与平面所成的角，∵，∴，又，得，所以.即直线与平面所成的角为.

2．（2425高二上·陕西安康·期末）如图，三棱柱中，是边长为的正三角形，.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）三棱柱中，取中点，连接，由是边长为的正三角形，得，由，得，而，则，即，而面，因此面，又平面，所以平面平面.（2）连接，则是平行四边形对角线的中点，又平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，在中，由余弦定理得，，，，由，得，则，由，得，又，于是，所以直线与平面所成角的正弦值为.3．（2025·福建厦门·一模）如图，在三棱柱中，，，．

(1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）方法1：取的中点，连接，，

因为，所以，且，因为，，为的中点，所以，所以，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．方法2：设为在底面的射影，则平面，因为，所以射影为底面的外心，又为直角三角形，所以恰为斜边的中点，因为平面，所以平面平面．（2）由（1）可知，平面，所以与平面所成角即为，所以，因为，所以，所以，，因为，为的中点，所以，方法1：如图所示，以为原点，分别以，，所在方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的法向量为，

则有，即令，则，，所以，易知平面ABC的一个法向量为，设平面与平面ABC的夹角为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．方法2：如图，过作的平行线，因为，所以，过作，垂足为，因为平面平面，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以平面与平面的夹角即为，易知，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．4．（2425高三上·浙江杭州·期末）如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形ABC，且，平面平面(1)证明：平面(2)若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取中点，中点，连接，因为，所以，又，所以，又因为，，平面PCE，所以平面，又平面，故有，因为，所以，又平面平面，平面平面，又在平面内，所以平面，又平面，故有，又，，平面故有平面（2）解法一：以点F为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设点，设平面PAB的法向量，，，则，可取，于是有，得平面PAC的法向量，平面PAB的法向量，设平面PAB与平面PAC夹角为，则，解法二：如图，作，垂足为M，连接因为平面，，故平面，为与平面所成角，有，得到，设，则，由，得，解得作，垂足为，连接，为平面与平面夹角，，由得，，，，平面与平面夹角的余弦值为5．（2425高三上·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，．

(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）

取的中点，连接.因为是的中点，是的中点，所以在中，根据三角形中位线定理，，且.已知底面是直角梯形，，，，所以，且.由此可得，且，所以四边形是平行四边形.那么.又因为平面，平面，根据线面平行的判定定理，所以平面.（2）因为平面，平面,所以.在直角梯形中，，，根据勾股定理可得.又，，，所以，则.因为平面，平面，所以，又，所以平面.因为是的中点，所以点到平面的距离是点到平面距离的一半.计算，，则.设点到平面的距离为，，.由，即，解得.所以点到平面的距离.6．（2425高三下·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，平面底面与平面所成角的余弦值为．(1)求到平面的距离；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)1；(2).【详解】（1）在三棱柱中，由及余弦定理，得，则，，由平面平面，平面平面，平面，得平面，又平面，则，而，平面，于是平面，又平面，因此平面平面，在平面内过作于，又平面平面，则平面，又，于是，所以到平面的距离为1.（2）由（1）知，直线两两垂直，平面，是与平面所成的角，则，解得，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，，，令平面的法向量为，则，取，得，令平面的法向量为，则，取，得，设二面角的大小为，则，所以二面角的正弦值为.

实战演练实战演练六：空间向量与立体几何【知识点解析】1.平面的法向量的定义：法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面内所有的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量。2.平面的法向量的求解：已知平面，且(1)表示平面中两条相交直线所形成的向量.(2)设为平面的一个法向量.(3)利用法向量与平面的所有直线垂直列方程.(4)赋值求解法向量.3.空间向量与空间位置关系空间位置关系向量关系空间位置关系向量关系4.求异面直线所成的角求法：已知为两异面直线，，与，分别是上的任意两点，记所成的角为，则.解题步骤：若求直线与直线所称之角(1)表示、、、四点的坐标.(2)表示与.(3)记直线所成之角为，.5.求直线和平面所成的角求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则为的余角或的补角的余角.即有：.解题步骤：若求直线与平面所成之角(1)表示、、、、五点的坐标.(2)表示与平面两条相交直线所形成的向量.(3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解.(4)记直线与平面所成之角为，.6.求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则，如果是钝角，则.解题步骤：若求平面与平面所成之角(1)表示、、、、、五点的坐标.(2)分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量.(3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量.(4)记平面与平面所成之角为，.7.点到平面的距离：若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.即.8.点到直线的距离：若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为，则点到直线方向上的投影向量，再利用勾股定理可得。即9.平行平面的距离已知平面与平面平行，若点为平面内一点，点为平面内一点，平面的一个法向量为，则平面与平面的距离为点到平面的距离，即距离等于在法向量上的投影的绝对值.即.10.异面直线的距离已知直线与为异面直线，与与均垂直的向量为，直线与上各取一点形成，则异面直线与的距离为在方向上的投影的绝对值.即.【实战演练】1．（2425高三上·重庆长寿·期末）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的中点．

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）如图，连接，设，连接，因为底面为正方形，所以为的中点，因为为的中点，所以在中，，因为平面平面，所以平面．（2）因为底面，平面，所以，因为底面为正方形，所以，所以两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以．设平面的一个法向量，则，令，则，设平面的一个法向量，则，令，则，所以，因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．2．（2425高二上·北京昌平·期末）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，与平面交于点.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)2【详解】（1）法一：在正方体中，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以.

