2024-2025学年北师大版九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 单元测试卷

第一章特殊平行四边形单元测试卷

〔时间：90分钟分值：100分〕

一、选择题（本大题共10小题.每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意）

1.下列说法中错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分

B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C.矩形的对角线相等

D.有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形

2.在下列条件中，能够判定口ABCD为菱形的是（）

A.AB=ACB.AC±BDC.AC±BCD.AC=BD

3.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）

A.矩形B.对角线互相垂直的四边形

C.菱形D.对角线相等的四边形

4.如图是矩形ABCD的边AD上的一个动点矩形的两条边AB,BC的长分别为3和4,那么点P到矩

形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）

A.装B.|C.|D.不能确定

5.如图1-Z-2,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上，若点A,B的坐标分别为（0,2）,（-

1,0）,则点D的坐标为（）

A.（V5,2）B.（2<V5）C.（V3-2）D.（2>V3）

6.如图l-Z-3,过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EFLAC,交BC边于点E,交AD边于点F,分别连接AE,CF.

若百,NDCF=30。厕EF的长为（）

A.2B.3C.—D.V3

2

7.如图1-Z-4,在菱形ABCD中，乙4BC=80。旧是线段BD上一动点（点E不与点B,D重合），当AABE是等腰

三角形时，NDAE的度数为（）

A.30°B.70°C.30°或60°D.40°或70°

8.如图1Z5,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC,BD,CE平分乙4。£＞交BD于点E,则DE的长为

()

4.2V2-25.V3-1C.2-V2D.V2-1

9.如图1-Z-6,在菱形ABCD中,/D=135o,BE，CD于点E,交AC于点F,FG，BC于点G.若ABFG的周长为4,则

菱形ABCD的面积为（）

A.4V2B.8V2C.16O.16V2

图I-Z-7

10.如图1-Z-7,在矩形ABCD中,AB=5,BC=6,点M,N分别在AD,BC上，且AM=BN,AD=3AM,E为BC边上一动

点，连接DE,将ADCE沿DE所在直线折叠得到ADCE,当点C恰好落在线段MN上时，CE的长为（）

4|或2B，lC.|或2£).|

二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

11.如图1-Z-8,在AABC中,NACB=90o,NA=3(F,BC=3cm,D为AB的中点，则CD=cm.

12.如图1-Z-9,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC，BD,且AC平分BD,若添加一个条

件：则四边形ABCD为菱形.

13.如图1-乙10所示,在矩形ABCD中,DE_LAC于点E,且/ADE:/EDC=2:1,则NBDE=°.

14.如图1Z1L在菱形ABCD中,AD=5,对角线AC=8,P是AD上任意一点，M是对角线AC上任意一点，则

PM+DM的最小值为.

15.如图1-Z-12,在正方形ABCD中.对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点CE=5,F为DE的中点.若

ACEF的周长为18,贝［|OF的长为

图l-Z-14

图l-Z-ll图l-Z-12

16.如图1-Z-13,在矩形ABCD中，点E在边BC上,F是AE的中点,AB=4,AD=DE=5,则BF的长为.

17.如图1Z14,菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点。，点E,F同时从点0出发，在线段AC上以0.5cm/s

的速度反向运动（点E,F分别到达A,C两点时停止运动），设运动时间为ts.连接DE,DF,BE,BF,已知AABD是边长

为4cm的等边三角形，当t=_s时，四边形DEBF为正方形.

三、解答题（本大题共6小题，共49分）

18.（6分）如图1-Z-15,在正方形ABCD中,E,F分别为边AD和CD上的点，且4E=CF,连接AF,CE交于点G.求

证：AG=CG.

图1-Z-15

19.（8分）如图1-Z-16,在矩形ABCD中.对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M,N,

与边AD交于点E,垂足为0.

⑴求证:AAOM=ACON;

⑵若AB=3,AD=6,则AE的长为.

M

图IZ-16

20.（8分）如图1Z17在菱形ABCD中.对角线AC,BD相交于点O,点E在线段BO上，连接AE.

