2024-2025学年高二年级上册数学期末模拟卷（新高考八省）

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷02

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+数列。

5.难度系数：0.75„

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.过点（3,2）且垂直于直线尤-2^+1=。的直线方程为（）

A.2x-y-4=0B.2x-y+4=0

C.2%+y—8=0D.x-2y+4=0

【答案】c

【详解】若直线与x—2y+l=0垂直，则其斜率为上=一手=一2,

2

又该直线过（3,2）,根据点斜式有＞-2=-2"-3）,整理得2x+y-8=0.

故选：C

2.如图，三棱锥0-48。中。4=0,08=〃,。？=。，点"为8（?中点，点“满足4加=2加0,则=（）

A.—ci—b—cB.—ClH—bH—cC.—CL-\—hH—cD.—CL—bH—C

233322322332

【答案】B

【详解】如图,

连接ON,所以ON=g（O2+OC）=g（6+c）,

因为AM=2MO,所以OM=goA=；q,

所以AW=MO+ON=-OM+g（02+0C）=+gz?+gd.,

故选：B.

22

3.已知直线y=2x是双曲线c：二-2=l（6>0）的一条渐近线，则C的离心率等于（）

4b-

A."B.V5C.BD.6或非

222

【答案】B

22

【详解】直线y=2x是双曲线C:土-当=1（6>0）的一条渐近线，

4b

b

则有5=2,得6=4,

故C的离心率为五正=叵=6.

22

故选：B.

4.等差数列｛。“｝的前〃项和为s“，其中4=7,又2,4，b,b,8成等比数列，则的值是（）

23ICie

A.4B.-4C.4或TD.2

【答案】A

【详解】因为数列｛%｝是等差数列，且S,=7,所以7（%；%）=7,解得%+%=2,

由等差数列的性质可得%+生=4+%=2,

因为2,瓦,b2,b3,8成等比数列，所以£=2x8=16,解得打=±4,

又不=2为>。，所以打>。，所以a=4,所以=一厂=4.

故选：A.

5.已知直线/的方向向量为“=(3,0,3),且过点M(LT-l),则点N(1,L。)到直线/的距离的最小值为()

A.1B.2C.76D.6

【答案】B

【详解】MV=(0,2,a+l),所以点N(1/M)到直线/的距离为

所以当a=T时，距离有最小值为J(T『+；(T)+9=4=2・

故选：B

22

6.已知圆G:工2+》2-2兀一4》=0,^C2:x+y+mx+ny=0,若圆。2平分圆G的周长，贝!—m的最小

值为()

A.4B.6C.8D.9

【答案】D

【详解】二•方程X2+/+g+〃y=。表示圆，

m2+〃2-4x0>0，BP机2+〃2〉0

ISIQ:x2+y2-2x-4y-0,圆G：/+丁+小1+几y二。，

两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线/的方程：(m+2)x+5+4)y=0.

若圆。2平分圆G的周长，则圆G的圆心在直线/上，

・・•圆G:3+y2一2元—4y=0的圆心为(1,2),

...(m+2)+2(〃+4)=0,即m=—2〃-10,

=/+2〃+10=(〃+1)2+9,

.,.当〃=—1,加=—8时，/—机取最小值9.

故选：D.

7.设。为坐标原点，直线y=-后(xT)过抛物线C：y2=2px(2>0)的焦点，且与C交于N两点,

为C的准线，则()

Q

A.p=3B.\MN\=-

C.以MN为直径的圆与/相切D.afW为等腰三角形

【答案】C

【详解】对于A,直线y=-/(x-l)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，可得与=1,所以。=2,故A错误;

对于B,抛物线方程为：y2=4x,与C交于M,N两点，

直线方程代入抛物线方程可得，3尤2-10X+3=0,所以

所以=尤材+/+P=可，故B不正确；

CCO1

对于c,M,N的中点的横坐标为:，中点到抛物线的准线的距离为1+§=§=］阿斗

所以以为直径的圆与/相切，故C正确；

对于D,由B得，3尤2一10彳+3=0,解得X=3或X=；,

不妨设X”=3,0=鼻，则yM=-2班,NN=2：,

JD

所以=J9+12=®,ION|=+yMN\=^-,

所以人的不是等腰三角形，故D错误；

故选：C

8.记正项数列｛%｝的前〃项积为7；,已知&-1)(,=24,若凡</念，则〃的最小值是()

A.999B.1000C.1001D.1002

【答案】C

【详解】•••［为正项数列｛%｝的前〃项积，(为-1戊=2盘,

「・当〃=1时，((一1)1=21，4=工=3

又册,

“22时，an=2

2T“

即m，

U

.••{4}是首项为3,公差为2的等差数列，且(=3+2(〃-1)=2〃+1.

