2023-2024学年苏科版七年级数学下册 第12章 证明 专项训练

第12章证明

热考题型

知识点1：命题的概念

知识点4：互逆命题的概念

知识点2：真、假命题的概念与判断

证明

知识点5：逆命题的真假

知识点3：证明

考查题型一命题的概念

例1.下列语句中是命题的是（）

A.作N/O3的平分线。CB.美丽的大自然

C.同位角相等D.你吃饭了吗

【详解】解：/、作N/O8的平分线。C,不是命题；

8、美丽的大自然，不是命题；

C、同位角相等，故C符合题意

D＞你吃饭了吗，不是命题.

故本题选：C.

练1.下列四个句子中是命题的是（

A.正方形的四条边相等B.用三角板画60。的角

C.生活在水里的动物是鱼吗D.直线、射线、线段

【详解】解：/、正方形的四条边相等，是命题;

B、用三角板画60。的角，不是命题；

C、生活在水里的动物是鱼吗，不是命题；

。、直线、射线、线段，不是命题.

故本题选：A.

例2.将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的题设和结论.

（1）等角的补角相等；

（2）有两个角为60。的三角形是等边三角形.

（3）两数相乘，同号得正.

【详解】解：（1）等角的补角相等改写成“如果两个角相等，那么它们的补角也相等“，题设是两个角相等,

结论是它们的补角也相等；

（2）有两个角为60。的三角形是等边三角形改写成“如果三角形有两个角等于60。，那么这个三角形是等边

三角形”，题设是三角形有两个角等于60。，结论是这个三角形是等边三角形；

（3）两数相乘，同号得正改写成“如果同号的两个数相乘，那么积为正数”，题设是同号的两个数相乘，结

论是积为正数.

练2.指出下列命题的题设和结论，并将这些命题改写成“如果……，那么……”的形式：

①平行于同一条直线的两条直线平行；

②乘积为1的两个数互为倒数；

③等角的补角相等；

④两点确定一条直线.

【详解】解：①题设为两条直线都平行于同一条直线，结论为这两条直线平行，命题可改写为如果两条直

线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行；

②题设为两个数的乘积为1,结论为这两个数互为倒数，命题可改写为如果两个数的乘积为1,那么这两个

数互为倒数；

③题设为两个角分别是相等的角的补角，结论为这两个角相等，命题可改写为如果两个角分别是相等的角

的补角，那么这两个角相等；

④题设为过已知两点作直线，结论为这样的直线有且只有一条，命题可改写为如果过已知两点作直线，那

么这样的直线有且只有一条.

考查题型二真、假命题的概念与判断

例1.下列选项中，能说明命题“若则。2（“是假命题的反例是（）

A.Q=2B.a=1C.a=—1D.a=—2

【详解】解：选项z、B.C满足命题的条件，也满足命题的结论；

选项。满足命题的条件，但不满足命题的结论，是反例.

故本题选：D.

练1.能说明命题“如果Nl+N2w60。，那么wN2”为假命题的反例是（）

A.Z1=40°,Z2=20°B.Z1=20°,Z2=20°

C.Zl=30°,Z2=30°D.Z1<30°,Z2>30°

【详解】解：A.Z1=40°,Z2=20°,贝!1N1+N2=60。，故不合题意；

B.Z1=20°,Z2=20°,则ZI+/2W60。，但/l=/2,可作为说明原命题是假命题的反例;

C.Zl=30°,Z2=30°,有Nl+N2=60。，故不合题意；

D.Z1<30°,Z2>30°,贝UN1+N2可能等于60。，故不合题意.

故本题选：B.

例2.下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是（）

【详解】解：/中的图形，满足两个角相等，但是不是对顶角，故/符合题意;

8中的图形是对顶角，故8不合题意；

C中的图形两个角不相等，故C不合题意；

。中的图形两个角不相等，故。不合题意.

故本题选：A.

练2.下列图形中，可以用来说明“同位角相等”是假命题的是（）

【详解】解：/、图中没有同位角，不能说明“同位角相等''是假命题，不合题意;

8、两直线平行，同位角相等，不能说明“同位角相等”是假命题，不合题意；

C、两直线不平行，同位角不相等，能说明“同位角相等”是假命题，符合题意;

。、图中是内错角，没有同位角，不能说明“同位角相等”是假命题，不合题意.

故本题选：C.

例3.下列命题中，属于假命题的是（）

A.同角的补角相等

B.等角的余角相等

C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和

D.两个锐角的和仍是锐角

【详解】解：/、同角的补角相等，是真命题；

等角的余角相等，是真命题；

C、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，是真命题；

。、两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，因此“两个锐角的和仍是锐角”是假命题.

故本题选：D.

