第10章三角恒等变换章末题型归纳总结（能力篇）（9大题型）

第10章三角恒等变换章末题型归纳总结（能力篇）【题型归纳目录】题型一：给角求值型问题题型二：给值求值型问题题型三：给值求角型问题题型四：三角函数式的化简与证明题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用题型六：三角恒等变换与向量的综合运用题型七：三角恒等变换的实际应用题型八：辅助角公式的高级应用题型九：和差化积、积化和差公式的应用

【思维导图】

【知识点梳理】知识点1：两角和与差的正余弦与正切①；②；③；知识点2：二倍角公式①；②；③；知识点3：降次（幂）公式知识点4：半角公式知识点4：辅助角公式（其中）．解题方法总结1、两角和与差正切公式变形；．2、降幂公式与升幂公式；．3、其他常用变式．4、拆分角问题：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．5、和化积公式6、积化和公式

【典型例题】题型一：给角求值型问题【典例11】求值：．【答案】【解析】方法一：原式；方法二：令原式乘以得，，则原式．故答案为：.【典例12】．【答案】/【解析】因为，则，所以.故答案为：.【变式11】．【答案】【解析】.故答案为：【变式12】．【答案】【解析】原式，故答案为：.【变式13】求.【答案】/0.5【解析】故答案为：.题型二：给值求值型问题【典例21】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知，则，所以，联立，结合，解得，则，故.故选：D.【典例22】已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，所以，，，所以，，因此，.故选：B.【变式21】已知，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，则，且，可得，所以.故选：A.【变式22】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，即，可得所以.故选：D.【变式23】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，而，得，因此，所以.故选：B题型三：给值求角型问题【典例31】若，，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因为，所以，所以，得.故选：D【典例32】若，，并且均为锐角，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，又，所以，因为，，所以，所以，又因为，所以.故选：C【变式31】已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，.又，，.，，，.故选：D.【变式32】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以，又，所以，所以，又，所以，所以.故选：D.【变式33】若，且，，则的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】因则.又，则，可得.又则由，可得由.因则.故选：A.题型四：三角函数式的化简与证明【典例41】某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数，；；.(1)求出这个常数；(2)结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.【解析】（1）因为，故常数为；（2）推广：当时，．证明：因为，则，．【典例42】（1）化简；（2）证明：.【解析】（1）原式.（2）左边右边.所以原等式成立.【变式41】化简与证明：(1)化简：；(2)证明：．【解析】（1）原式．（2）证明：左边＝右边，所以原等式成立．【变式42】证明：．【解析】证明：左端＝＝右端．所以【变式43】证明下列三角恒等式：(1)；(2).【解析】（1）∵，∴，∴.（2）.题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用【典例51】（1）已知角为第二象限角，且，求的值；（2）若在区间上的最大值为6，求实数的值．【解析】（1）因为角为第二象限角，且，则，所以；（2）由题意可得：，因为，则，可知当，即时，取到最大值，可得，即.【典例52】已知函数已知.(1)求函数的周期、对称轴、对称中心;(2)求在上的单调区间与最值；(3)若对，不等式恒成立，试求的取值范围.【解析】（1）法一：.，所以，，所以对称轴为：，，所以对称中心为：，法二：，所以，，所以对称轴为：，，所以对称中心为：.（2）法一：，，所以上单调递增，上单调递减，所以上单调递增，上单调递减，，，，所以法二：，，所以上单调递增，上单调递减，所以上单调递增，上单调递减，，，，所以；（3），而恒成立，所以，当取得最大值3时，，所以.【变式51】已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)设.①求函数的单调递增区间；②当时，求不等式的解集.【解析】（1），函数的最小正周期为；当，即，，取得最大值2；（2）①，令，，，，所以函数的单调递增区间是，；②，，，所以或，得或所以不等式的解集是.【变式52】已知函数，.(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)直线与曲线、分别交于点、，求的最大值．【解析】（1）因为，则的最小正周期为.由可得，所以，函数的单调递减区间为.（2）由题意可知，、两点的坐标为、，则，即，故，因为，所以，所以，所以在时的最大值为.【变式53】已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调减区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.【解析】（1）因为.由，所以函数的最小正周期为.由，得.所以函数的单调减区间为.（2）因为，所以.所以，函数在上的最小值为0，最大值为2.题型六：三角恒等变换与向量的综合运用【典例61】已知向量，函数.(1)求函数的值域和单调递增区间；(2)当，且时，求的值.【解析】（1）由题，由于，则函数的值域是；令，解得，所以函数的单调递增区间为.（2）因为，可得，因为，则，可得，所以.【典例62】已知向量，函数.(1)求的最小正周期;(2)求的单调减区间；(3)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.【解析】（1），的最小正周期.（2）令，，解得，，所以的单调减区间为（3）由题知在区间上恰有两个不同的实数根，即函数在区间上的图像与直线恰有两个交点，令，做出的图像与直线，如图.由图知，当时，的图像与直线有两个交点，【变式61】已知向量，，函数的最小值为.(1)求m的值及函数的单调递增区间；(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，试求不等式在区间上的解集.【解析】（1），所以的最小值为，解得.即，令解得，所以的单调递增区间为.（2）由已知可得，所以不等式即为，令，则由，得，则原不等式化为，所以，所以，所以，结合函数在上的图象可得或，即或，所以原不等式在区间上的解集为或.【变式62】已知向量，，函数.(1)将化简成的形式；(2)将的图象向左平移个最小正周期的单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求的单调递增区间；(3)在（2）的条件下，若，求的值.【解析】（1）.（2）因为的最小正周期，所以，则．令，得，故的单调递增区间为．（3）根据题意可得，令，则，.由，故．【变式63】已知向量，，函数.(1)求的最小正周期和对称轴；(2)求在区间上的最大值；(3)若，，求.【解析】（1），所以，，所以的最小正周期为，令，解得：，所以对称轴为（2）由，，得，故当，即时，取得最大值，最大值为.（3），可得：，即，又，则，所以，所以.题型七：三角恒等变换的实际应用【典例71】如图，在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，点为角终边上一点，四边形为正方形，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】点是角终边上的一点，，，，，，四边形为正方形，∴，∴.故选：D.【典例72】欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min，若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（