/、T,2〃+1

由⑵一2)4=(，^a„=——=——

1一乙乙几一1

什1001皿2〃+11001心理

若----，贝I--------<-------，

〃10002几一11000

所以，正整数鼠的最小值为1001.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知直线Z,：y-2=〃z(x+l)(〃?eR),直线4：x-2y+2=0(2eR),则下列说法正确的为()

A.直线4过定点(-1,2)

B.若《_L/?，贝！I=—2

C.若两条平行直线4与6间的距离为2右，贝U/l=-5

D.点口2,6)到直线人距离的最大值为5

【答案】ABD

【详解】由4：y—2=m(x+l)(meR),

[y-2=0fx=-l

令।,所以直线4过定点(T2),故A对；

[%+i=o[y=2

若，m所以勺，故B对；

若l、〃k，则勺=与，即根=；,

止匕时4：y-2=5(x+l),即x-2y+5=0,:x-2y+X=0(XeR),

因为直线4与4间的距离为2后,

|5-A|r

所以小+(_2)2=2’5n彳=-5或15,故C错;

由C知，直线过定点(-1,2),要使点P(2,6)到直线/1距离最大,则PQU，

则点尸(2,6)到直线4距离的最大值为|PQ|=J(2+1)?+(6-2)25,故D对;

故选：ABD

10.在正方体ABC。-A瓦C|R中，AB=2,点E是AA的中点，空间中一点尸满足

AP=xAB+yA4l(x,ye[0,l]),则()

A.当x=l时，AB1CP

B.当y=l时，三棱锥尸-BCR的体积为定值

C.当尤=1■时，有且仅有一个点尸，使得〃平面ACR

D.当x+y=l时，有且仅有一个点。使得C/与Cj所成角为60,

【答案】AC

【详解】对于选项A,当x=l时，AP=AB+yAAl,

如图所示，

根据平面向量基本定理，此时产在线段2月上,

由于在正方体中，至，平面23夕夕，。匚平面2片6。,

所以ABJ.CP,选项A正确；

对于选项B,当y=l时，AP=xAB+AAl,

如图所示,

由平面向量基本定理，此时P在线段A片上,

由图可知，三棱锥尸-BCR当以平面BCD,为底面时S.BCD、为定值，

但因为顶点p在线段A片上运动，所以p到底面2C，的高不确定,

故三棱锥P-BCR的体积不是定值，选项B错误;

对于选项C,当尤时，如图所示，

2

由平面向量基本定理，取与4瓦中点N,则尸在线段上运动，

由图可知，过2点且与平面ACDt平行的平面为平面ABG,

平面ABC=尸，所以此时〃平面AC，，

又P是MN与A国交息,即当且仅当尸是MN中点时，有3P〃平面AC，，

故选项C正确；

对于选项D,如图所示,

以。为原点，DC,DA,DR分别为无，》z轴建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),A(0,2,0),B(2,2,0),C(2,0,0),R(0,0,2),A,(0,2,2),C,(2,0,2),

因为尤+y=l，则有APuxAB+a—2AA,

又AB=(2,0,0),A4,=(0,0,2),

所以AP=(2x,0,2-2x),

所以P(2x,2,2-2x).

于是GP=(2x-2,2,-2x),CD]=(-2,0,2),

所以GRCQ的夹角为60。时有，

卯qPCR1一2(2尤一2)-4x|1

cos60=——!-------!—=[:------=—,

\QP\-\CD,|J(2X-2)2+4X『+4-2722

解得x=0或x=1,

即P(0,2,2)或尸(2,2,0)都可以使得C』,CD1的夹角为60°,

选项D错误.

故选：AC.

1L已知数列间满足q+2%+3%++k]手],则()

A.数列｛n｝为等差数列

B.an+an+2<2an+l

D.数列｛(-1)"4｝的前2〃项和为2r+〃

【答案】ACD

【详解】A选项,4+2%+3/++叫="?1)①,

当〃=1时，4=1,

当〃之2时，a+la+3a++(〃-1)Q〃=②，

x23。

式子①-②得

〃(〃+1)n(n-l)n(n+l)n(n-l)n(n+l)n(n—l)

net=-------------=-------1------------------------

〃|_2」|_2」|_22JL22

故。〃=*,

2

其中4=1满足a,=",综上，an=n,n>l,

所以口=〃，n>\,故形=一风=几十1一n=1，

数列｛n｝为等差数列，A正确；

-2

B选项，an+an+2-2an+i=+(??+2)-2(/i+l)=2>0,

故巴+an+2>2a〃+i，B错误；

11111

C选项，当建2时，[7<行=匚17

<^11111—11111八1八一»

#[=「％+%+V2+1-3++'一片2二<2,C正确；

D选项,(-1)"%=(-1)"],

22222222

数列｛(一1)"。"｝的前2n项和S2„=-l+2-3+4-5+6--(2«-1)+(2/z)

=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)-+[-(2M-1)2+(2«)2]

2

=3+7+11++(4〃_])="(3+：0_2W+n;D正确.