练3.下列命题中是假命题的是（）

A.两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直

B.两直线平行，同位角的平分线也互相平行

C.在同一平面内，若6_Lc,a±c,则6_La

D.在同一平面内，若6//c,a11c,则6//a

【详解】解：/、两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直，是真命题；

B,两直线平行，同位角的平分线也互相平行，是真命题；

C、在同一平面内，若6_Lc,a±c,则6//a,故本选项命题是假命题；

D、在同一平面内，若6//c,al1c,则b//a,是真命题.

故本题选：C.

例4.下列命题正确的是（）

A.若a>b,则a-3>b-3B.若a>6,贝!|ac>bc

C.若m2>左2,则D.a>b,贝"ac?〉心/

【详解】解：；a>6,,a-3>6-3,故/不合题意；

.,.当c=0时，ac>6c不一定成立，故2不合题意；

ac2>be2,:.a>b,故C符合题意;

.,.当c=0时，*2>6片不成立，故。不合题意.

故本题选：C.

练4.下列四个命题中，真命题是()

A.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离

B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等

D.平行于同一条直线的两条直线平行

【详解】解：/、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原命题是假命题；

2、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题；

C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题；

。、平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题.

故本题选：D.

例5.用三个不等式。>6,c<0,a(c-l)<b(c-l)中的两个作为题设，余下的一个不等式作为结论，组成

一个命题，则可以组成真命题的个数为()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【详解】解：由题意可知：一共有三种命题组合方式：

①如果a>6,c<0,那么a(c-1)<6(c—1),是真命题；

②如果a>b,a(c-1)<b(c-1),那么c<0,是假命题；

③如果c<0,a(c-l)<6(c-l),那么a>6,是真命题.

故本题选：C.

练5.用三个不等式中>0,—,x+y>0中的一个不等式与x>y作为条件，余下的其中一个不等式作

xy

为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【详解】解：由题意可知：一共有6种命题组合：

①若X",xy>0,贝！Jx+y>0,

取x=-1,y=—2,满足孙>0,但x+y=—3<0,故该命题是假命题；

②若x>yfxy>0,则

xy

x>y9xy>0,

...--X->、-->--，

肛肛

即1<1，故该命题是真命题；

yxxy

③若x>y,—,则x+y〉O,

xy

取x=—1,y=—29满足x>y,—,(0x+j^=—3<0,故该命题是假命题;

xy

④若x>y,,则孙>0,

xy

11

•.・一〈一,

xy

即匕N<0,

xyxy

x>y9

y-x<0,

.".xy<0,故该命题是真命题；

⑤若x+y>0,贝U孙>0,

取x=2,y=—l,满足x>y,x+y>0,但中=一2<0,故该命题是彳发命题；

⑥若x>yfx+y>0,贝

xy

取x=2,y=-l,满足x+y>0,{B—>—,故该命题是假命题；

xy

综上，正确的命题有2个.

故本题选：B.

考查题型三证明

例.补全下面推理过程:

生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如

图2所示，5/垂直于地面4£于/,CD平行于地面4E,求N4gC+N3CD的度数.

图2

解：如图，过点3作8斤///E,

,:CDHAE（）,

—）//CZ>（平行于同一条直线的两条直线平行），

NBCD+（）=180°（）,

■：ABLAE,ZEAB=（）°（）,

VBF//AE（辅助线作法），

）+Z£4B=180°,

，NN既=180°-90°=90。,

ZABC+NBCD=NABF+ZCBF+NBCD=（）°.

【详解】解：如图2,过点8作AF//NE,

■：CDI/AE（已知）,

:.BF//CD（平行于同一条直线的两条直线平行），

:.ZBCD+ZCBF=1S0o（两直线平行，同旁内角互补），

•••ABVAE,AEAB=90°（垂直的定义），

•：BFHAE（辅助线作法），

AABF+AEAB=\^°,

zL45F=180°-90o=90°,

ZABC+ZBCD=ZABF+ZCBF+ZBCD=270°.

练-1.完成下面的证明：已知，如图，AB//CD//GH,EG平64BEF,FG平分NEFD.

求证：ZEGF=90°.

证明：•.•E/G///8（已知），

Z1=Z3,

又•：HGIICD（已知），

Z2=Z4,

AB/ICD（已知）,

NBEF+=180°,

又,；EG平分NBEF,FG平分NEFD（已知），

;./1=ZBEF,Z2=ZEFD,

Zl+Z2=（/BEF+ZEFD）=,

Z3+Z4=90°,即NEGF=90°,

【详解】证明：•.・HG//N3（已知），

Z1=Z3（两直线平行、内错角相等），

又•：HGIICD（已知），

Z2=Z4（两直线平行，内错角相等），

AB//CD（已知）,

ABEF+AEFD=180°（两直线平行、同旁内角互补），

又一；EG平货NBEF,FG平分NEFD（已知），

Z1=-ZBEF,Z2=-ZEFD（角平分线定义），

22

Zl+Z2=1（NBEF+ZEFD）=90°,

Z3+Z4=90°（等量代换）,即NEG尸=90。.