⑴若CD=5,BD=8,点E在线段AB的垂直平分线上，求△4ED的面积：

（2）若乙DAE=4DEA,CD=2BE,E0=1,求线段AE的长.

S1-2-17

21.（8分）如图1-Z-18,在正方形ABCD中,.AB=4,,E是对角线AC上的一点，连接DE过点E作EF1DE交

AB于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接AG.

⑴求证:矩形DEFG是正方形；

⑵求AG+4E的值.

S1-Z-18

22.（9分）如图1-Z-19在MBCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点（不与点A,D重合）.EG的延长线与

BC的延长线相交于点F,连接CE、DF.

⑴求证：四边形CEDF是平行四边形.

（2）填空:若=3cm,BC-5cm=60°.

①当AE=时，四边形CEDF是矩形；

②当AE=时，四边形CEDF是菱形

图1-Z-19

23.（10分）知识探究:如图1-Z-20①,E是正方形ABCD对角线AC上任意一点，以E为直角顶点的直角三角形

EFG两边EF,EG分别与AD,AB相交于点M,N.当EF12。时，请探究EM与EN的数量关系，并说明理由：

拓展探究：当△EFC绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图②，请探究EM与EN的数量关系，并说

明理由；

迁移运用：在图②的基础上，过点E作EH14B于点H,如图③，求证:H是线段BN的中点.

图J-Z-20

1.D2.B3.B4.A5.A6.A

7.C［解析「..在菱形ABCD中,/ABC=80。，

•••UBD=-乙ABC=40°,ADBC.

2，

・•・4BAD=180°―/.ABC=100°.

•；AABE是等腰三角形，点E不与点B,D重合，

；.AE=BE或AB=BE.

当AE=BE时,/BAE=/ABE=40。，

ZDAE=ZBAD-ZBAE=100°-40°=60°;

当AB=BE时,/.BAE=乙AEB=|(180°-乙4阻=jx(180°-40°)=70

ZDAE=ZBAD-ZBAE=100°-70°=30°.

综上所述，当仆ABE是等腰三角形时，NDAE的度数为30。或60°.

故选C.

8.D［解析］•.•四边形ABCD是正方形，

•,.AB=BC=CD=DA=l,ZBCD=90°.

•••BD=VSC2+CD2=V2.

VAC为正方形ABCD的对角线,CE平分/ACD,

ZDCE=22.5°..\ZBCE=67.5°.

VZBEC=ZEDC+ZDCE=45O+22.5O=67.5°,

/.ZBEC=ZBCE.

，BC=BE.

VBC=1,.\BE=1.

DE=BD-BE=42-1.

故选D.

9.B

10.B［解析］设CE=x，贝！］(CE=%.

,在矩形ABCD中,AB=5,BC=6,

CD=AB=5,AD=BC=6,AD〃BC.

;点M,N分别在AD,BC上，且3AM=AD,BN=AM,AM=BN=2,.\DM=CN=4.

四边形CDMN为平行四边形.

ZNCD=90°,四边形CDMN是矩形.

/.ZDMN=ZMNC=90°,MN=CD=5.

由折叠知C'D=CD=5,

MC=yJC'D2-DM2=V52-42=3.

c'N=MN-MC=5-3=2.

:EN=CN-CE=4-x,C'E2-EN2=C'N2;

x2-(4-x)2=2?,解得x=*即CE-|.

故选B.

11.3

12.OA=OC(答案不唯一)

13.30

14.解析］如图.连接PB交AC于点M,连接DM,DB,设AC与BD交于点O.

四边形ABCD是菱形,

••・线段AC,BD互相垂直平分，

点B,D关于AC对称，则MD=MB,

PM+DM=PM+BM=PB.

当BPLAD时.PB的值最小.

在RtAADO中，

11

AD=5,AO=-AC=-x8=4,

22

・•.DO=y/AD2-AO2=7s2-42=3,

・・・BD=2DO=6.

ii

^SABD=-AD-PB=-BD-AO;

.・.PnBc=-B-D--A-O-=——6X4=―24,

AD55

；.PM+DM的最小值为当

故答案为g

15［［解析］•••CE=5,ACEF的周长为18,

->.CF+EF=18-5=13.