故选：ACD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知空间向量。=（1,1,。）,6=（-1,。,2）,c=（I,：,2J且入+万与0互相平行，则实数％的值__________..

【答案】2

【详解】由条件可知—+6=（匕匕0）+（-1,0,2）=（"1,左,2）,

k—l=A

42

因为ht+B与c互相平行，所以2+6=2。=〈左=T,

k

2=22

解之得」=1,左=2.

故答案为：2

22

222

13.已知（2,0）为椭圆C:鼻+£=1（°>0）上一点，q:（x+2）+y=1,C2:（x-2）+/=1,P,M,N分别

为c,G,6上动点，则1PMi+|「时的最大值为.

【答案】40+2

【详解】圆G：（X+2）2+V=1的圆心G（-2,0），半径4=1,圆C?:（X-2）2+y=1的圆心C2（2,0），半径々=1,

由（2,四）在椭圆C:=+匕=1上，得—7+彳=1,解得“2=8,a=2A/2>

a4a2

22

则椭圆c：a+?=1的焦点£（-2,0）,C2（2,0）,IPCJ+IPC2\=2a=4叵,

因此|尸四|+|PN区|PCJ+rx+\PC21+r2=40+2,

当且仅当M，N分别为线段尸G，PCz的延长线与圆G，C?的交点,

所以|PM|+|PN|的最大值为4拒+2.

故答案为：45/2+2

14.将数据2°，2、22,…排成如图的三角形数阵，（第一行一个2片，第二行两个2"一2,…，最下面一行

有〃个2°，〃eN*）则数阵中所有数据的和为.

2

2"-22"-

2222…2222

212121…2121

2°2°2°2°…2°2°

【答案】2,1+1-«-2

【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为T,

贝|T="+2(〃—1)+22(〃—2)+23(〃一3)++2"-2x2+2"T①,

2T=2z?+22-1)+23-2)+24(71-3)++2,i-1x2+2"(2),

由①-②得：-T=n-2-22-2}--2,M-2B-n-(2'+22+23++2")

入+2一2叫

1-2

所以7=2向一"一2.

故答案为：2"2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）已知等差数列｛4｝中，％=1,前”项和为力,｛.｝为各项均为正数的等比数列，4=2,且4+邑=7,

a2+&5To.

⑴求。“与么；

,（〃为奇数）

（2）定义新数列｛£,｝满足£,=，（〃eN*）,求｛£,｝前20项的和品.

如（"为偶数））

【详解】（1）设数列｛%｝的公差为d,数列｛%｝的公比为4,

b?+Sr,=102g+2+d=7

则由“+31。可得（2分）

\+d+2q2=10

\d=\,

解得：C.......................................................................................................................(4分)

[4=2,

故见=1+(〃-1)=〃4=2".................................................................................（6分）

为奇数）

（2）由（1）得,ozwN*),（8分）

2",仅为偶数）

则。XG+C3++C19)+(C2+C4+-+C20)

=(1+3++19)+(22+24++220)

10(1+19)4(l-410)4411_296411

=-------------1------------=1uu------1-----=-------1..................................................（13分）

21-43333

16.(15分)已知圆C:/+丁-4x-6y+4=0.

（1）若直线/经过点A（-l,-3）,且与圆C相切，求直线/的方程；

（2）设点。（3,2）,点E在圆C上,M为线段OE的中点，求M的轨迹的长度.

【详解】⑴圆C的标准方程为:（尤一2）2+口一3）2=9

(-1-2)2+(-3-3)2=45>9,

点4（一1,一3）在圆外，

故过点A且与圆C相切的直线有2条，............................（2分）

①当直线I的斜率不存在时,/:x=-1

圆心C（2,3）到直线/的距离d=|2-（-l）|=3=r

直线/与圆C相切.............................（4分）

（2）当直线/的斜率存在时，可设直线/：y+3=Z（x+l）,即依-y+左-3=0.........................（5分）

\2k-3+k-2\

圆心C到直线/的距离〃=

a+1

1|3^-6|3

由题意d=r^=3,解得4==,...........................(7分)

JE+14

39

止匕时=0,即/:3x_4y_9=0,

终上所述，直线/的方程为x=—1或3x-4y-9=0.........................................................(8分)

（2）设E（%,%）,M（x,y）,因为“为。E的中点,

尤0+3

-----=X

2x0=2x-3

所以（10分）

3=yy0=2y-2

2

•点E在圆C上

即(2x-5)2+(2y-5)2=9,

3

的轨迹的长度为271x5=3兀.......................................（15分）

17.（15分）如图，在四棱台ABCD-A瓦G2中，底面A8CD是正方形，AB=3AAl=2AiBl=6,44,，平

（1）证明：3D工平面ACG4.