练-2.如图，在三角形43c中，CDJ.4B于D,点E是4D上一点,FE工4B于E交4c于点、H,点G是

8c延长线上一点，连接FG,ZACD+ZF=180°.

（1）求证：AC//FG；（补全证明过程，并在括号内填写推理的依据）

（2）若44=40。，ZBCD:ZACD=2:3,求NBCD的度数.

（1）证明：_L/B,FE1AB（已知），

ZAEH=ZADC=90°（①）,

.•.②—（同位角相等，两直线平行），

ZACD+ACHE=180°（③）,

■.■ZACD+ZF=180°（已知），

④—（⑤—），

:.AC!!FG{®）.

【详解】（1）证明：•.•（：£>_L/8,FEVAB（已知），

ZAEH=ZADC=90°（垂直的定义），

:.CD//EF（同位角相等，两直线平行），

;.NACD+NCHE=18Q。（两直线平行，同旁内角互补），

ZACD+ZF=180°（己知），

ACHE=ZF（同角的补角相等），

:.ACHFG（同位角相等，两直线平行）；

（2）解：CDLAB,

ZADC=90°,

ZA+ZACD=90°,

■：ZA=40°,

ZACD=50°,

/BCD:ZACD=2:3,

练-3.课题学习：平行线的“等角转化”功能.

（1）阅读理解：如图1,已知点N是3c外一点，连接N8、AC,求NB+NB/C+NC的度数.阅读并补

充下面推理过程.

解：过点/作成>//3C,

;.NB=_NBAEZC=,

NEAB+ABAC+ADAC=180°,

Z5+Z5T1C+ZC=180°.

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将/8/C、NB、ZC“凑”在一

起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

(2)方法运用：如图2,已知48//功>,求/S+NBCD+N。的度数；

请补全下面的推理过程：

解：过点C作C///48,

,+ZBCF=180°(),

CF//AB,ABIIDE,

•••()，

ZD+ZDCF=180°(),

NB+NBCF+ZD+ZDCF=180°+l80°(),

即ZB+ZBCD+ZD=360°.

(3)深化拓展：已知48//C。，点C在点。的右侧，ZADC=50°,BE平分NABC,DE平分/ADC,

BE,所在的直线交于点£,点E在直线N8与CD之间.

①如图3,点3在点力的左侧，若//8C=36。，BOABED=°；

②如图4,点8在点工的右侧，^.AB<CD,AD<BC,若ZABC=n°,PJlJABED=°.(用含〃的代

数式表示)

【详解】解：(1)•.•EO/ABC,

/B=NEAB,ZC=ZDAC,

故本题答案为：ZEAB,NDAC；

(2)如图2,过点C作CF//48,

.-.ZB+ZBCF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，

­••CF//AB,ABIIDE,

:.CFUDE(平行于同一条直线的两条直线平行)，

.-.ZD+ZDCF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，

ZS+Z5CF+ZD+ZDCF=180°+180°(等式的基本性质)，

即NB+NBCD+ND=360°；

(3)①如图3,过E作EG///5,

•/AB//DC,

/.EG//CD,

/.AGED=/EDC,

•;DE平分/ADC,

z./EDC=-ZADC=25°,

2

/.AGED=25°,

BE平分/ABC,

/ABE=L/ABC=18。,

2

,:GE//AB,

/BEG=/ABE=18°,

/BED=AGED+/BEG=25。+18。=43。；

②如图，过E作PE//4B,

•・•AB//CD,

:.PE//CD,

APED=/EDC=25°,

•••8£平分N45C,/ABC=n。,

ZABE=-ZABC=-n°,

22

•・•AB//PE,

ZABE+ZPEB=1SO0,

ZPEB=lSO°--n°,

2

ABED=ZPEB+ZPED=（205-1n）°.

考查题型四互逆命题的概念

例.命题“等角的补角相等”的条件是—,结论是—，这个命题的逆命题是—.

【详解】解：“等角的补角相等”的条件是：两个角相等，结论是：它们的补角也相等，

逆命题是：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，

故本题答案为：两个角相等，它们的补角也相等，如果两个角的补角相等，那么这两个角相等.

练.等腰三角形两底角的平分线相等，这个命题的逆命题是—.

【详解】解：逆命题是：两个内角的平分线相等的三角形是等腰三角形.

故本题答案为：两个内角的平分线相等的三角形是等腰三角形.

考查题型五逆命题的真假

例1.下列命题的逆命题不成立的是（）

A.如果两个数互为相反数，那么它们的和等于0

B.如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等

C.如果两个数相等，那么它们的平方相等

D.如果|0|=|切，那么a=b

【详解】解：/、逆命题是：如果两个数的和等于0