法二：在正方体中，因为平面平面，平面，所以平面.

又因为平面，平面平面，所以.（2）如图，建立空间直角坐标系.则

，，，，.所以，，.

设平面的法向量，则即.令，则.所以.

设直线与平面所成角为，所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）因为，所以.所以点到平面的距离为.3．（2025·福建·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面为AD的中点．(1)证明：平面平面PAC；(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面平面ABCD，所以，连接EC，由，故四边形ABCE是正方形，故，因为，PA，平面PAC，所以平面PAC，因为平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAC；（2）以A为原点，以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面PCD的法向量为，则有，即，可取，设PB与平面PCD所成角为，则，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为．4．（2025·江西九江·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在菱形中，，知为正三角形，又为线段的中点，则，即，平面平面，又平面平面，又平面，为线段的中点，，又平面平面.（2）如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，设为平面的法向量，由得令，则，即，易知为平面的法向量，，由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为.5．（2425高三上·甘肃定西·期末）如图，在三棱柱中，平面ABC，，E，F分别为棱AB，BC的中点．(1)证明：平面．(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以．因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以，因为，所以，又，所以平面，则．设，易得，则，所以，又，所以平面（2）以A为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设，则，则．由（1）知平面的一个法向量为．．设平面的法向量为，则取设平面与平面的夹角为，则，则平面与平面夹角的余弦值为．6．（2425高三上·黑龙江·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E是DP的中点，，垂足为F，，(1)证明：平面AEF；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)【详解】（1）因为底面ABCD为矩形，平面ABCD，平面，所以，即两两互相垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，注意到，不妨设，所以，所以，从而，即，由题意，又平面，所以平面AEF；（2）由（1）可知平面的一个法向量可以是，注意到三点共线，从而可设，而，，所以，解得，所以，由（1）可知，设平面的法向量为，则，令，解得，所以，设二面角的大小为，则，故所求为.