）．A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【解析】甲乙两人的座舱所连的弧所对应的圆心角为，则，以摩天轮中心为原点建立坐标系，设某一时刻甲座舱位于处，乙座舱位于处，则两人高度差，其中，故米.故选：B．【变式71】如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（

）（提示：）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，，，则，，于是，又的周长为2，即，变形得，则，又，因此，所以.故选：C【变式72】在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，所以，所以，所以，故选：B.【变式73】已知函数的部分图象大致如图所示．将函数的图象向左平移个单位后，所得函数为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由图可知，，由，可得，又由五点画图法有，可得，所以可得，，函数向左平移个单位后，所得函数为，由奇偶性及，可得，可得．故选：C.题型八：辅助角公式的高级应用【典例81】若函数的图象关于直线对称，则的值是.【答案】【解析】因为（其中），且函数图象关于直线对称，所以，整理得，解得.故答案为：【典例82】已知函数，当时，的值域为．【答案】【解析】，若，则，则，所以，即的值域为．故答案为：【变式81】当时，，则.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，即，解得或，又，所以，所以，所以，所以，所以.故答案为：【变式82】已知函数，则函数在上的最大值为．【答案】【解析】设，则，所以，，当时，，所以，，则，设，，则，所以函数在上单调递减，，即当时，．故答案为：.【变式83】已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则．【答案】或【解析】由题意得，令，得，则，∴或，∴或，∵，∴或，解得或．故答案为：或.题型九：和差化积、积化和差公式的应用【典例91】已知，则．【答案】/【解析】由得①，由得②，得．故答案为：.【典例92】化简求值：.【答案】【解析】【变式91】对集合,,,和常数，把定义为集合,,,相对于的“正弦方差”，则集合相对于的“正弦方差”为.【答案】/0.