（2）求直线DDt与平面BCC/i所成角的正弦值.

2

（3）棱BC上是否存在一点P,使得二面角尸-A，-。的余弦值为2?若存在，求线段8P的长;若不存在，请

说明理由.

【详解】（1）因为底面ABC。是正方形，所以AC_La）..................................（1分）

又因为e_L平面ABC。，BDu平面A8CQ,所以.........（2分）

因为44]AC=A,且AA[,ACu平面ACGA，

所以即工平面ACG4.............................................................（3分）

（2）因为AAJ-平面ABC。，A8,AOu平面ABCD,

所以A41J_A2,AAt1AD,

又底面ABC。是正方形，AB±AD,故AB,AD,441两两垂直，.................（4分）

以AB,AD,A4所在直线分别为x,»z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

ZA

则A（0,0,0）,3（60,0）,4（3,0,2）,C（6,6,0）,£＞（0,6,0）,〃（0,3,2）,

所以3c=（0,6,0）,BBt=（-3,0,2）,DR=（0,-3,2）....................................（6分）

设平面BCGB]的法向量为M7=（%,x,zj,

m-BC=6y.=0,

则,解得凹=0,令占=2,贝！]4=3,

m-BB]=-3xj+24=0,

故历=（2,0,3）........................................................................................................................（7分）

设直线DR与平面8CC由所成的角为e,

।___।DD[-m66

贝Usin。=cos£>£>>,欣=---：~-=/一——.=一,

111皿M7974x747913

故直线DD与平面8CC出所成角的正弦值为1..............................................................

t（9分）

（3）若存在点P满足题意，则可设点P（6,40）,其中力e[0,6],

贝ljAP=（6,2,0）,ADX=（0,3,2）........................................................（10分）

设平面A。尸的法向量为“=（%,%,Z2）,

n•AP=6X2+Ay2=0,

n•AD]=3y2+2z2=0,

令为=-6,贝|]Z2=9,%=X,故"=（%—6,9）........................................................（12分）

易得平面ADR的一个法向量为v=（1,0,0）,

n-v

所以|cos九•3二解得人2或-2（舍去）,（14分）

2

故棱BC上存在一点P,当3P=2时，二面角尸-AR-。的余弦值为五..........（15分）

22

18.（17分）如图，已知椭圆C：3+与=1（。＞人＞0）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为

a2b2

2（有+夜）和2便-⑹，斜率为一的直线/与椭圆C相交于异于点*3,1）的M,N两点.

（1）求椭圆C的方程;

（2）若|MN|=厢，求直线/的方程;

⑶当直线PM,PN均不与x轴垂直时，设直线尸河的斜率为左，直线PN的斜率为心，求证：尤履为定值.

22

【详解】（1）解：由椭圆C：3+方=1上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为2（6+夜）和

2（百-夜卜

a+c=2（石+码

结合椭圆的几何性质，得・•（2分）

a-c=2（6-0）

a=2^3

解得贝Ub=y1a2—c2=2，（4分）

c=2^2

22

故椭圆C的方程为上+匕=1（5分）

124

⑵解：设直线/的方程为y=-；%+加，N（x2,y2\

1

y=——x+m

3

由＜22消去整理得4——6mx+9m之-36=0（7分）

x+>-1

U24

m2-4）＞0,得一延＜〃2＜记，

由八二（一6根）2—144（（8分）

33

3m9m2—36

贝Uxx+x2=,xxx2=......................................................（9分）

2

\MN\=Jl+\.+））2-4%%=.V16-3m=V10，

（10分）

解得机=2或机=一2（11分）

当〃z=2时，直线/的方程为了=-3+2,此时直线/过点P（3,l）；

（12分）

当加=-2时，直线/的方程为y=-gx-2,满足题目条件

所以直线/的方程为y=—gx-2..............................................................................................（13分）

（3）证明：因为直线PM,PN均不与x轴垂直,

所以直线/：y=-++加不经过点（3,-1）和（3,1）,则且〃件2,

（14分）

+777-1x2+m-l

由（2）可知,%T%T=.

Xy—3%2—3（再-3）（无2-3）

2

|可々一g(〃L1)(占+x2)+(m-l)

尤1々一3(&+尤2)+9

2

19m-361/3m/八2

------..........—\m-\y+(加一)_