实战演练实战演练七：动点问题与边长缺失问题【知识点解析】1.动点的表示方法：（1）若动点所在直线与坐标轴平行或重合，则直接设动点坐标.=1\*GB3①若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数.=2\*GB3②若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数.=3\*GB3③若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数.（2）若动点所在直线与坐标轴不平行，已知点、，动点在直线上运动，则,所以，由此可表示出点坐标或直接利用表示出目标向量.（3）2.边长缺失问题条件缺失型问题为近年常考问题，条件缺失型主要是指缺少边长问题或动点问题，导致无法在空间直角坐标系中表示点的坐标。但此类问题经常会给出其他条件，通过翻译该条件可以求出几何体的所有边长或动点位置。【实战演练】1．（2425高三上·江苏常州·阶段练习）如图，三棱柱中，，.(1)求证：平面；(2)直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在中，，，由余弦定理可得，则，解得，由，则在中，，因为，平面，，所以平面.（2）由（1）及，则两两相互垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图：设，由（1）知，则，，，，则，，，设平面的一个法向量，则，可得，令，则，，所以平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，则，解得，则，在三棱柱中，，则，设平面的一个法向量，则，可得，令，则，，所以平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则.2．（2425高三上·江苏扬州·期末）如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点．(1)求证：为棱的中点；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)4【详解】（1）证明：因为直三棱柱，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．又为的中点，所以为的中点．（2）方法一：由直三棱柱得平面，又平面，所以，，所以即为二面角的平面角．又二面角为直二面角，所以．如图，以点为原点，分别以，为轴建立空间直角坐标系．设，则，，所以，，．设为平面的法向量，则即不妨取，则是平面的一个法向量，所以．设直线与平面所成角为，所以，解之得，即．方法二：在平面内，过点作，垂足为，连接，由直三棱柱得平面，又平面，所以，，所以即为二面角的平面角．又二面角为直二面角，所以，即，又，，平面，所以平面．又平面，所以，因为，，平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角．设，因为，，所以，所以，解之得，即．3．（2425高三上·北京石景山·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为1的正方形，是的中点.(1)求证：平面；(2)求证：；(3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)，或【详解】（1）如下图，连接交于点，可得点是的中点，连接，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）因为四边形是边长为1的正方形，所以，又因为平面，平面，所以，由，平面，得平面，又平面，所以；（3）因为平面，平面，所以，由，，平面，得平面，设，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设为平面的一个法向量，则，即，令，得，所以，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得，或，由，得，或，所以，或.4．（2425高三上·河南周口·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，，．(1)求证：平面．(2)若，平面与平面夹角的余弦值为，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点，连接、，因为平面，平面，平面平面，所以，因为，为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以，因为，则，因为，为的中点，则，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，因为，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.（2）因为，，则，又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、，设，则，设平面的法向量为，，，则，取，则，设平面的法向量为，，，则，取，则，由题意可得，解得，故.5．（2425高三上·安徽阜阳·期末）如图，多面体中，平面平面是的中点.(1)证明：平面.(2)若，且二面角的余弦值为，求的长.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点，连接，因为为中点，所以，，因为平面平面，所以.又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以；因为平面平面ABC，所以平面.（2）如图所示建立空间直角坐标系，设，则，，设为平面的法向量，则有得，令，得，显然平面的一个法向量可以为，因为二面角大小余弦值为，所以有.解得，即的长为3.6．（2425高三上·广东·期末）如图，已知平面，平面平面.(1)证明：平面；(2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长.【答案】(1)证明见解析(2)1【详解】（1）证明：过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为平面平面，所以，又因为平面平面，所以平面.（2）（方法一）因为平面，所以，又因为平面.所以如图，以点为坐标原点，分别以，过点且平行的直线，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，因为，所以，则，设平面的法向量为，则，得，令，则平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，得，令，则平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，解得，即的长为1.（方法二）取中点，在中，过点作交于点，连接因为平面平面，所以，因为为中点，所以，又平面平面，所以平面.因为平面平面，所以，又平面平面，所以平面又因为平面，所以，又因为，所以为平面与平面的夹角.在中，为中点，因为，因为平面与平面的夹角的余弦值为，即，所以，所以，在中，，在和中，，所以，即的长为1.7．（2425高三上·河南·期末）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足平面.(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，或【详解】（1）证明：因为且，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形，所以.因为平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面.（2）因为平面平面，所以，又，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则，所以设平面的法向量为，则令，得，所以.假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，设，则,解得或.所以线段上存在点，当或时，使得直线与平面所成角的正弦值为.8．（2425高三上·天津和平·期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面.(1)若O是CD的中点，证明:；(2)求二面角的正弦值；(3)在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由【答案】(1)答案见解析(2)(3)存在点Q，点Q为PC的中点【详解】（1）连接，因为三角形PCD是正三角形，且O是CD的中点，则，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为四边形ABCD是矩形，则，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以.（2）由（1）可得：，设平面的法向量，则，令，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，设二面角为，则，可得，所以二面角的正弦值为.（3）由（1）可得，设，可得，由（2）可知：平面的法向量，则由，整理可得，解得或（舍去），即，可知存在点Q，点Q为PC的中点.9．（2425高三上·山东日照·期末）如图，，点在平面的同侧，，，平面平面.

(1)求证：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）如图，取的中点，连接，由，得，由，得，而平面，则平面，又平面，所以.

（2）由（1）知，，又平面平面，平面平面平面，则平面，过作，则平面，又，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

在四边形中，，则，，而，则，于是，，设，则，设为平面的法向量，则，取，得，由直线与平面所成角的正弦值为，得，解得，所以.10．（2425高三上·甘肃酒泉·期末）如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，，.(1)证明：平面；(2)已知点在线段上，且（），若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)或．【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，因为，，所以．因为，，平面，所以平面，又平面，所以，即．因为，，，所以，所以，即，因为，，平面，所以平面.（2）由（1）知，，两两垂直，因为，，所以．以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得，，，，，所以，，，，设，所以，，因为，，所以，即所以所以，，设是平面的一个法向量，则所以令，则所以，设直线与平面所成角为，则，解得或．11．（2025·江西·一模）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，点在线段上．(1)证明：平面．(2)若平面，，，，平面与平面夹角的余弦值为，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）法一：如图，连接，设，连接．因为四边形是平行四边形，所以为的中点，因为为的中点，所以由中位线定理得，因为平面，平面，所以平面．法二：因为，，，所以，则．又平面，所以，，两两垂直．以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．由，，，可知，，，，，，则，，．设是平面的法向量，则得取，可得．因为，所以，则平面．（2）因为，，，所以，则．又平面，所以，，两两垂直．以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．由，，，可知，，，．设（），则，．设是平面的法向量，由得取，可得．取平面的一个法向量为．设平面与平面的夹角为，则，解得，所以．12．（2425高三上·浙江丽水·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且.(1)求证：；(2)是否存在实数，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，或【详解】（1）连接，因为，，则四边形为菱形，所以，又平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以.（2）取线段的中点，连接，在菱形中，，则，故为等边三角形，因为为的中点，则，且平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设，则，，记平面的法向量，则，取，则易知平面的一个法向量为，由题意，整理可得，即，因为，解得或.13．（2425高三上·山东潍坊·期末）如图，在直平行六面体中，，且，，分别为，的中点.(1)证明：平面；(2)点在棱上，当平面与平面所成角的余弦值为时，求.【答案】(1)证明见解析(2)或.【详解】（1）在直平行六面体中，易知，因为，平面，所以平面，所以，所以，因为，所以，在矩形中，，，，所以，所以，因为为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以平面，所以平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面.（2）以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，平面的法向量为，设（），则，，，设平面的法向量为，所以所以令，则，，所以，设平面与平面所成角为，所以，所以或，所以的值为或.