为DE的中点/BCD=90。，

113

•••EF=CF=-2DE=—2DE=2EF=13.

CD=yjDE2-CE2=V132-52=12.

四边形ABCD是正方形,；.BC=CD=12.

：O为BD的中点,OF是4BDE的中位线,

OF=3BE=|(BC-C£)=|x(12-

16.6廨析］：四边形ABCD是矩形,AB=4,AD=DE=5,

ZABC=ZC=90°,CD=AB=4,BC=AD=5,

•••CE=VDE2-CD2=V52-42=3,

/.BE=BC-CE=5-3=2,

AE=7AB2+BE2=V42+22=2次.

•；F是AE的中点,

BF=-AE=-X2^5=V5.

22

故答案为V5

17.4［解析］•菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F同时从点O出发，在线段AC上以0.5cm/s

的速度反向运动，

OD=OB,OE=OF,DB_LEF,

四边形DEBF是菱形.

AABD是边长为4cm的等边三角形，

OD=OB=2cm.

设运动时间为ts,则OE=OF=0.5tcm,当OB=OE时,四边形DEBF为正方形，即0.5t=2,故t=4.

故答案为4.

18.证明:.••四边形ABCD是正方形，

.•.AD=CD,ND=90。.

VAE=CF,.\DE=DE

在4ADFfflACDE中.

VAD=CD,ZADF=ZCDE,DF=DE,

AADF^ACDE(SAS).

ZDAF=ZDCE.

在4AGE和4CGF中，

ZGAE=ZGCF,ZAGE=ZCGF,AE=CF,

/.△AGE名ACGF(AAS).AG=CG.

19.解:⑴证明:：MN是AC的垂直平分线，

AO=CO,ZAOM=ZCON=90°.

,/四边形ABCD是矩形,AB//CD,

ZM=ZN.AAAOM^ACON(AAS).

⑵如图所示，连接CE.R

：MN是AC的垂直平分线，

/.CE=AE.X

M

设AE=CE=x,Ji!!!DE=6-x.

,/四边形ABCD是矩形，

ZCDE=90°,CD=AB=3.

在Rt△CDE中,CD?+DE2=CE2,

即32+(6-x)2=即

解得x=?,即AE的长为?故答案为y

444

20.解:⑴：四边形ABCD是菱形，

1

Z.OA=OC,OA±OD,AD=CD=5,OB=OD=^BD=4.

由勾股定理得。4=VXD2-OD2=V52-42=3.

・，点E在线段AB的垂直平分线上,

；.AE=BE.

设OE=x,!U!|AE=BE=4-x.

在RtAAOE中，由勾股定理得.A02+OE2=AE2,即32+X2=(4-工厂解得x=

8

AAED的面积=△AOE的面积+△AOD的面积=-x-x3+-x4x3=—.

28216

(2)设BE=y，则CD=2y.

・・•四边形ABCD为菱形，

・•・AB=AD=CD=2y,OB=OD,AC±BD.

NDAE=NDEA,DE=AD=2y.

BD=3y.OB=OD=-y.

'：EO+BE=OB..\l+y=|y,解得y=2.

；.AB=4,OB=3.

在RtAAOB中，

OA=7AB2-OB?=V42-32=V7.

在RtAAOE中，

AE=Moa2+。。2=](仞2+了=2V2.

21.解:⑴证明如图过点E作EMXAD于点M,EN±AB于点N.

由题易得四边形ANEM是矩形，

ZMEN=90°.

:四边形ABCD是正方形,

.,.ZEAD=ZEAB=45°.

VEM±AD,EN±AB,

，EM=EN,ZEMD=ZENF=90°.

VEF±DE,ZMEN=90°,

ZMEN=ZDEF=90°.

/.ZDEM=ZFEN.

则4EMD四△ENF.，ED=EF.

又：四边形DEFG是矩形，

四边形