实战演练实战演练八：最值问题【知识点解析】代数法求最值的常见方法（1）单调性法（2）二次函数法（3）三角函数法（4）换元法（5）基本不等式法（6）分离常数法（7）判别式法【实战演练】1．（2024·江西·模拟预测）如图，在直三棱柱中，平面⊥侧面，点到平面的距离等于1.(1)求证：；(2)若，设直线与平面所成的角为θ，求θ的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)θ的最大值为【详解】（1）过作垂直于，因为平面⊥侧面，平面侧面，侧面，所以平面，又因为平面，所以，又因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又因为，平面，所以平面，又平面，所以，（2）由（1）知平面，所以在平面内的射影为，所以直线与平面所成的角，所以，又点A到平面的距离等于1，所以，设，所以，，所以，又，所以，所以，取得等号，解得或（舍去），所以，所以，又，所以，所以θ的最大值为.2．（2425高三上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为．(1)证明：平面；(2)已知，，为上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）在正方形中，，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，因为，平面平面且平面平面，平面，所以平面，则平面．（2）取中点记为，中点记为，连接，所以，连接，因为为等腰三角形，所以，所以，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，因为，，所以，，，，，令，所以，，，记平面的一个法向量，则，可取，记直线与平面所成的角为，则，当时，，当时，，故直线与平面所成角的正弦值的最大值为．3．（2425高三上·广西河池·期末）如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点．(1)证明：平面；(2)设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）如图，在平面ABC内过点作直线，∵平面，平面，∴，，∴以为坐标原点，分别为坐标轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，∵为的中点，∴，∴，，，∴，即，又∵平面，平面，，∴平面.（2）设，即则，，，设平面的一个法向量，则，令，则，即，设直线与平面所成角为，则，令，当时，取最小值，即，即当时，取得最大值，，4．（2425高三上·广东潮州·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，，是棱上两点（在的上方），且．(1)若，求证：平面；(2)当点到平面的距离取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接，记，，连接，，如下图，在正方形中，因为，为的中点，所以，，易知∽，则，可得，在中，因为，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，，故两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：则，的面积为定值，又点A到平面EFC的距离为定值，三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，所以要使点到平面AEC的距离最大，则的面积最小，即到AC的距离最小，设，则，所以E到AC的距离为所以当时，E到AC的距离最小，点到平面AEC的距离最大，此时设平面AEC的一个法向量为，则，令，可得，又，设直线AG与平面AEC所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值.5．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.(1)设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．（i）证明：平面平面；（ii）求球O的半径(2)求二面角的余弦值的最小值.【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）球O的半径为；(2).【详解】（1）在中，由，得，所以，且，即，（i）证明：因为，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，设球心，半径，则，所以，解得，所以球O的半径为；（2）在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，因平面,则平面.则由（1），设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内，则，所以，设平面一个法向量分别为，则，即，取，则得；平面的一个法向量为，则，即，取，则得，所以，令，则由得，则，于是，当且仅当即时等号成立，所以二面角的余弦值的最小值为.6．（2425高三下·湖北·开学考试）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点.(1)证明：；(2)若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球心到平面的距离；(3)求平面与平面夹角余弦值的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）取的中点，连接,因为，,且的中点，所以，又平面，故平面，由于平面，故,（2）当时，由则，取的中点，连接故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心，因为故，设到平面的距离为,到平面的距离为，由等体积法可得而由于故，所以从而故到平面的距离为，（3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，过点作平面的垂线，垂足为，设为翻折过程中所旋转的角度，则，故，，则,设平面的法向量为，则，取则，设平面的法向量,取则，设平面平面与的夹角为，故,,令，，故，由于，故当且仅当即时取等号，故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时.

实战演练实战演练九：折叠问题【实战演练】1．（2425高二上·江西·阶段练习）如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点．(1)证明：．(2)求二面角的余弦值．(3)试问在线段上是否存在点，